“突破常規(guī)”別樣解題也精彩
——從一道高考立體幾何復(fù)習(xí)題談起

新疆大學(xué)附屬中學(xué)(830000)

常曉兵●

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“突破常規(guī)”別樣解題也精彩
——從一道高考立體幾何復(fù)習(xí)題談起

新疆大學(xué)附屬中學(xué)(830000)

常曉兵●

立體幾何是培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力最有力的工具,也是高考的重要考點(diǎn),空間向量為解決立體幾何問(wèn)題提供了一個(gè)十分有效的工具.因此人教版數(shù)學(xué)選修2-1第三章“空間向量與立體幾何”對(duì)此進(jìn)行了專題研究.但在實(shí)際教學(xué)中筆者發(fā)現(xiàn)：目前高考的立體幾何問(wèn)題一般分為兩小問(wèn)，第一小問(wèn)多為空間中各種幾何元素的位置關(guān)系的問(wèn)題；例如：要求證明線面垂直、面面垂直、線面平行等等；而第二小問(wèn)多為求二面角、空間距離的問(wèn)題.由于題目的固定性，導(dǎo)致解題方法也比較固定，一般學(xué)生在解決第一小問(wèn)通常采用傳統(tǒng)方法，即利用學(xué)習(xí)過(guò)的判定定理、性質(zhì)定理及各種推論；解決第二小問(wèn)一般采用建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量的夾角與二面角的關(guān)系求解.但筆者也發(fā)現(xiàn)，目前理科的立體幾何題目的出題者有意識(shí)的在加大難度.調(diào)整考察角度，如下題：

題目 如圖，已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC=∠ACD=90°，∠EAC=60°，AB=AC=AE.

(1)在直線BC上是否存在一點(diǎn)P，使得DP∥平面EAB？請(qǐng)證明你的結(jié)論；(2)求平面EBD與平面ABC所成的銳二面角θ的余弦值.

筆者分析：本題第一小問(wèn)涉及到動(dòng)點(diǎn)P的位置的確定，學(xué)生對(duì)該類題目的解答不太熟悉，若采用傳統(tǒng)方法解題，勢(shì)必落入作多條輔助線的困境，對(duì)學(xué)生的空間想象能力的要求較高；而標(biāo)準(zhǔn)答案也是采用了傳統(tǒng)方法解答.第二小問(wèn)求二面角的平面角的余弦值，大多數(shù)學(xué)生都會(huì)采用建系的方法，利用空間直角坐標(biāo)系解答.從表面上看這樣做是比較合理的，但實(shí)際在解題過(guò)程中會(huì)發(fā)現(xiàn)，這樣做就落入了出題者的陷阱，大量的計(jì)算使學(xué)生疲于應(yīng)付.最終筆者引導(dǎo)學(xué)生嘗試第一問(wèn)就建系，看看能否解決問(wèn)題：于是就說(shuō)，誰(shuí)能解決第一小問(wèn).此時(shí)只有甲同學(xué)舉手，以下是她的解答過(guò)程.

此時(shí)有同學(xué)提出這樣的證明不完備，理由是甲同學(xué)事先如何知道P為BC的中點(diǎn)？

筆者抓住這個(gè)契機(jī)，就問(wèn)大家那么怎樣解決這個(gè)問(wèn)題呢？從甲同學(xué)的證明過(guò)程看，點(diǎn)P的確滿足題目的要求??！此時(shí)乙同學(xué)舉手說(shuō)到，應(yīng)該設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y,z),利用題目給出的條件解出坐標(biāo)的值.筆者接著問(wèn)：“點(diǎn)P的坐標(biāo)有三個(gè)未知數(shù)，需要三個(gè)方程，那么請(qǐng)同學(xué)們找出三個(gè)方程解出坐標(biāo)的值，這時(shí)有同學(xué)提出解不出來(lái)，條件不夠；乙同學(xué)又說(shuō)：點(diǎn)P在xoy平面內(nèi)它的豎坐標(biāo)為0.大家的情緒又被調(diào)動(dòng)起來(lái)了，這時(shí)只需要兩個(gè)方程就可以解出來(lái)了.筆者給同學(xué)們幾分鐘的時(shí)間討論，突然同學(xué)丙舉手說(shuō)：老師，點(diǎn)P在直線BC上，能否利用直線的方程找到x與y的函數(shù)關(guān)系，這樣就只需要一個(gè)方程.但有同學(xué)提出，在空間中的直線方程沒(méi)學(xué)過(guò)??！丙同學(xué)說(shuō)：直線BC就在平面xoy內(nèi)，能否在平面直角坐標(biāo)系中建立x與y的函數(shù)關(guān)系，然后求解.

事實(shí)上標(biāo)準(zhǔn)答案對(duì)該題目的解答，第一小問(wèn)是利用構(gòu)造平行四邊形EDPF，利用線面平行的判定定理來(lái)證明的，由于要做的輔助線較多，學(xué)生不易找出解題思路；甲同學(xué)利用空間直角坐標(biāo)系解決問(wèn)題是被迫無(wú)奈，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)這樣證明信服度不夠，最終在大家的努力下利用空間向量的方法解決了問(wèn)題，第一問(wèn)是這道題目的難點(diǎn)所在.筆者利用學(xué)生的疑問(wèn)一步一步地將同學(xué)們引入到我事先想好的解題思路中來(lái)，通過(guò)對(duì)該題目的解答，同學(xué)們有了新的思路，解答立體幾何問(wèn)題不因思維定勢(shì)，正所謂方法得當(dāng)，事半功倍.

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1008-0333(2017)10-0051-01