滑動(dòng)式與非滑動(dòng)式GPS精密星歷內(nèi)插方法比較分析

徐煒,賈雪,嚴(yán)超,劉揚(yáng),杜文選,王濤

(安徽理工大學(xué) 測(cè)繪學(xué)院,安徽 淮南 232001)

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滑動(dòng)式與非滑動(dòng)式GPS精密星歷內(nèi)插方法比較分析

徐煒,賈雪,嚴(yán)超,劉揚(yáng),杜文選,王濤

(安徽理工大學(xué) 測(cè)繪學(xué)院,安徽 淮南 232001)

本文在GPS衛(wèi)星5 min精密星歷的基礎(chǔ)上,使用滑動(dòng)式和非滑動(dòng)式的Lagrange多項(xiàng)式插值法、Chebyshev多項(xiàng)式擬合法內(nèi)插衛(wèi)星的瞬時(shí)坐標(biāo),確定了內(nèi)插精度與插值階數(shù)的關(guān)系,并對(duì)各種方法的優(yōu)缺點(diǎn)進(jìn)行了比較分析。結(jié)果表明,滑動(dòng)式內(nèi)插算法能夠抑制插值區(qū)間端點(diǎn)附近的振蕩與跳躍異常,使用較低的插值階數(shù)就可以達(dá)到最優(yōu)的內(nèi)插精度,在內(nèi)插精度與穩(wěn)定性方面都較非滑動(dòng)式內(nèi)插算法有所提高。

GPS;精密星歷;滑動(dòng)式算法;非滑動(dòng)式算法;Lagrange插值;Chebyshev擬合

0 引 言

在利用GPS衛(wèi)星進(jìn)行導(dǎo)航定位時(shí),需要準(zhǔn)確地計(jì)算出衛(wèi)星坐標(biāo),使用廣播星歷外推衛(wèi)星瞬時(shí)坐標(biāo)時(shí)的軌道誤差較大,而根據(jù)IGS提供的精密星歷內(nèi)插衛(wèi)星的瞬時(shí)坐標(biāo)則可以達(dá)到較高的精度。

目前,使用精密星歷求取衛(wèi)星坐標(biāo)的方法主要有非滑動(dòng)式Lagrange多項(xiàng)式插值法、Chebyshev多項(xiàng)式擬合法兩種,但在計(jì)算靠近插值區(qū)間兩端點(diǎn)時(shí)刻的衛(wèi)星坐標(biāo)時(shí),結(jié)果精度較低[1]。針對(duì)非滑動(dòng)式內(nèi)插算法存在的問題,本文研究了一種基于滑動(dòng)式的Lagrange插值法、Chebyshev擬合法,并通過實(shí)例計(jì)算與非滑動(dòng)式的內(nèi)插算法進(jìn)行了對(duì)比,驗(yàn)證了滑動(dòng)式內(nèi)插算法的可靠性。

1 插值與擬合算法原理

1.1 Lagrange多項(xiàng)式插值法

設(shè)y=f(xi)是區(qū)間[a,b]上的一個(gè)實(shí)函數(shù),xi是[a,b]上的n個(gè)互異實(shí)數(shù),且y=f(xi)在xi處的值為yi=f(xi),那么在區(qū)間[a,b]上的任意一點(diǎn)x的n階Lagrange插值多項(xiàng)式的代數(shù)表達(dá)式為[2]

(1)

式中:xi為插值節(jié)點(diǎn); 區(qū)間[a,b]為插值區(qū)間。

在進(jìn)行n階拉格朗日多項(xiàng)式內(nèi)插任意時(shí)刻的衛(wèi)星位置時(shí),需要選取一個(gè)區(qū)間[ta,tb],使得t在區(qū)間內(nèi),并且在選擇的區(qū)間內(nèi)滿足:插值節(jié)點(diǎn)數(shù)≥插值階數(shù)+1[3]。該方法數(shù)學(xué)模型簡單,但在插值節(jié)點(diǎn)數(shù)目變化時(shí)卻需要重新構(gòu)建多項(xiàng)式,衛(wèi)星的瞬時(shí)坐標(biāo)可以表示為

(2)

1.2 Chebyshev多項(xiàng)式擬合法

假定在時(shí)間間隔[t0,t0+Δt]的衛(wèi)星軌道可用n階Chebyshev多項(xiàng)式逼近,其中t0和Δt分別是開始?xì)v元和擬合時(shí)間區(qū)間的長度[4]。

先將t∈[t0,t0+Δt]變化成變量τ∈[-1,1],

(3)

則衛(wèi)星坐標(biāo)可以表示為

(4)

式中:n為多項(xiàng)式的階數(shù);Cxi,Cyi,Czi分別為x,y,z方向的Chebyshev多項(xiàng)式系數(shù)。Chebyshev多項(xiàng)式Ti,可以由下式推導(dǎo)出來:

T0(τ)=1,T1(τ)=τ,

T0(τ)=2τTn-1(τ)-Tn-2(τ); |τ|≤1,n≥2.

(5)

當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)數(shù)一定時(shí),根據(jù)最小二乘理論,其誤差方程為

V=BC+l，

(6)

式中:B為Chebyshev矩陣;l為殘差向量。其法方程為

BTBC-BTl=0，

(7)

可以解算得到系數(shù)C為

C=(BTB)-1BTl.

(8)

將求解得到的系數(shù)C代入上式,就可以求出擬合區(qū)間內(nèi)任意時(shí)刻的衛(wèi)星三維坐標(biāo)[5-6]。

1.3 滑動(dòng)式內(nèi)插算法

非滑動(dòng)式Lagrange插值、Chebyshev擬合內(nèi)插算法都是固定一個(gè)插值區(qū)間,利用該區(qū)間內(nèi)的已知插值節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)來內(nèi)插出區(qū)間內(nèi)部的待插值點(diǎn)坐標(biāo)。該算法的最大缺陷在于,在插值區(qū)間端點(diǎn)附近處的內(nèi)插精度會(huì)變差,坐標(biāo)值會(huì)出現(xiàn)較大的波動(dòng),而滑動(dòng)式內(nèi)插算法則可以克服這個(gè)缺點(diǎn)。

圖1 滑動(dòng)式內(nèi)插算法原理圖

滑動(dòng)式內(nèi)插算法就是通過不斷的變換插值區(qū)間,使得待插值點(diǎn)始終位于插值區(qū)間的中心位置,以此來提高插值精度[7-8]。如每次取12個(gè)插值節(jié)點(diǎn),生成11階插值多項(xiàng)式,那么最佳的插值段就位于第6個(gè)插值節(jié)點(diǎn)與第7個(gè)插值節(jié)點(diǎn)間的中間區(qū)域,只使用第6個(gè)插值節(jié)點(diǎn)與第7個(gè)插值節(jié)點(diǎn)間的插值點(diǎn)作為計(jì)算結(jié)果,將其他節(jié)點(diǎn)處計(jì)算的結(jié)果進(jìn)行舍去。并一直保持這個(gè)插值區(qū)間的大小不變,每次將插值區(qū)間向后移動(dòng)等間隔的距離,使得待插值點(diǎn)始終位于插值區(qū)間的中間位置,其原理如圖1所示[9-10]。

2 算例分析

本文采用由JAXA提供的2015年12月28日0時(shí)0分0秒至2015年12月29日23時(shí)45分0秒采樣間隔為5 min的SP3精密星歷數(shù)據(jù),以PRN20號(hào)衛(wèi)星作為實(shí)驗(yàn)對(duì)象進(jìn)行插值實(shí)驗(yàn)。插值與擬合的區(qū)間為12月29日0時(shí)0分0秒至12月29日3時(shí)0分0秒,其余數(shù)據(jù)為滿足滑動(dòng)式內(nèi)插算法所需要的數(shù)據(jù)。

由于精密星歷的采樣間隔為5 min,為了比較內(nèi)插結(jié)果的精度,選取12月29日0時(shí)0分至12月29日每隔10 min間隔的衛(wèi)星位置作為插值節(jié)點(diǎn)(共19個(gè)插值節(jié)點(diǎn)),將每隔5 min間隔的衛(wèi)星位置作為已知數(shù)據(jù)進(jìn)行檢核。選擇滑動(dòng)式與非滑動(dòng)式的Lagrange插值法、Chebyshev擬合法計(jì)算出3 h內(nèi)每隔5 min的衛(wèi)星坐標(biāo),并將計(jì)算出的衛(wèi)星坐標(biāo)與精密星歷的衛(wèi)星坐標(biāo)進(jìn)行對(duì)比,求出殘差值及RMS值,具體流程如圖2所示。

圖2 衛(wèi)星坐標(biāo)插值計(jì)算流程圖

2.1 非滑動(dòng)式內(nèi)插算法精度分析

2.1.1 非滑動(dòng)式Lagrange插值精度分析

在用Lagrange多項(xiàng)式內(nèi)插衛(wèi)星位置時(shí),由于插值階數(shù)受到插值節(jié)點(diǎn)數(shù)的限制,一般n個(gè)插值節(jié)點(diǎn)最大能夠達(dá)到n-1階。從12月29日0時(shí)0分0秒起開始依次選取6個(gè)插值節(jié)點(diǎn)至19個(gè)插值節(jié)點(diǎn),以實(shí)現(xiàn)5階～18階的非滑動(dòng)式Lagrange多項(xiàng)式插值,并分析不同的插值階數(shù)對(duì)內(nèi)插精度的影響,非滑動(dòng)式Lagrange多項(xiàng)式不同階數(shù)時(shí)的內(nèi)插值精度如表1所示。

表1 不同階次Lagrange多項(xiàng)式內(nèi)插結(jié)果

為了形象地表現(xiàn)出內(nèi)插精度的變化過程,圖3示出了三維方向上的非滑動(dòng)式Lagrange多項(xiàng)式內(nèi)插精度的變化曲線。

不比不知道，一比嚇一跳。在茄子移栽后34天，洋豐百倍邦套餐肥展現(xiàn)了強(qiáng)勁效果。觀摩會(huì)當(dāng)天，眾人冒著高溫，在新洋豐工作人員帶領(lǐng)下來到茄子示范田。剛進(jìn)入茄子地，眾人就被左右兩塊茄子地長勢(shì)差距震驚了，示范田茄子植株明顯比對(duì)照田要高出一大截。在眾人驚奇之余，盧瓊珍高興地為觀摩人員介紹示范田和對(duì)照田的施肥方案。他一共租80畝地，其中一半轉(zhuǎn)租出去。因盧瓊珍是新洋豐肥料零售商，剩余40畝地在新洋豐技術(shù)員指導(dǎo)下，施用了百倍邦套餐肥。

圖3 非滑動(dòng)式Lagrange插值法RMS值隨階數(shù)變化曲線

從表1和圖3可知,隨著插值階數(shù)的增加,內(nèi)插精度先增加后減小,在階數(shù)為9時(shí)的內(nèi)插精度最高,三維坐標(biāo)分量達(dá)到最佳插值精度的階數(shù)也不完全相同;非滑動(dòng)式Lagrange多項(xiàng)式內(nèi)插時(shí)在區(qū)間兩端出現(xiàn)了較大誤差,通過將端點(diǎn)處數(shù)據(jù)剔除后的RMS值與未剔除的RMS值對(duì)比可以發(fā)現(xiàn),插值區(qū)間段中間部分的插值精度較為理想,故在實(shí)際應(yīng)用中應(yīng)將區(qū)間兩端的插值點(diǎn)踢除,盡量使用中間部分的數(shù)據(jù)。

2.1.2 非滑動(dòng)式Chebyshev擬合的精度分析

在使用非滑動(dòng)式Chebyshev擬合法內(nèi)插待定點(diǎn)的衛(wèi)星坐標(biāo)時(shí),應(yīng)滿足擬合節(jié)點(diǎn)數(shù)≥擬合階數(shù)+1,內(nèi)插精度與插值節(jié)點(diǎn)數(shù)以及插值階數(shù)具有密切的關(guān)系。為了說明內(nèi)插精度與插值階數(shù)的關(guān)系,依次選取0:10、0:20、…、3:00等19個(gè)已知點(diǎn)作為插值節(jié)點(diǎn),選擇插值階數(shù)為8、9、…、18,內(nèi)插出5 min間隔的衛(wèi)星坐標(biāo),并與5 min間隔的精密星歷提供的坐標(biāo)對(duì)比,得出殘差值與RMS值,計(jì)算結(jié)果如表2、圖4所示。

表2 不同階次Chebyshev內(nèi)插結(jié)果

圖4 非滑動(dòng)式Chebyshev多項(xiàng)式RMS值隨階數(shù)變化曲線

從表3、圖4可知,隨著插值階數(shù)不斷的變化,內(nèi)插精度也隨之變化。8～13階時(shí)的內(nèi)插精度逐漸提高,13～18階時(shí)的內(nèi)插精度又逐漸變差,與非滑動(dòng)式Lagrange插值法內(nèi)插精度隨階數(shù)的變化趨勢(shì)基本一致,但非滑動(dòng)式Chebyshev擬合法的內(nèi)插精度要優(yōu)于非滑動(dòng)式Lagrange插值法的內(nèi)插精度;在11～15階時(shí)的三維坐標(biāo)分量內(nèi)插精度都在1 mm以內(nèi),優(yōu)于精密星歷的坐標(biāo)誤差,完全能夠滿足精密單點(diǎn)定位的要求;同時(shí)發(fā)現(xiàn)三維方向達(dá)到最佳內(nèi)插精度時(shí)的插值階數(shù)并不相同,在實(shí)際應(yīng)用中可以對(duì)三維坐標(biāo)分量分別選取不同的插值階數(shù),已到達(dá)期望的內(nèi)插精度。

2.2 滑動(dòng)式內(nèi)插算法精度分析

2.2.1 滑動(dòng)式Lagrange插值精度分析

選取0:10、0:20、…、3:00這些點(diǎn)作為插值節(jié)點(diǎn),使用滑動(dòng)式Lagrange插值法內(nèi)插出3小時(shí)內(nèi)每個(gè)5 min間隔的插值點(diǎn)衛(wèi)星坐標(biāo)?；瑒?dòng)式Lagrange插值需要保證在每隔插值區(qū)間的前后都要有相同的插值節(jié)點(diǎn),如在使用11階Lagrange多項(xiàng)式內(nèi)插0:00-0:10時(shí)間段內(nèi)的衛(wèi)星坐標(biāo)時(shí),向左選取28日22:00-23:00的6個(gè)插值節(jié)點(diǎn),向右選取29日0:10-1:00的6個(gè)插值節(jié)點(diǎn)。對(duì)于插值節(jié)點(diǎn)處的衛(wèi)星坐標(biāo)不進(jìn)行插值,使用精密星歷提供的數(shù)據(jù),計(jì)算出插值點(diǎn)處衛(wèi)星坐標(biāo)與精密星歷所提供衛(wèi)星坐標(biāo)的殘差值與RMS值,計(jì)算結(jié)果如表3、圖5所示。

表3 不同階次滑動(dòng)式拉格朗日內(nèi)插結(jié)果

圖5 滑動(dòng)式Lagrange多項(xiàng)式RMS值隨階數(shù)變化曲線

從表3、圖5可以看出,隨著插值階數(shù)的增加,內(nèi)插精度不斷提高。在5階以下時(shí),滑動(dòng)式Lagrange插值法內(nèi)插結(jié)果有較大誤差,最大的RMS值達(dá)到1 m左右。當(dāng)插值階數(shù)達(dá)到7時(shí),RMS值已經(jīng)能夠達(dá)到毫米級(jí);當(dāng)插值階數(shù)在9～15時(shí),三維坐標(biāo)分量的RMS值基本穩(wěn)定在毫米量級(jí)?；瑒?dòng)式Lagrange的內(nèi)插結(jié)果優(yōu)于非滑動(dòng)式Lagrange的內(nèi)插結(jié)果,高次插值時(shí)也沒有出現(xiàn)“龍格現(xiàn)象”。此外,由于增加插值階數(shù)會(huì)相應(yīng)的增加計(jì)算量,因此建議在實(shí)際使用中在滿足內(nèi)插精度的情況下盡量選擇較低的插值階數(shù)。

2.2.2 滑動(dòng)式Chebyshev擬合的精度分析

選取0:00-3:00內(nèi)10 min倍數(shù)的時(shí)間點(diǎn)作為插值節(jié)點(diǎn),使用滑動(dòng)式Chebyshev插值法內(nèi)插出3小時(shí)內(nèi)每個(gè)5 min間隔的插值點(diǎn)衛(wèi)星坐標(biāo),并計(jì)算出插值點(diǎn)處的殘差值與RMS值,計(jì)算結(jié)果如表4、圖6所示。

表4 不同階次滑動(dòng)式Chebyshev內(nèi)插結(jié)果

圖6 滑動(dòng)式Chebyshev多項(xiàng)式RMS值隨階數(shù)變化曲線

從表4、圖6可以看出,5～9階之間的RMS值隨著插值階數(shù)的增加而不斷增加,9～15階時(shí)的RMS值趨于穩(wěn)定,約在1 mm以內(nèi)。滑動(dòng)式Chebyshev擬合法比滑動(dòng)式Lagrange插值法的內(nèi)插精度要高,兩種方法的RMS值隨插值階數(shù)的變化趨勢(shì)完全一致?；瑒?dòng)式Chebyshev法與非滑動(dòng)式Chebyshev法內(nèi)插精度相當(dāng),而達(dá)到相同內(nèi)插精度時(shí)所用的插值階數(shù)更小,不會(huì)出現(xiàn)隨插值階數(shù)的增加內(nèi)插精度變差的情況。

2.3 滑動(dòng)式與非滑動(dòng)式方法內(nèi)插精度對(duì)比分析

為了對(duì)滑動(dòng)式與非滑動(dòng)式內(nèi)插算法的內(nèi)插性能進(jìn)行比較,選取滑動(dòng)式與非滑動(dòng)式Lagrange插值法、Chebyshev擬合法RMS值最小時(shí)的階數(shù)作為插值階數(shù),計(jì)算出待插值點(diǎn)的衛(wèi)星坐標(biāo)及與精密星歷坐標(biāo)的殘差值。非滑動(dòng)式內(nèi)插算法的殘差分布如圖7所示,滑動(dòng)式內(nèi)插算法的殘差分布如圖8所示。

圖7 非滑動(dòng)式內(nèi)插方法殘差圖(a)9階非滑動(dòng)式拉格朗日插值法殘差分布圖(b)13階非滑動(dòng)式Chebyshev擬合法殘差分布圖

圖8 滑動(dòng)式內(nèi)插方法殘差圖(a)9階滑動(dòng)式拉格朗日插值法殘差分布圖(b)13階滑動(dòng)式Chebyshev擬合法殘差分布圖

從圖7、圖8可知,非滑動(dòng)式拉格朗日插值算法在末端產(chǎn)生了較大的誤差,衛(wèi)星坐標(biāo)殘差產(chǎn)生了較大跳躍,而滑動(dòng)式拉格朗日插值算法的殘差分布則相對(duì)穩(wěn)定;滑動(dòng)式拉格朗日插值算法在靠近插值區(qū)間的端點(diǎn)雖然也有些波動(dòng)但相對(duì)于殘差值的總體變化而言,波動(dòng)的幅度并不大,已經(jīng)能夠滿足導(dǎo)航定位的要求;滑動(dòng)式Chebyshev多項(xiàng)式擬合算法與非滑動(dòng)式Chebyshev多項(xiàng)式擬合算法內(nèi)插的殘差值基本相同,滑動(dòng)式的算法殘差分布更穩(wěn)定一些;滑動(dòng)式Chebyshev多項(xiàng)式擬合算法較滑動(dòng)式拉格朗日插值算法的計(jì)算結(jié)果精度稍高,波動(dòng)也更小;滑動(dòng)式算法精比非滑動(dòng)式算法的內(nèi)插精度要高,因此,建議在實(shí)際的應(yīng)該中優(yōu)先使用滑動(dòng)式內(nèi)插算法,避免使用高階非滑動(dòng)式拉格朗日算法。

3 結(jié)束語

1) 滑動(dòng)式內(nèi)插算法與非滑動(dòng)式內(nèi)插算法相比,使用較小的插值階數(shù)就可以達(dá)到最優(yōu)的插值精度,計(jì)算效率更高,能有效的抑制插值區(qū)間端點(diǎn)處的振蕩和跳躍現(xiàn)象。

2) 使用滑動(dòng)式與非滑動(dòng)式內(nèi)插算法計(jì)算待插值點(diǎn)坐標(biāo)時(shí),在一定的階數(shù)內(nèi),內(nèi)插精度隨著插值階數(shù)的增加而逐漸提高,但當(dāng)插值階數(shù)達(dá)到一定數(shù)值時(shí),隨著插值階數(shù)的增加,滑動(dòng)式內(nèi)插精度逐漸趨于穩(wěn)定,非滑動(dòng)式內(nèi)插精度出現(xiàn)了下降趨勢(shì)。

3) 衛(wèi)星的三維坐標(biāo)分量在取同一插值階數(shù)時(shí)的內(nèi)插精度不同,達(dá)到最佳插值精度時(shí)所取的插值階數(shù)也并不相同,在內(nèi)插衛(wèi)星坐標(biāo)時(shí)可以對(duì)三個(gè)坐標(biāo)分量選取不同的插值階數(shù),以達(dá)到最佳的插值精度。

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The Method of Comparative Analysis Sliding and Non Sliding GPS Precise Ephemeris Interpolation

XU Wei,JIA Xue,YAN Chao,LIU Yang,DU Wenxuan,WANG Tao

(SchoolofGeodesyandGeomatics,AnhuiUniversityofScienceandTechnology,Huainan232001,China)

Based on the 5-minute precision ephemeris of GPS satellites, this paper uses Lagrange polynomial interpolation with the type of sliding and non-sliding and Chebyshev polynomial fitting method to calculate the instantaneous coordinates of the satellites. The relationship between the precision of interpolation and interpolation order is determined, then the advantages and disadvantages of various methods are compared and analyzed. The results show that the interpolation algorithm with the type of sliding can suppress the oscillation and jumping anomaly near the endpoints in the Interpolation interval and making use of lower interpolation order can achieve optimal interpolation accuracy, in addition, both interpolation accuracy and stability are improved compared to the algorithm of non-sliding interpolation.

GPS; precise ephemeris; sliding algorithm; non sliding algorithm; Lagrange interpolation; Chebyshev fitting

10.13442/j.gnss.1008-9268.2017.02.004

2016-12-26

國家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào):41474026); 淮南礦業(yè)(集團(tuán))有限責(zé)任公司項(xiàng)目(編號(hào):HNKY-JTJS(2013)-28); 安徽省國土資源廳科技項(xiàng)目(編號(hào):2011-K-22;2011-K-18);安徽理工大學(xué)研究生創(chuàng)新基金(編號(hào)：2017CX2056)

P228.4

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1008-9268(2017)02-0015-06

徐煒 (1992-),男,安徽蕪湖人,碩士生,主要研究方向?yàn)镚NSS導(dǎo)航與數(shù)據(jù)處理。

賈雪 (1990-),女,河南周口人,碩士生,主要研究方向?yàn)榇蟮販y(cè)量學(xué)與測(cè)量工程。

嚴(yán)超 (1993-),男,安徽滁州人,碩士生,主要研究方向?yàn)?GNSS 導(dǎo)航與數(shù)據(jù)處理。

劉揚(yáng) (1991-),男,山東萊蕪人,碩士生,主要研究研究方向?yàn)?GNSS 數(shù)據(jù)處理。

杜文選 (1992-),男,安徽宿州人,碩士生,主要研究方向?yàn)?GNSS 導(dǎo)航與定位。

王濤 (1992-),男,安徽六安人,碩士生,主要研究方向?yàn)?GNSS 導(dǎo)航與數(shù)據(jù)處理。

聯(lián)系人: 徐煒E-mail:1157896096@qq.com