同學(xué)們都知道,兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.那么如何借助有限的條件來構(gòu)造平行四邊形呢?下面,我們一起來研究.
類型1:已知一個固定的頂點(diǎn)
【解析】只根據(jù)一個點(diǎn),無法確定平行四邊形的邊的長度和方向,更無法確定另外三個頂點(diǎn)的位置,所以無法構(gòu)造出平行四邊形.
類型2:已知兩個固定的頂點(diǎn)
例1 在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(4,0)、B(-2,0),P、M是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任意兩點(diǎn),如果以A、B、P、M為頂點(diǎn)構(gòu)造平行四邊形,P、M兩點(diǎn)在位置上有什么要求?
【解析】A(4,0)、B(-2,0)兩點(diǎn)是確定的,P、M兩點(diǎn)是不確定的.以AB為分類標(biāo)準(zhǔn),分兩種情況討論:(1)如圖1,當(dāng)AB為平行四邊形的一條邊時,則要求線段PM平行且等于線段AB.(2)如圖2,當(dāng)AB是對角線時,則要求PM是平行四邊形的另一條對角線.注意:在兩種情況下,四邊形APBM都是中心對稱圖形.
如果給P、M兩點(diǎn)再添上其他要求呢?
【變式】在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(4,0)、B(-2,0),點(diǎn)P在y軸上,點(diǎn)M在一次函數(shù) [y=-12x+5]的圖像上,求P、M的坐標(biāo).
【解析】AB=6.若PM平行于AB,如圖3,因?yàn)辄c(diǎn)P在y軸上,所以M點(diǎn)的橫坐標(biāo)有兩種情況:6或-6.當(dāng)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6時,代入一次函數(shù)解析式中,可求出M的坐標(biāo)為(6,2),當(dāng)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-6時,代入一次函數(shù)解析式中,可求出M的坐標(biāo)為(-6,8).則相應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2)或(0,8).
若PM是平行四邊形APBM的對角線,如圖4,設(shè)P的坐標(biāo)為(0,p),利用平行四邊形的對稱中心(1,0),得M的坐標(biāo)為(2,-p),代入直線[y=-12x+5]中,求出p=-4.所以P的坐標(biāo)為(0,-4),M的坐標(biāo)為(2,4).
[M]
類型3:已知三個固定的頂點(diǎn)
例2 在平面直角坐標(biāo)系中,已知A(4,0)、B(-2,0)、C(0,2),如果以點(diǎn)D、A、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,求點(diǎn)D的坐標(biāo).
【解析】A、B、C這三點(diǎn)是確定的,過△ABC的三個頂點(diǎn)分別畫對邊的平行線,三條直線兩兩相交,便可產(chǎn)生3個符合條件的點(diǎn):D1、D2、D3(如圖5).
①AC為對角線時,由于將點(diǎn)B(-2,0)向右平移2個單位再向上平移2個單位可得到C( 0,2 ),所以將點(diǎn)A(4,0)也向右平移2個單位再向上平移2個單位便可得到點(diǎn)D1(6,2).②AB為對角線時,由于將點(diǎn)C(0,2)向右平移4個單位再向下平移2個單位可得到點(diǎn)A(4,0),所以讓點(diǎn)B(-2,0)經(jīng)過同樣的平移步驟便可得到點(diǎn)D2(2,-2).③BC為對角線時,由于將點(diǎn)A(4,0)向左平移4個單位再向上平移2個單位可得到點(diǎn)C(0,2),所以讓點(diǎn)B(-2,0)經(jīng)過同樣平移便可得到點(diǎn)D3(-6,2).
我們看到,用坐標(biāo)平移法遠(yuǎn)比構(gòu)造方程組求交點(diǎn)方便.通過兩道例題的示范,相信同學(xué)們已經(jīng)初步掌握了構(gòu)造平行四邊形的策略:若已知兩個定點(diǎn),可先連接這兩點(diǎn),再將得到的線段按平行四邊形的邊或?qū)蔷€分兩種情況進(jìn)行解答;若已知三個定點(diǎn),可先以三個定點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)造一個三角形,再分別過每個定點(diǎn)作其對邊的平行線,三條直線兩兩相交而成的三個交點(diǎn)都可以是平行四邊形的第四個頂點(diǎn).
(作者單位:江蘇省揚(yáng)州市田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué))