巧構(gòu)圖形 妙解試題

劉成龍

摘 要：構(gòu)造法是指根據(jù)題設(shè)條件或結(jié)論所具有的特征、性質(zhì)，進(jìn)而構(gòu)造出滿足條件及結(jié)論的數(shù)學(xué)模型.構(gòu)造圖形是構(gòu)造的重要手段，在問題的轉(zhuǎn)化中有積極作用.以高考中與向量有關(guān)的最值問題為例給出構(gòu)造圖形法的具體應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：圖形；構(gòu)造；最值問題

構(gòu)造法是指根據(jù)題設(shè)條件或結(jié)論所具有的特征、性質(zhì)，進(jìn)而構(gòu)造出滿足條件及結(jié)論的數(shù)學(xué)模型[1].構(gòu)造法的核心是運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，進(jìn)行命題轉(zhuǎn)換，用產(chǎn)生的新方法或從新的角度解決原問題.波利亞指出：“構(gòu)造一個(gè)輔助問題是一項(xiàng)重要的思維活動(dòng).”可見，構(gòu)造法在解題活動(dòng)中有積極作用.

高中數(shù)學(xué)解題常用的構(gòu)造方法有：構(gòu)造方程、函數(shù)、圖形、數(shù)列等.其中構(gòu)造圖形解題就是根據(jù)條件或結(jié)論中的數(shù)量關(guān)系，構(gòu)造適合的圖形，進(jìn)而再運(yùn)用相關(guān)幾何性質(zhì)解決問題.現(xiàn)以高考中與向量有關(guān)的最值（范圍）問題為例說明構(gòu)造圖形法的應(yīng)用.

類型一 構(gòu)造三角形

例1 （2016年四川卷理科10題）在平面內(nèi)，定點(diǎn)A，B，C，D滿足|DA|=|DB|=|DC|，DA·DB=DB·DC=DC·DA=-2，動(dòng)點(diǎn)P，M滿足|AP|=1，PM=MC，則|BM|2的最大值是（ ）

A.434 B.494 C.37+634 D.37+2334

分析 如圖1，因?yàn)閨DA|=|DB|=|DC|，所以A，B，C在以D為圓心的圓上，即D為△ABC外心.由DA·DB=DB·DC，得DB·AC=0，所以DB⊥AC，同理可得DA⊥BC，DC⊥AB，所以D為△ABC垂心.所以△ABC為等邊三角形.由DA·DB=|DA|·|DB|·cos120°=-12BD2=-2，得BD=2，BC=23.

延長(zhǎng)CB到Q，使QB=BC.又B，M分別為CQ，CP中點(diǎn)，所以MB=12QP.故求|BM|2max，只需求（QP）max，顯然當(dāng)QP經(jīng)過圓心A時(shí)，取得最大值.延長(zhǎng)AD交BC邊于點(diǎn)O，O為BC中點(diǎn)，且AO⊥BC，OQ=33.故（QP）max=AQ+1=AQ2+QO2+1=33+3（3）2+1=7，所以|BM|2max=（72）2=494.

評(píng)注 本題也可利用三角換元、柯西不等式等方法解答，但計(jì)算量大且運(yùn)算復(fù)雜.通過構(gòu)造三角形△PCQ，利用中位線定理等平面幾何知識(shí)，大大降低了運(yùn)算難度.

例2 （2011年天津卷理科14題）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn)，則|PA+3PB|的最小值為.

分析 如圖2，作直線l∥CD，使l與CD的距離為3.作射線BP與l交于點(diǎn)E，過E作直線CD的垂線，垂足為點(diǎn)F.

因?yàn)锽C∥EF，所以△BCP∽△EFP，所以BPEP=BCEF=13，所以EP=3PB，所以PA+3PB=PA+EP=EA，所以|PA+3PB|min=|EA|min.當(dāng)E，D，A三點(diǎn)共線時(shí)，|EA|最小值|E′A|，所以|EA|min=E′D+DA=3+2=5，故|PA+3PB|min=5.

評(píng)注 上述解答由所求表達(dá)式|PA+3PB|中的“3”引起思考，作出平行線l，目的是為了構(gòu)造相似三角形，將3PB轉(zhuǎn)化為向量EP，進(jìn)而將PA+3PB轉(zhuǎn)化為向量EA，再求|EA|min即可.

類型二 構(gòu)造四邊形

例3 （2013年浙江卷理科17題）設(shè)e→1，e→2為單位向量，非零向量b→=xe→1+ye→2，x，y∈R，若e→1，e→2的夾角為π6，則|x||b→|的最大值等于.

分析 設(shè)OE=e→1，OF=e→2，

（1）當(dāng)x>0，y>0時(shí)，如圖3，設(shè)OA=xe→1，OB=ye→2，以O(shè)A，OB為鄰邊構(gòu)造平行四邊形OACB，則b→=OC.在△OAC中，設(shè)∠OCA=θ（0°<θ<30°），則由正弦定理知|OA|sinθ=|b→|sin150°，

即|x|sinθ=|b→|sin150°，所以|x||b→|=2sinθ，又0°<θ<30°，故|x||b→|∈（0，1）.

（2）當(dāng)x<0，y<0時(shí)，可轉(zhuǎn)化為（1）處理，此處略；

（3）當(dāng)x>0，y<0時(shí)，如圖4，同（1）可得|x||b→|∈（1，2].

（4）當(dāng)x<0，y>0時(shí)，可轉(zhuǎn)化為（3）處理，此處略；

（5）當(dāng)x=0，y≠0時(shí)，b→=ye→2，則|x||b→|=0|y|=0.

（6）當(dāng)x≠0，y=0時(shí)，b→=xe→1，則|x||b→|=|x||x|=1.

綜上，|x||b→|的最大值等于2.

評(píng)注 解答中通過討論x，y的取值范圍情況，構(gòu)造平行四邊形，再利用正弦定理得到|x||b→|與角度θ的一個(gè)關(guān)系式，進(jìn)而求得|x||b→|的取值范圍.

類型三 構(gòu)造圓

例4 （2013年湖南卷理科6題）已知a→，b→是單位向量，a→·b→=0，若向量c→滿足|c→-a→-b→|=1，則|c→|的取值范圍是（ ）

A.[2-1，2+1]B.[2-1，2+2]

C.[1，2+1]D.[1，2+2]

分析 設(shè)OA=a→，OB=b→，OC=c→.因?yàn)閍→，b→是單位向量且a→·b→=0，故以O(shè)A，OB為鄰邊構(gòu)造邊長(zhǎng)為1的正方形OADB，如圖5，a→+b→=OD.

因?yàn)橄蛄縞→滿足|c→-a→-b→|=|DC|=1，所以點(diǎn)C在以D為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，于是|c→|max=|OE|=OD+DE=2+1，|c→|min=|OF|=OD-DF=2-1，故選A.

評(píng)注 解答中通過從同一起點(diǎn)構(gòu)造向量a→，b→，c→，容易將向量c→-a→-b→轉(zhuǎn)化為DC，又|DC|=1，得出OC的終點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡為以D為圓心，1為半徑的圓，于是當(dāng)OC所在直線通過圓心D時(shí)，|OC|可分別取得最小值|OF|和最大值|OE|.

例5 （2011年全國(guó)卷理科12題）設(shè)向量a→，b→，c→滿足|a→|=|b→|=1，a→·b→=-12，=60°，則|c→|的最大值等于（ ）

A.2B.3C.2D.1

分析 因?yàn)閨a→|=|b→|=1，a→·b→=-12，所以cos=a→·b→|a→|·|b→|=-12，即=120°.又=60°，故可構(gòu)造圖形如下：

如圖6，a→，b→，c→的終點(diǎn)分別為A，B，C，且A，B，C都在以P為圓心，1為半徑的圓上，顯然|c→|=1；

如圖7，a→，b→，c→的起點(diǎn)為P，終點(diǎn)分別為A，B，C，且A，B，C都在以O(shè)為圓心，r為半徑的圓上，故當(dāng)線段PC經(jīng)過圓心O時(shí)，|c→|max=|PC′|=2r.連接AB，AO.因?yàn)镻A=PB=1，由∠APB=120°，得∠PBA=30°，所以∠AOP=60°，所以△APO為等邊三角形，故r=PA=1.于是|c→|max=2r=2.

綜上，|c→|max=2，故選A.

評(píng)注 考慮到題目條件60°，120°的特殊關(guān)系，結(jié)合圓的相關(guān)知識(shí)，分兩種情況構(gòu)造了a→，b→，c→，具體為：利用同弧所對(duì)的圓心角是圓周角的2倍關(guān)系構(gòu)造了圖6，利用圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)構(gòu)造了圖7.本題也可以利用向量的數(shù)量積及均值不等式解決，但對(duì)如何將題設(shè)條件處理轉(zhuǎn)化為不等式進(jìn)行放縮要求較高.因此，借助圖6，圖7解決向量模長(zhǎng)的最值問題顯得更為簡(jiǎn)潔、直觀.

通過上述例題分析，可以看出構(gòu)造圖形解題，能將抽象、復(fù)雜問題形象化、簡(jiǎn)單化，使問題更加直觀，對(duì)提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力有著重要作用.

參考文獻(xiàn)：

[1] 卓水鑫.高中數(shù)學(xué)解題中構(gòu)造法的巧妙運(yùn)用[J].新課程學(xué)習(xí)，2014，（4）：75-77.