■江蘇省如東高級(jí)中學(xué) 張 昡

正弦式交變電流有效值、平均值的推導(dǎo)與應(yīng)用

■江蘇省如東高級(jí)中學(xué) 張 昡

一、正弦式交變電流的有效值

在交變電流變化的一個(gè)周期內(nèi),交變電流在電阻R上產(chǎn)生的熱量相當(dāng)于一恒定電流在同樣時(shí)間內(nèi)在該電阻上所產(chǎn)生的熱量,此恒定電流的數(shù)值就是該交變電流的有效值。

推導(dǎo)：設(shè)兩個(gè)正弦式交變電流的最大值和周期均相同,它們的瞬時(shí)值表達(dá)式分別為i1=Imaxs i nω t和i2=Imaxco sω t,其中現(xiàn)將它們分別加在兩個(gè)阻值均為R的電阻上,易知在一個(gè)周期內(nèi)這兩個(gè)正弦式交變電流產(chǎn)生的焦耳熱Q相等。設(shè)這兩個(gè)正弦式交變電流的有效值為I,則Q=I2R T。在一個(gè)周期內(nèi),兩個(gè)正弦式交變電流產(chǎn)生的總焦耳熱Q總=2I2R T。在任一時(shí)刻t,這兩個(gè)電阻的熱功率分別為P1==(Imaxs i nω t)2R, P2==(Imaxco sω t)2R,這兩個(gè)電阻總的熱功率P總=P1+P2=(Imaxs i nω t)2R+(Imaxco sω t)2R=I2maxR(s i n2ω t+co s2ω t)=R?？梢?P總是一定值,與時(shí)刻t無關(guān),故Q總=P總T=I2maxR T。又有Q總=2I2R T,所以

二、正弦式交變電流的平均值

在交變電流變化的半個(gè)周期內(nèi),通過電路中導(dǎo)體橫截面的電荷量和一恒定電流在同樣時(shí)間內(nèi)通過該電路中導(dǎo)體橫截面的電荷量相等時(shí),此恒定電流的數(shù)值就稱為該交變電流在半個(gè)周期內(nèi)的平均值。

推導(dǎo)：如圖1所示,單匝矩形線框abcd在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中,繞O O'軸以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng),線框的面積為S,負(fù)載電阻為R。易知當(dāng)該線框勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)在電阻R中產(chǎn)生正弦式交變電流。電流的最大值線框在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)半周的過程中,產(chǎn)生的平均感應(yīng)電動(dòng)勢(shì),線框中磁通量的變化量ΔΦ=2B S,則負(fù)載電阻R中電流的平均值

圖1

例題 如圖2所示,光滑絕緣水平桌面上直立一個(gè)單匝正方形導(dǎo)線框abcd,線框的邊長(zhǎng)L=0.4m、總電阻R=0.1Ω。在直角坐標(biāo)系x O y的第一象限中,有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的下邊界與x軸重合,上邊界滿足曲線方程m,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B= 0.2T,方向垂直于紙面向里。線框在沿x軸正方向的拉力F作用下,以速度v=10m/s水平向右做勻速直線運(yùn)動(dòng)通過磁場(chǎng)區(qū)域。

圖2

(1)畫出線框在運(yùn)動(dòng)過程中的電流i隨時(shí)間t變化的圖像。

(2)計(jì)算該磁場(chǎng)區(qū)域的面積S。

(3)求線框在穿越整個(gè)磁場(chǎng)的過程中,線框中產(chǎn)生的焦耳熱Q。

解：(1)如圖3所示,當(dāng)線框的bc、ad邊運(yùn)動(dòng)到磁場(chǎng)中心線位置時(shí),感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)有最大值。

圖3

圖4

(2)t1時(shí)間內(nèi)感應(yīng)電流的平均值I=A,通過導(dǎo)線某一橫截面的電荷量C。t1時(shí)間內(nèi)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的平均值,線框中磁通量的變化量ΔΦ= B S,感應(yīng)電流的平均值,通過導(dǎo)線某一橫截面的電荷量因此該磁場(chǎng)區(qū)域的面積

(3)在t1和t3時(shí)間內(nèi),線框中的感應(yīng)電流按正弦規(guī)律變化,感應(yīng)電流的有效值I=A,則線框中產(chǎn)生的焦耳熱Q= I2R(t1+t3)=0.048J。

圖5

如圖5所示,一固定的矩形導(dǎo)線框abcd水平放置,線框的左端接一只小燈泡L,在線框所在空間內(nèi)存在與線框平面垂直的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。已知線框的匝數(shù)n=100,電阻r=1Ω,所圍成矩形的面積S=0.04m2,小燈泡的電阻R=9Ω,磁感應(yīng)強(qiáng)度按如圖6所示的規(guī)律變化,線框中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的瞬時(shí)值表達(dá)式為e=其中Bmax為磁感應(yīng)強(qiáng)度的最大值,T為磁場(chǎng)變化的周期。不計(jì)燈絲電阻隨溫度的變化,求:

圖6

(1)線框中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的最大值。

(2)小燈泡消耗的電功率。

參考答案：(1)Emax=8V。(2)P= 2.88W。(3)Q=4×10-3C。

(責(zé)任編輯 張 巧)