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      淺談取整函數(shù)

      2017-05-31 13:40邢懷勇
      理科考試研究·高中 2017年3期
      關(guān)鍵詞:值域平行線整數(shù)

      邢懷勇

      摘 要:取整函數(shù)是一個非常重要的數(shù)學(xué)概念,本文通過對幾個例題的分析闡述了解有關(guān)取整函數(shù)類問題的策略.

      關(guān)鍵詞:取整函數(shù);解題策略

      取整函數(shù)定義:設(shè)x∈R,用[x]表示不超過x的最大整數(shù).則y=[x]稱為高斯函數(shù),也叫取整函數(shù).顯然,y=[x]的定義域是R,值域是Z.任一實(shí)數(shù)都能寫成整數(shù)部分與非負(fù)純小數(shù)之和,即x=[x]+a(0≤a<1),因此,[x]≤x<[x]+1.

      取整函數(shù)是一個非常重要的數(shù)學(xué)概念.它的定義域是連續(xù)的,值域卻是離散的,取整函數(shù)關(guān)聯(lián)著連續(xù)和離散兩個方面,因而有其獨(dú)特的性質(zhì)和廣泛的應(yīng)用.在數(shù)學(xué)競賽或高考中也備受命題者的青睞.用[x]命制的試題情境新穎,彈性大,利于賦予新意,具有挑戰(zhàn)性,而在解決與之相關(guān)的問題時,可以依據(jù)的命題、法則不多,規(guī)律性不明顯,解法變化大,靈活性強(qiáng),往往會用到多種數(shù)學(xué)思想方法,其中較為常見的有分類討論(例如對區(qū)間進(jìn)行劃分)、命題轉(zhuǎn)換、數(shù)形結(jié)合、湊整、估值等等.

      例1 試畫出f(x)=x-[x]的圖像.([x]表示不大于x的最大整數(shù))

      解析 若做出上述函數(shù)圖象,需先分析一下取整函數(shù)[x]的圖像的基本性質(zhì)和特征.

      (1)由y=[x]的定義易知[x]的圖形在y=x的圖形的下方.

      (2) 由y=[x]的性質(zhì)知[x]的圖像是一組階高為1的平行于x軸的平行線段,這組平行線段呈階梯形.

      可見函數(shù)y=[x]是一個不減(非單調(diào)) 的非周期的函數(shù),其圖像如下:

      所以f(x)=x-[x], 是一有界、周期為1的非單調(diào)函數(shù),其圖像如下圖所示:

      例2 (2010年高考陜西卷理科10)某學(xué)校要召開學(xué)生代表大會,規(guī)定各班每10人推選一名代表,當(dāng)各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時再增選一名代表.那么,各班可推選代表人數(shù)y與該班人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系用取整函數(shù)y=[x]([x]表示不大于x的最大整數(shù))可以表示為( )

      A. y=x10x+310B. y=x+310

      C. y=x+410 D. y=x+510

      解析1 當(dāng)x除以10的余數(shù)為0,1,2,3,4,5,6時,由題設(shè)知y=x10,且易驗(yàn)證知此時x10=x+310.

      當(dāng)x除以10的余數(shù)為7,8,9時,由題設(shè)知y=x10+1,且易驗(yàn)證知此時x10+1=x+310.

      故綜上知,必有y=x10.故選B.

      解析2 依題意知:若x=16,則y=1,由此檢驗(yàn)知選項(xiàng)C,D錯誤;若x=17,則y=2,由此檢驗(yàn)知選項(xiàng)A錯誤.故由排除法知,本題應(yīng)選B.

      例3 某校數(shù)學(xué)課外小組在坐標(biāo)紙上為學(xué)校的一塊空地設(shè)計(jì)植樹方案如下:第k棵樹種植在點(diǎn)Pk(xk,yk)處,其中x1=1,y1=1,當(dāng)k≥2時,

      xk=xk-1+1-5[T(k-15)-T(k-25)],yk=yk-1+T(k-15)-T(k-25).

      T(a)表示非負(fù)實(shí)數(shù)a的整數(shù)部分,例如T(26)=2,T(02)=0,按此方案,第6棵樹種植的坐標(biāo)是,第2008棵樹種植的坐標(biāo)是.

      解析 xk是1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,….

      yk是1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,….

      由規(guī)律可知,第6棵種植點(diǎn)是(1,2),第2008棵種植點(diǎn)是(3,402).

      例4 設(shè)[x]表示不超過x的最大整數(shù)(如[2]=2, [54]=1),對于給定的n∈N*,定義C2n=n(n-1)…(n-[x]+1)x(x-1)…(x-[x]+1),x∈[1,+∞),則當(dāng)x∈32,3時,函數(shù)C2n的值域是

      A.163,28 B.163,56

      C.4,283∪[28,56)D.4,163∪283,28

      解析 當(dāng)32≤x<2時,[x]=1,Cx8=8x∈(4,163].

      當(dāng)2≤x<3時,[x]=2.

      Cx8=56x(x-1)∈(283,28],于是選D.

      例5 (2015年聊城市數(shù)學(xué)聯(lián)賽)解方程3x3-[x]=3.

      解析 對于次數(shù)較高的含[x]的方程,分區(qū)間討論不失為一種有效的方法.

      若x≤1,則3x3-[x]≤3x-x+1=2x+1<0.原方程不成立;

      若-1

      若0≤x<1,則3x3-[x]=3x3-0=3x3<3.原方程不成立;

      若1≤x<2,則3x3-[x]=3x3-1.原方程即為3x3=4,解得:x=343;

      若x≥2,則3x3-[x]≥3x3-x>3x-x=2x>4.原方程不成立;

      所以,原方程的解為:xx=343.

      數(shù)學(xué)提供了有特色的思考方式:抽象化、符號化、公理化、最優(yōu)化、建立模型,應(yīng)用這些思考方式能使人們批判的閱讀,辨別謬誤,擺脫偏見,估計(jì)風(fēng)險(xiǎn).所以說數(shù)學(xué)是思維的體操.

      同時,數(shù)學(xué)的抽象性可幫助我們抓住事物的共性和本質(zhì),數(shù)學(xué)賦予知識以邏輯的嚴(yán)密性和結(jié)論的可靠性,它能增強(qiáng)思維的本領(lǐng),提高抽象能力、邏輯能力和辯證思維能力.

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