查非

南開大學(xué)哲學(xué)院

zhafei@nankai.edu.cn

局部語言的代數(shù)結(jié)構(gòu)
——關(guān)于局部語義的一些一般性觀察（1）*

查非

南開大學(xué)哲學(xué)院

zhafei@nankai.edu.cn

在模態(tài)邏輯中，出于構(gòu)造有窮模型這一特殊動機，用于構(gòu)造過濾的公式集被設(shè)計成對所有子公式封閉的。事實上，僅就構(gòu)造過濾模型而言，一個布爾代數(shù)可以經(jīng)由非獨立的生成子生成，因此公式集對子公式封閉是不必要的。運用子代數(shù)域的封閉算子，我們可以在命題邏輯的意義上定義一種貫徹了D.M.Armstrong的Combinatorialism本體論的可能世界模型。我們姑且稱相應(yīng)的理論為局部語義。不難發(fā)現(xiàn)，局部語義可以被應(yīng)用于大多數(shù)涉及到信念狀態(tài)，上下文語境的哲學(xué)邏輯領(lǐng)域以及人工智能領(lǐng)域。

局部；語境；過濾；布爾代數(shù)

1 引言

在模態(tài)邏輯中，出于構(gòu)造有窮模型這一特殊動機，用于構(gòu)造過濾的公式集Γ被設(shè)計成對所有子公式封閉的。拋開構(gòu)造有窮模型這個動機本身，過濾提供了一種構(gòu)造模型的方法：一個模型的過濾只為語言中的一部分表達(dá)式提供解釋，使得這部分表達(dá)式在語言中形成了一個獨立的部分，姑且稱之為當(dāng)前語言的一個局部?，F(xiàn)在，根據(jù)經(jīng)典定義，Γ相對于子公式的封閉性要求語言的局部只能在命題變元集上被劃定。

眾所周知，關(guān)于自然語言的語義，存在著整體主義和原子主義之間的爭議。而通過過濾劃定的語言局部可以視為形式語言的某種功能上的局部?，F(xiàn)在拋開語義整體論的問題，但就形式化工作而言，我們是否有必要在設(shè)計一種形式語言的時候設(shè)法使得全體符號或者全體合式公式中的一部分能夠獨立的在句法和語義上同時實現(xiàn)相對于語言總體的功能獨立性？

事實上，很多非經(jīng)典邏輯具有類似的傾向，我們可以籠統(tǒng)的將其概括為“反對形式系統(tǒng)在功能上的整體主義”，它們都有著各自獨特的動機，信念修正或許是這方面最具典型性的例子：一個信念狀態(tài)自身是封閉的，對于信念狀態(tài)以外的表達(dá)式，信念狀態(tài)具有功能上的獨立性。這種獨立性擺脫了傳統(tǒng)本體論條件句邏輯的本體論包袱，而且貫徹了有限理性的直觀思想。

還有些不那么典型的例子，譬如在句法或語義實體之間建立距離關(guān)系的各種努力：相干邏輯中，對相干蘊含式前后件在符號上的關(guān)聯(lián)性，潛在的為表達(dá)式之間確立了某種距離關(guān)系。直陳條件句邏輯，本體論條件句邏輯同樣以某種形式建立了表達(dá)式與表達(dá)式或者可能世界與可能世界之間的距離關(guān)系。語言的或語義的實體之間距離關(guān)系的建立意味著語言整體具有某種空間分布，這種空間分布決定了至少語言的一部分功能是依賴空間分布上的語言局部而實現(xiàn)的。

另一方面，在涉及到語境或者情境的各種形式系統(tǒng)中，可能世界被按照語境或情境的條件進(jìn)行了分類，譬如Kaplan的二維語義（[5]），Stalnaker關(guān)于預(yù)設(shè)與語境的工作（[7]）。這種分類的本質(zhì)是借助那些本體論上被假定為“完整的”可能世界而構(gòu)造本體論上“不完整的”可能世界，即由那些被篩選出的可能世界的共同特征所決定的世界的局部。

我們看到，各種“反對形式系統(tǒng)在功能上的整體主義”的非經(jīng)典邏輯，其語義要么依賴于某種針對可能世界的“類型選擇”，要么可以被等價的轉(zhuǎn)換為依賴“類型選擇”的語義，其中的一部分要求對“類型選擇”的方式描述的更加具體，而另一部分則訴諸于“選擇函數(shù)”，并一直為如何定義“選擇函數(shù)”而爭論?！邦愋瓦x擇”在技術(shù)上就是“過濾”。如前所述，Γ相對于子公式的封閉性要求語言的局部只能在命題變元集上被劃定。命題變元是彼此獨立的，因此可以生成自由的代數(shù)結(jié)構(gòu)。但僅就構(gòu)造過濾而言，這種“自由”是不必要的，因為一個布爾代數(shù)可以經(jīng)由非獨立的生成子生成。對于前述種種非經(jīng)典邏輯而言，“語言的功能局部”的直觀背景常常在句法上不涉及對“原子命題”的假設(shè)，在語義上相應(yīng)的，不要求對“可能世界”的描述能夠“極大一致”。這樣看來，用“子公式封閉集”進(jìn)行過濾，使得我們常常將過濾的“網(wǎng)眼”畫得太細(xì)了，不僅限制了系統(tǒng)的功能性，也在說明語義的直觀背景時被迫背負(fù)沉重的本體論負(fù)擔(dān)。

上述“過濾”方法與直觀背景之間呈現(xiàn)出的分裂可以歸結(jié)為兩種可能世界本體論直觀之間的沖動：“子公式封閉集”使得“過濾”方法傾向于一種對Abstractionsim（[4]）可能世界的本體論承諾，而“形式系統(tǒng)在功能上的局部主義”則傾向于Combinatorialism（[1,2]）可能世界的本體論承諾。為區(qū)別兩者，我們可以用一個不太恰當(dāng)?shù)谋扔鳎喝绻f世界是一條染色體，那么abstractionism認(rèn)為世界是事態(tài)的模態(tài)疊加，即一條染色體上有一系列固定的基因座位，每個基因座位決定了一系列等位基因，因此染色體（可能世界）的種類是每個基因座位上等位基因種類的數(shù)量相乘的結(jié)果，由基因座位所決定的基因的不同類型直接具有本體論的共同完備性（jointly exhaustive），等位基因之間則是互斥的（mutually exclusive）。而Combinatorialism則認(rèn)為盡管存在著不同類型的基因，且同類型的基因之間（即等位基因之間）在染色體上互斥，但染色體的長度和順序是不固定的，即諸類型之間沒有共同完備性。所以依靠過濾的方法得到的模型，它會假設(shè)可能世界的結(jié)構(gòu)是固定的，可以變換的只是每個“事態(tài)座位”上坐著哪個具體的原子事態(tài)，這在哲學(xué)上符合的是Abstractionism的直觀，而“語言功能的局部主義”更加符合Combinatorialism的直觀。

從技術(shù)上，本文的出發(fā)點是提供一種類似于“過濾”但公式集不對命題變元封閉的模型構(gòu)造方法。在直觀背景上本文以及本系列的后續(xù)文章的動機是貫徹“功能分布在語言的局部”的主張。即主張一個公式集能夠在語言上形成一個局部，使得演繹封閉性被定義在這個語言的局部上，即演繹封閉的公式集只是對相應(yīng)語言局部上的公式進(jìn)行二分，而不是對語言上的全體公式。公式集不對命題變元封閉不等于不對“子公式”封閉，只是此時的子公式不只要求在全局語言上“可表征”（representable），如命題變元，而且要求其在局部語言上也是“可表征”的。如何在一個公式集Γ和組成Γ中公式的那些命題變元之間恰當(dāng)?shù)慕⒁粋€語言的局部是技術(shù)上的關(guān)鍵。這也使得“局部語言”的技術(shù)方法和直觀背景在Combinatorialism的可能世界觀上得到統(tǒng)一。

2 預(yù)備

此部分內(nèi)容主要整理自文獻(xiàn)[3,4]。

基礎(chǔ)語言L0是代數(shù)類型F0={⊥,?,∨,∧}在一個以變元（符號）集X上的項集Term0(X)，相應(yīng)的有項代數(shù)Term0(X)=〈Term0(X),F0〉。在后文中，當(dāng)我們使用L0指Term0(X)，用L0指相應(yīng)的代數(shù)Term0(X)。令Y?X，則有基礎(chǔ)語言L0的x型局部語言Term0(Y)，即F0在X的子集Y上的項集。相應(yīng)的有項代數(shù)Term0(Y)=〈Term0(Y),F0〉。Sg表示一個代數(shù)A=〈A,F0〉上的子域算子，Sg(X)在X?A時表示由子集X生成的子域。一個F型代數(shù)的類K被稱為一個簇（Varieties），如果它在子代數(shù)，同態(tài)映像，和直積下封閉，記作V(K)=K。我們用Con(A)表示代數(shù)A上所有全等關(guān)系（Congruences）的集合；用Id(X)表示L0上全體恒定式（Identities）的集合{p≈q:〈p,q〉∈L0×L0}；將雙射τ:Id(X)→L0×L0定義為τ(p≈q)=〈p,q〉；用IS(K)表示一個代數(shù)類K在子代數(shù)同構(gòu)映像下的閉包；用“?”表示代數(shù)（類）與恒定式（集）之間的滿足關(guān)系。

定義1 令B是一族布爾代數(shù)，給定變元集X在L0上定義了全等關(guān)系θB(X)=∩ΦB(X)，其中ΦB(X)={?∈Con(L0):L0/?∈IS(B)}。則稱上相對B自由的布爾代數(shù)。

定理1 對于每個A∈B以及每個映射α:X→A，都存在一個同態(tài)我們稱這個結(jié)論為在X上對B的全局映射性，稱X為B的一個自由生成子的集合，并稱由X自由生成。

定理2 θB=τ(IdB(X))，其中IdB(X)={p≈q∈Id(X):B?p≈q}。

定義2 設(shè)B是A的子集，θ是A上的全等。則Bθ={a∈A:B∩a/θ≠?}。令Bθ是A經(jīng)由Bθ的子代數(shù)。同時定義θ?B為θ∩B2，叫做θ對B的限制。

3 第一類基本結(jié)構(gòu)

注記1 以下，我們將借助L0中的項構(gòu)造一種代數(shù)（局部代數(shù)），它處于B之內(nèi)。盡管此類代數(shù)的元素來自L0，但我們不能簡單的認(rèn)為它們是符號，確切的說，它們是作為符號的元素。我們會為局部代數(shù)建立一套統(tǒng)一的符號系統(tǒng)，這個系統(tǒng)通過上項的唯一可讀性、項所表征的函數(shù)以及項與項之間的子項關(guān)系為每個項確定了一個二叉樹，并通過二叉樹上的極大反鏈建立了子項之間的組合規(guī)則。有了這個系統(tǒng)，才有適用于局部代數(shù)的等式邏輯。但由于本文的篇幅所限，這部分內(nèi)容將在后續(xù)文章中加以介紹。

通過L0上的元素，有兩種最直接的方式來構(gòu)造新的代數(shù)：我們可以依賴于X的子集Y構(gòu)造也可以用子集Γ?L0，用Γ/θB生成子的子代數(shù)。前者可以使得每個等價類上項的變元被限制在Y之內(nèi)，但結(jié)構(gòu)上卻是單一的，即如果X和Y具有相同的基數(shù)，則與總是同構(gòu)的，因為Y中的元素是彼此獨立的。后者的生成集上的等價類一般不是獨立的，但在各等價類上，項的結(jié)構(gòu)仍然依賴于X，因為等價類是在L0上被定義的。

現(xiàn)在，我們可以簡單的將兩種方式結(jié)合在一起，即由Γ?L0中出現(xiàn)的全體變元確定一個Y?X，再用Y對θB進(jìn)行限制，即取θB∩(Term0(Y)×Term0(Y))記為θB?Term0(Y)，這是類似于模態(tài)邏輯過濾模型的方法，但是這依然要假定某種Abstractionism式的可能世界，也就是上的超濾?；蛘咭部梢灾苯影薛Ｉ系脑刈鳛樯勺?，從而把前面的限制條件由Term0(Y)換做Term0(Γ)，但此時Term0(Γ)上很多的項是可以用L0上更簡單的項來加以表征的，例如當(dāng)x1∨(x1∧x2)∈Γ時，如果x1,x2Γ，我們是否應(yīng)該考慮在x1∨(x1∧x2)∈Γ的子公式x1,x2,(x1∧x2)中選擇將x1加入到當(dāng)前語言的局部中來？另一方面，如果采用Γ上的元素作為當(dāng)前局部的生成子，那么對于x1∨(x1∧x2)∈Γ，我們一般不會有(x1∧x2)∨x1∈Γ，更不會有x1∨(x2∧x1)∈Γ，(x2∧x1)∨x1∈Γ，這是否是自然的？我們可以在Γ與Y之間建立某種中間的層位作為當(dāng)前局部的生成子集。

定義3 令公式集Γ?L0，令Y?X是Γ諸項中所出現(xiàn)的變元的集合。則稱Term0(Y)是由Γ生成的x型局部語言，記作xL0(Γ)，相應(yīng)的有：

定義4 一個代數(shù)A的元素a在其由Γ?A生成的子代數(shù)B中是可表征的，如果p∈B。

定義5 令A(yù)?L0，我們稱A是L0的局部語言，當(dāng)且僅當(dāng)，A是L0的子域，并且對于任意a,b∈xL0(A),〈a,b〉∈θB?xL0(A)，有若a∈A，則b∈A。

定理3 我們定義L0(Γ)=(Sg(Γ))θx,Γ，則有L0(Γ)是L0的局部語言。（證明略）

4 原始配置

由原始配置，我們可以擴充局部代數(shù)上的全等關(guān)系，甚至使其退化（Degenerate），但全局上的退化不意味著局部的退化，某個局部上的退化也不意味著其他局部的退化以及退化局部上更細(xì)小局部的退化。這也是Combinatorialism與Abstractionism兩種直觀背景的一個重要差異：前者不假定語言對世界的描述可以是極大一致的，因此語言構(gòu)造了我們對世界的印象，而后者的世界先于語言存在，語言的功能限于描述世界之間的差異。

定義7 令A(yù)是一個代數(shù)，Con(A)是A上全體全等關(guān)系的集合，則Con(A)是一個代數(shù)格。令?=A×A，令△={〈a,a〉,a∈A}，則?是Con(A)的全上界，△是Con(A)的全下界。我們定義A×A上的代數(shù)封閉算子?，使它恰是用來定義代數(shù)格Con(A)的子域封閉算子。

定義8 對于由X生成的全局語言L0，我們?yōu)槠涮砑右粋€項的有序?qū)Φ募螴∈L0×L0。全局語言L0在獲得了原始配置I后，會獲得一個新的全等關(guān)系以及相應(yīng)的全局代數(shù)

定義9 帶原始配置的x型局部代數(shù)在由Γ∈L0生成的，x型局部語言xL0(Γ)上，由原始配置I會得到一個新的全等關(guān)系以及相應(yīng)的x型局部代數(shù)

注記3 原始配置I在語言局部的作用是具有伸縮性的：局部語言L0(Γ)在I上劃定了一個范圍，只有當(dāng)p,q∈L0(Γ)時，〈p,q〉∈I才能夠在局部語言L0(Γ)上被表征，但是I中能夠被當(dāng)前局部語言表征的部分會為xL0(Γ)擴充其全等關(guān)系，使得L0(Γ)在擴充后的等價類上不再是整齊的，即不滿足定義5對局部語言的要求。而當(dāng)我們對L0(Γ)進(jìn)行擴充，使它在xL0(Γ)上重新變得整齊以后，就可能有新的I中的序?qū)υ谛聰U充的語言上變得可表征。這個過程循環(huán)往復(fù)，但這個過程是有極限的，因為局部語言的擴充顯然存在一個上界，就是xL0(Γ)本身，而全等關(guān)系的擴充同樣存在一個上界，就是Θ0,x,I(Γ)。并且明顯的，局部語言L0(Γ)受到I的控制，在xL0(Γ)上擴充的每一步，得到的都是xL0(Γ)上的一個整局部。

定義10 受到I控制的局部語言L0,I(Γ)我們借助遞歸函數(shù)L0,I(Γ,n)來定義局部語言L0,I(Γ)如下：

于是，我們定義：

定理4 對于任意n≥0，有Θ0,I(Γ,n)是xL0(Γ)上的全等，且L0,I(Γ,n)是L0的局部語言。（證明略）

注記4 L0,I(Γ,n)是I在xL0(Γ)的范圍內(nèi)對L0(Γ)實施的擴充。其中L0(Γ)的構(gòu)造依賴于θx,Γ，對L0(Γ)擴充的每一個步驟依賴于對θx,Γ擴充的每一個步驟。我們稱L0(Γ,n+1)?L0(Γ,n)是擴充過程產(chǎn)生的語言的層，Θ0,I(Γ,n+ 1)?Θ0,I(Γ,n)是擴充過程中產(chǎn)生的全等的層。我們說L0(Γ,n+1)?L0(Γ,n)這一層誘導(dǎo)了Θ0,I(Γ,n+1)?Θ0,I(Γ,n)這一層。而Θ0,I(Γ,n+1)?Θ0,I(Γ,n)這一層又繼而誘導(dǎo)了L0(Γ,n+2)?L0(Γ,n+1)這一層。

定理6 局部封閉定理

一：Θ0,I(Γ)不擴充 L0,I(Γ)，即對應(yīng)任意 p∈ L0,I(Γ)，有 p/Θ0,I(Γ)?L0,I(Γ)。二:L0,I(Γ)不擴充Θ0,I(Γ)，即Θ0,I(Γ)∩I=(L0,I(Γ)×L0,I(Γ))∩I。

證明:一：若p∈Sg(Γ)，則結(jié)論明顯成立，否則，或者p∈L0(Γ)，或者存在n≥ 0使得p∈L0(Γ,n+1)?L0(Γ,n)。任取q∈p/Θ0,I(Γ)，則〈q,p〉∈Θ0,I(Γ)，則或者〈q,p〉∈0,I(Γ,0)，或者存在m ≥0，使得〈q,p〉∈Θ0,I(Γ,m+1)?Θ0,I(Γ,m)。若n≥m，則自然有q∈L0,I(Γ)；若m＞n，則q∈L0,I(Γ,m+1)。

二：第一步，往證Θ0,I(Γ)∩I?(L0,I(Γ)×L0,I(Γ))∩I。任取〈p,q〉∈Θ0,I(Γ)∩I。則要么 〈p,q〉∈ θx,Γ，要么存在 〈p,q〉∈ Θ0,I(Γ,0),要么存在n使得〈p,q〉∈Θ0,I(Γ,n+1)?Θ0,I(Γ,n)。故總是存在L0(Γ,n+1)使得〈p,q〉∈L0(Γ,n+1)×L0(Γ,n+1)∩I。所以有〈p,q〉∈(L0,I(Γ)×L0,I(Γ))∩I。第二步，往證(L0,I(Γ)×L0,I(Γ))∩I?Θ0,I(Γ)∩I：任取〈p,q〉∈(L0,I(Γ)×L0,I(Γ))∩I，則總存在n≥0使得p,q∈L0,I(Γ,n)，則有〈p,q〉∈Θ0,I(Γ,n)。

定理7 根據(jù)第三同構(gòu)定理易知，若令Sg(Γ)/(Θ0,I(Γ)?Sg(Γ))=A，A為以相應(yīng)的F型代數(shù)，則有

5 濾子

在以后的工作中，我們需要在為局部代數(shù)建立的符號系統(tǒng)上定義可滿足性和演繹后承關(guān)系。由于我們的模型是由一個項集Γ?L0生成的，因此定義可滿足性的前提是明確項集Γ和由其生成的的局部代數(shù)之間“滿足關(guān)系”，確切的說就是在上是否存在一個超濾，使得是這個超濾的子集。更進(jìn)一步的，如果存在著這樣的超濾，那么它是不是唯一的。

定義11 若X?B，B是布爾代數(shù)，則令?X={?a:a∈X}。

定理8([3]，第143頁) 對于給定布爾代數(shù)B有：對于任意id?B，id是理想，當(dāng)且僅當(dāng)，?id是過濾。對于任意fi?B，fi是過濾，當(dāng)且僅當(dāng)，?fi是理想。

特發(fā)性脊柱側(cè)凸的分型經(jīng)過長期的研究和探索，隨著特發(fā)性脊柱側(cè)凸數(shù)據(jù)庫的不斷擴大，也伴隨著影像設(shè)備及技術(shù)的不斷更新，從單平面到雙平面，再到三平面，逐漸向三維發(fā)展，從普通的X線平片、普通CT、單層螺旋CT、多層螺旋CT的進(jìn)步，應(yīng)用CT的強大的后處理功能，能進(jìn)行更精細(xì)的研究，進(jìn)一步與特發(fā)性脊柱側(cè)凸解剖畸形相貼合，對其畸形的理解更加精確。未來可以對特發(fā)性脊柱側(cè)凸應(yīng)用EOS影像系統(tǒng)進(jìn)行三維立體數(shù)據(jù)建模、3D打印建模以及有限元分析，使特發(fā)性脊柱側(cè)凸的分型更加準(zhǔn)確，從而對該疾病的矯形進(jìn)行全方位指導(dǎo)。

定理9([3]，第144頁) 令B是布爾代數(shù)。若θ是B上的二元關(guān)系，則θ是B上的全等當(dāng)且僅當(dāng)，⊥/θ是一個理想且對任意a,b∈B有:〈a,b〉∈θ iff?(a?b)∈⊥/θ。

定理10([3]，第148頁) 令B是一個布爾代數(shù)，則第一，B上所有理想（ideals）的集合（記作Ideal(B)）在?下構(gòu)成一個分配格。第二，B上所有的過濾（filters）的集合（記作Filter((B))）在?下構(gòu)成一個分配格。第三，上述兩個格都與Con B在下述映射下同構(gòu)：

定理11 令代數(shù)A∈B，filter∈Filter(A)，則有?(filter)∪filter是A上的子域。

證明:只需證明A上的任意元素對∧,∨,?封閉：

任取p∈ filter，則?p∈ ?(filter)，于是有?p∈ filter∪?(filter)。任取p,q∈filter，自然有p∨q∈filter和p∧q∈filter。（若p,q∈?(filter)亦然，這是根據(jù)過濾和理想的定義）。任取p∈filter，q∈?(filter)，則有p∨q∈filter，p∧q∈?(filter)。 □

引理1 A是F型代數(shù)，θ∈Con(A)，α:A→A/θ，則有α(Sg(Γ))= Sg(Γ/θ)。進(jìn)一步的，若將α限制在Sg(Γ)上的部分記為α′，則其是從A的子代數(shù)B到A/θ的子代數(shù)C的滿同態(tài)，其中B=Sg(Γ)，C=Sg(Γ/θ)。

引理2 若A是一個代數(shù)，Γ∈A，B=Sg(Γ)，θ∈Con(A)，則有B/θ?B～=C，其中C=Sg(Γ/θ)。

定理12 令?！蔐0，Sg(Γ)/θB?Sg(Γ)=A，使得A是F型代數(shù)。若有filter∈Filter(A)使得Γ/θB?Sg(Γ)?filter，則有filter是A上的超濾或平凡濾。

證明:令C=Sg(Γ/θB)，則有AC。

定理13 令A(yù)是一個布爾代數(shù)，θ∈ConA，則對于自然同態(tài)α:A→A/θ有對任意A上的超濾ultrafilter有α(ultrafilter)要么是A/θ上的超濾，要么是A/θ。

定理14 令A(yù)是一個布爾代數(shù)，θ∈ConA，則對于自然同態(tài)α:A→A/θ，直接根據(jù)過濾的定義和上述結(jié)論，我們可以方便的證明以下結(jié)論：

1.令filter是A上的過濾，則αfilter是A/θ上的過濾。特別的，α(filter)是超濾，當(dāng)且僅當(dāng)，filter∨ffilter(θ)是超濾；α(filter)是平凡濾，當(dāng)且僅當(dāng)，是平凡濾，當(dāng)且僅當(dāng)，

2.令filter是A/θ上的過濾，則α?1(filter)是A上的過濾。特別的，若filter不是平凡濾，則α(filter)不是平凡濾；若filter不是超濾，則α(filter)不是超濾。

證明:令?！蔐0。

令Sg(Γ)/θB?Sg(Γ)=A，A為以相應(yīng)的F型代數(shù)Sg(Γ)/(Θ0,I(Γ)?Sg(Γ))= B，B為以相應(yīng)的F型代數(shù)，則有：

6 第二類結(jié)構(gòu)

在第一類局部結(jié)構(gòu)中，我們需要借助于xL0(Γ)來完成對局部代數(shù)的構(gòu)造，這使得最終L0(Γ)與L0,I(Γ)的生成元素會比我們所期望的要多。譬如對于x1∨(x1∧x2)∈Γ，我們自然會有x1∈L0(Γ)，但同時對于一個任意的xn∈xL0(Γ)，即便xn?Γ，也會有x1∨(x1∧xn)∈L0(Γ)，盡管此時可能并沒有xn∈L0(Γ)。這不能說是一個十分理想的結(jié)果，但如果拒絕接受這個結(jié)果，我們也會付出相應(yīng)的代價，譬如對于x1∨(x1∧x2)∈Γ，我們可以令按照下面方法構(gòu)造的局部語言包含x1，但它一般不會包含(x1∧x2)∨x1，以及x1∨(x2∧x1)。

定義12 令p∈L0，我們用Sub(p)表示p在L0在L0上子項的集合。相應(yīng)的，我們可以定義L0的β型局部語言如下：

與第一類局部結(jié)構(gòu)不同的是I不擴充L0,β(Γ)。此外所有結(jié)論的證明與第一類局部代數(shù)相仿，只是需要進(jìn)行連續(xù)擴充的變成了L0,β(Γ)。

此外，還存在著另一種建立局部語言的方法，就是借助于包含參數(shù)的L0項可表征函數(shù)（我們根據(jù)Γ中的項p和其子項q，q∈Γ，可以用p在L0中所表征的函數(shù)構(gòu)造一個包含參數(shù)的布爾可表征函數(shù)，再用這類函數(shù)構(gòu)造局部語言和局部代數(shù)）這類似于布爾代數(shù)的相對化（[6]，第38頁），但依照此類方法由Γ生成的局部代數(shù)，即便不包含原始配置I，也將是與L0/θB由Γ/θB生成的子代數(shù)不同構(gòu)的。由于篇幅所限，對這種結(jié)構(gòu)的討論將在后續(xù)文章中進(jìn)行。

[1] D.M.Armstrong,1993,“A world of states of affairs”,Philosophical Perspectives,7: 429–440.

[2] D.M.Armstrong,1997,AWorldofStatesofAffairs,Cambridge,NewYork:Cambridge University Press.

[3] S.Burris and H.P.Sankappanavar,1981,A Course in Universal Algebra,Springer.

[4] G.Gratzer,2008,Universal Algebra,New York:Springer.

[5] D.Kaplan,1989,Themes From Kaplan,New York:Oxford University Press.

[6] S.Koppelberg,1989,Handbook of Boolean Algebras Volume 1,New York:Elsevier Science Publishers.

[7] R.Stalnaker,1974,Context and Content,New York:New York University Press.

（責(zé)任編輯：羅心澄）

Algebraic Structures of Local Languages—Some General Observations about Local Semantics(1)

Fei Zha
Faculty of Philosophy,Nankai University
zhafei@nankai.edu.cn

B81

A

2016-09-27

中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專項資金資助項目NKZXB1257。

In modal logic,a set of formulas which is used to build filtrations is designed to be closed under subformulas.In fact,such requirement is unnecessary,since a boolean algebracouldalways begeneratedfrom non-independentgenerators.Withthehelp ofsubuniverse generating operator,models of combinatorial possible worlds could be defined, in order to implement D.M.Armstrong’s Combinatorialism,which could be named as“Local Semantics”.It is easy to see that Local Semantics can be applied to the discussion of belief states,linguistic contexts and artificial intelligence in philosophical logic.