【摘 要】乘法算式背后的情境主要有四種類型：第一是平均分組；第二是搭配組合；第三是過程迭代；第四是人為規(guī)定。為了給學(xué)生設(shè)計(jì)這樣的“給算式講故事”學(xué)習(xí)活動(dòng)，教師應(yīng)當(dāng)熟悉這些類型的情境。

【關(guān)鍵詞】乘法 算式 情境 計(jì)算

在乘法計(jì)算的教學(xué)中，同樣可以讓學(xué)生經(jīng)歷“給算式講故事”的學(xué)習(xí)活動(dòng)。看到一個(gè)乘法算式，僅僅知道這個(gè)算式表示“相同加數(shù)求和”，并且能夠正確計(jì)算結(jié)果，這仍然是不夠的。還要能夠聯(lián)想出不同類型的情境，與相應(yīng)的算式建立聯(lián)系，因此就需要經(jīng)常讓學(xué)生經(jīng)歷“給算式講故事”的活動(dòng)。對(duì)于教師來說，應(yīng)當(dāng)了解這樣的情境包括哪些類型。

一、平均分組

與乘法有關(guān)的情境最為常見的就是“平均分組”。比如，“全班學(xué)生分為了8組，每個(gè)組有4名學(xué)生，全班共有4×8=32名學(xué)生?！比绻讶嗤瑢W(xué)看作整體，一個(gè)小組的同學(xué)看作局部，那么這一類情境反映的是局部與整體的關(guān)系。

平均分組還可能表現(xiàn)為同一對(duì)象的“重復(fù)變化”。比如，“小明每天吃2個(gè)蘋果，一個(gè)星期7天，一共吃掉2×7=14個(gè)蘋果?！边@個(gè)情境相當(dāng)于說同一個(gè)人“吃2個(gè)蘋果”的動(dòng)作，重復(fù)了7次。英文中表示“次數(shù)”的單詞“Time”，同時(shí)也是“乘”的意思，大概源于這個(gè)含義。這一過程也可以看作是將14個(gè)蘋果平均分為7組，每一組有2個(gè)蘋果。因此同一對(duì)象的重復(fù)變化也可以看作是平均分組的類型。

另外一類是同一對(duì)象“成倍變化”的情境，比如，“一個(gè)小企業(yè)年初的資本總額是5百萬元，經(jīng)過一年的經(jīng)營(yíng)，使得企業(yè)資本增加為原來的3倍。年底時(shí)這個(gè)企業(yè)的資本總額是1千5百萬元。”這一過程實(shí)際上是將年底時(shí)總資本分為了“原有”和“增加”兩組，原有和增加部分的總和是原有的3倍，也可以認(rèn)為增加部分是原有部分的2倍。

與前面論及加法的情況類似，平均分組也經(jīng)常表現(xiàn)為不同對(duì)象數(shù)量的比較。比如，“一個(gè)養(yǎng)殖場(chǎng)養(yǎng)兔180只，養(yǎng)雞數(shù)量是養(yǎng)兔數(shù)量的5倍，這個(gè)養(yǎng)殖場(chǎng)養(yǎng)雞180×5=900只?！边@一情境實(shí)質(zhì)上是將養(yǎng)雞數(shù)量平均分組，每一組數(shù)量與養(yǎng)兔數(shù)量相等。

平均分組還有一種類型表達(dá)的是比例的關(guān)系，比如：“一個(gè)沒有關(guān)緊的水龍頭，平均每分鐘流出7升水，那么一小時(shí)（60分鐘）會(huì)流出7×60=420升水。”相當(dāng)于是將420升水平均分為了60份，每一份是7升水。成比例關(guān)系的情境中，涉及兩類不同的變量，在這個(gè)情境中一類變量是水量，另一類變量是時(shí)間，兩者的關(guān)系可以用表1來表示。

對(duì)于平均分組類型的情境，每一個(gè)乘法算式都可以衍生出兩個(gè)除法的情境，一個(gè)是已知總量和每組數(shù)量，求組數(shù)，通常稱之為“包含除”；另一個(gè)是已知總量和組數(shù)，求每組數(shù)量，叫作“等分除”。

二、搭配組合

搭配組合類型的情境，指的是兩個(gè)集合中的對(duì)象進(jìn)行一對(duì)一的搭配。比如，“一家服裝商店，有7種款式的男式上衣，9種款式的男式褲子，如果每種款式的一件上衣和一條褲子可以搭配成一套男裝。那么一共可以有9×7=63種不同款式的男裝可以出售?！贝祟惽榫撑c前面平均分組有明顯的區(qū)別，情境中并沒有出現(xiàn)明顯的組數(shù)和每組數(shù)量，是需要通過人為的思考進(jìn)行分類，進(jìn)而轉(zhuǎn)換為平均分組的情況。

思考的過程大致是先任意取出一個(gè)款式的上衣，與褲子搭配一共可以有9種可能；又由于上衣款式一共只有7種，相當(dāng)于將全部男裝平均分為了7組，每一組都是9套男裝，所以全部搭配可能性就是7個(gè)9相加，也就是9×7=63套男裝。

再比如，“從家到學(xué)校路過一個(gè)超市，從家到超市有2條路線，從超市到學(xué)校有3條路線。那么從家到學(xué)校共有2×3=6條路線。”這個(gè)情境的思考與前面男裝的情境是類似的，相當(dāng)于是“2條路線”與“3條路線”進(jìn)行搭配。（見圖1）

這種搭配組合的情境類型在組合數(shù)學(xué)中也叫作“乘法原理”或者笛卡爾乘法（Cartesian product），其應(yīng)用是非常廣泛的。比如，如果想要知道“一共有多少個(gè)兩位整數(shù)”，就可以運(yùn)用這個(gè)方法，任意確定一個(gè)十位數(shù)字，與之搭配的個(gè)位數(shù)字可以是0～9中的任意一個(gè)，共有10種搭配方法。而十位數(shù)字可以是1～9中的任意一個(gè)，所以共有9種選擇，那么全部?jī)晌粩?shù)的個(gè)數(shù)就是9個(gè)10相加的結(jié)果。也就是10×9=90個(gè)。

三、過程迭代

“過程迭代”表達(dá)的是“倍數(shù)的倍數(shù)”的關(guān)系，也可以叫作“倍之倍”的關(guān)系。比如，“動(dòng)物園一只小象，第一年過生日時(shí)體重是出生時(shí)的3倍，第二年過生日時(shí)體重是第一年生日時(shí)的2倍。那么這只小象第二年過生日時(shí)體重是出生時(shí)的3×2=6倍。”

這種“倍之倍”的情境，在幾何中研究封閉圖形邊長(zhǎng)與面積的關(guān)系時(shí)很常用。比如，一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)擴(kuò)大為原來的2倍，寬擴(kuò)大為原來的3倍，那么長(zhǎng)方形的面積擴(kuò)大為原來的多少倍？（見圖2）

圖2中左上方小長(zhǎng)方形，如果長(zhǎng)擴(kuò)大為原來的2倍，相當(dāng)于變化為圖中上面的兩個(gè)小長(zhǎng)方形，寬擴(kuò)大為原來的3倍，相當(dāng)于第一排的2個(gè)小長(zhǎng)方形變化為圖2的大長(zhǎng)方形。也就是相當(dāng)于是“2倍的3倍”等于6倍。

這種關(guān)系在分?jǐn)?shù)乘法中也很常見，比如在《莊子天下篇》中“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”的說法，第一天取出一尺之棰的一半，第二天取出剩下的一半，也就是一半的一半，因此第二天取出的是一尺之棰的[12×12=14]。

四、人為規(guī)定

乘法中的“乘”，其本義是人站在樹上的意思。（見圖3）

原始的字形起初也是人在樹上的象形。（見圖4）

因此可以推斷出“乘”的本義有“升高”的意思，不斷升高就有累積的意思了。在人類活動(dòng)中需要描述多種因素累積的過程時(shí)，往往就會(huì)采用或者借用乘法。

比如對(duì)于行車走路的情境，可以將路程看作是速度和時(shí)間兩個(gè)因素累積起來的，因此就有了路程、速度、時(shí)間三者的關(guān)系：速度[×]時(shí)間=路程。類似的在工程問題中，工作總量可以看作是工作效率和工作時(shí)間累積而得，因此就有“工作效率[×]工作時(shí)間=工作量”的關(guān)系。

對(duì)于平面上的封閉圖形，人們有比較大小的需求，而且對(duì)于長(zhǎng)方形發(fā)現(xiàn)其長(zhǎng)度和寬度的長(zhǎng)短可以制約圖形的大小，因此就利用兩者乘積規(guī)定為表示圖形大小的概念，稱之為面積。因此也就有了諸多的面積公式。比如長(zhǎng)方形的面積是“長(zhǎng)度[×]寬度=面積”。類似的還有體積公式等。

在實(shí)際的工程問題中，經(jīng)常需要預(yù)算工程的經(jīng)費(fèi)。傳統(tǒng)的工程的費(fèi)用，除了原材料等因素外，主要取決于兩個(gè)因素，一是參與工程建設(shè)的人數(shù)，二是完成工程的時(shí)間，因此單純用人數(shù)或者單純用時(shí)間進(jìn)行預(yù)算都不合理，而用兩者乘積作為預(yù)算的標(biāo)準(zhǔn)就是常用的方法。比如，一項(xiàng)工程需要500人天，就意味著100人需要5天，20人需要10天等等。這里就是人為制造了一個(gè)“人天”的概念，人數(shù)、時(shí)間和人天的關(guān)系就是借用了乘法進(jìn)行描述，即“人數(shù)[×]天數(shù)=人天”。

這樣的想法還被用于社會(huì)科學(xué)的研究。比如，如果把一個(gè)人的素養(yǎng)理解為成功行動(dòng)的先決條件，那么一個(gè)人的素養(yǎng)的形成就主要取決于知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，因此就有“素養(yǎng)=知識(shí)[×]經(jīng)驗(yàn)”的說法。

計(jì)算教學(xué)不能僅僅關(guān)注所謂算法和算理，還應(yīng)當(dāng)關(guān)注何時(shí)需要這樣算的問題。也就是要讓學(xué)生逐步熟悉算式背后各種各樣的情境，因此在設(shè)計(jì)計(jì)算教學(xué)的學(xué)習(xí)活動(dòng)中，應(yīng)當(dāng)讓情境與算式互動(dòng)起來。

參考文獻(xiàn)：

[1]郜舒竹. 算式與情境的辯證關(guān)系[J]. 教學(xué)月刊·小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2017，（4）.

[2]字源網(wǎng). 查詢字源（乘）（EB/OL）. http：//www.fantizi5.com/ziyuan/.2017-4-22.

（首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院 100048）