筅江蘇省鹽城中學劉海濱

反思解題過程提升思維能力

筅江蘇省鹽城中學劉海濱

荷蘭數(shù)學教育家弗賴登塔爾指出：“反思是重要的思維活動，它是思維活動的核心和動力.”在習題教學中，教師要認真看待學生的錯誤，把學生的錯誤當成一種寶貴的教學資源，通過習題的教學設計，引導學生反思解題出錯的原因，通過探究糾錯的方法，拓展解題的思路，最大限度地調動學生探究學習的熱情，驅動學生積極思考，使學生的數(shù)學能力思維水平得以更大的提升.筆者先將2014年江蘇高考壓軸題進行分解，讓讀者理解解題方法，然后對分解后的每一部分給出相應的變式題，以便學生熟練掌握該類型試題的解法.

題目：已知函數(shù)f（x）=ex+e-x，其中e是自然對數(shù)的底數(shù).

（1）證明：f（x）是R上的偶函數(shù)；

（2）若關于x的不等式mf（x）≤e-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；

（3）已知正數(shù)a滿足：存在x0∈［1，+∞），使得f（x0）

反思一：第一小題為基礎題，難度最低，基礎較差的考生不要放棄，相信自己能解答好本小題.

（1）分析：利用偶函數(shù)的定義進行判斷.只要證明f（x）滿足f（-x）=f（x）即可.（證明過程略）

本小題這樣考查了偶函數(shù)的定義，屬于容易題，命題者命制此小題是為了提高基礎較差的考生考試的信心，體現(xiàn)命題者的人文關懷.此外本小題易錯點是沒有考慮函數(shù)定義域關于原點對稱，定義域關于原點對稱是討論奇偶性的必要條件.

反思二：第二小題為基礎中等的考生命制，難度增加，基礎中等的考生通過努力思考，也能順利解答本題.

（2）分析：要使mf（x）≤e-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，即m（ex+e-x-1）≤e-x-1在（0，+∞）上恒成立，分離參數(shù)得

只需滿足m≤g（x）恒成立，要使m≤g（x）恒成立，只需m≤g（x）min，這樣將原問題轉化求函數(shù)g（x）的最小值.

解法1：要使mf（x）≤e-x+m-1在（0，+∞）上恒成立成立，即m（ex+e-x）≤e-x-1在（0，+∞）上恒成立，分離參數(shù)得

只要滿足m≤g（x）恒成立，要使m≤g（x）恒成立，只需m≤g（x）min.

由于關于ex的式子比較復雜，可令t=ex，由于x∈（0，+∞），則t>1.

本小題考查分離參數(shù)法與等價轉化的思想，即將恒成立問題轉化求函數(shù)的最小值的問題.本題易錯點是作代換t=ex后，沒有考慮t的范圍是t>1.本試題思維受阻的地方是考生不會將，從而求不最大值.因此為了避免出現(xiàn)錯誤，作代換后首先要考慮代換后字母的范圍.

解法2：考慮不等式兩邊同時乘以ex，則不等式轉化為m［（ex）2+1］≤1+（m-1）ex在（0，+∞）上恒成立.

令ex=t（t>1），則問題可簡化為：mt2+（1-m）t+m-1≤0在t∈（1，+∞）上恒成立.

構造函數(shù)g（t）=mt2+（1-m）t+m-1，由圖像易知，當m≥0時，不符合題意.

解法2就是將所求的問題轉化為二次函數(shù)在特定區(qū)間恒小于零的問題，考查了數(shù)形結合的思想.

反思3：破解第（3）小題，將其分解成兩個子問題，然后各個擊破，將壓軸題轉化常見的問題，使壓軸題不再可怕.本小題是為優(yōu)秀的考生命制，難度大，可將本小題分解為兩個小問題：①即先求出參數(shù)a的范圍，②根據(jù)參數(shù)a的范圍比較ea-1與ae-1的大小.

采取以退為進的思想，先分析子問題①.

分析1：命題者設置“已知正數(shù)a滿足：存在x0∈［1，+∞），使得（fx0）

解法1：因為f′（x0）=ex0-e-x0，由于x0∈［1，+∞），所以f（′x0）=ex0-e-x0 >0，故（fx0）在［1，+∞）上單調遞增，故（fx0）在x0∈［1，+∞）上的最小值（fx0）min=（f1）=e+e-1.

又h′（x0）=a（-3+3），由于x0∈［1，+∞），且a是正數(shù)，所以h′（x0）<0，故h（x0）在［1，+∞）上單調遞減，故函數(shù)h（x0）在x0∈［1，+∞）上的最大值h（1）=2a.

要存在x0∈［1，+∞），使得（fx0）

考生思維受阻的原因是考生不會將存在性問題等價轉化求（fx0）在x0∈［1，+∞）上的最小值（fx0）與函數(shù)h（x0）=a（-+3x0）在x0∈［1，+∞）上的最大值h（x0）.

解決對策：設函數(shù)（fx）的值域是F，h（x）的值域是H，根據(jù)題意作出相應的圖形（如圖1），圖形上可以看出要滿足“存在x0∈［1，+∞），使得（fx0）

圖1

分析二：根據(jù)“堝x使得f（x）0”，要存在x0∈［1，+∞），使得（fx0）-a（-+3x0）>0恒成立.

解法2：令函數(shù)g（x）=ex+e-x-a（-x3+3x），

因此g（x）在［1，+∞）上的最小值是g（1）＝e+e-1-2a.

由于存在x0∈［1，+∞），使ex0+e-x0 -a（-+3x0）<0成立，當且僅當最小值g（1）<0，故e+e-1-2a<0，即a

0

再分析子問題②.

當a=e時，ea-1=ae-1；

本小題主要考查初等函數(shù)的基本性質、導數(shù)的應用等基礎知識，考查了分類討論、等價轉化、構造函數(shù)模型的思想.同時也考查了綜合運用數(shù)學思想和解決問題的能力.高考題總會露出一些“蛛絲馬跡”.給考生以適當?shù)奶崾?，讓考生找到解決問題的“突破口”，從而便讓優(yōu)秀的考生順利地解決好難題，提高試題的區(qū)分度，有利于高校選拔人才.本題就暗示了“e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)”，以便讓優(yōu)秀的考生找出解決問題的突破口，即對“兩個指數(shù)式取對數(shù)”.

通過此題解題過程的反思，我們知道，回歸課本，回歸教材是最有效的做法.教材是一種重要的課程資源，對教材的理解與鉆研、開發(fā)和利用是用好教材的前提.只有重視課本習題，挖掘習題的輻射功能，才能使學生的認識得到升華，學生的知識面得到拓寬，學生的觀察能力、歸納能力和類比思想便會得到鍛煉.教師要認真研究課本習題，才能充分發(fā)揮課本習題的導向功能，才能讓習題教學變得豐富和深刻.在習題教學中，教師不但要向學生傳遞數(shù)學的思想和方法，而且更應該捕捉學生的“錯誤”，將學生的認知誤區(qū)，轉化為學生的最近發(fā)展區(qū)，引導學生反思，為學生提供自主、合作、探究的機會.這樣不僅可以調動學生的學習積極性，還可以幫助學生加深對概念理解和解題思想方法的認識.在解題中只有養(yǎng)成重視條件、嚴格推理的習慣，才能重建認知結構，達到舉一反三的效果.在教師的正確引導下，發(fā)揮學生的主觀能動性，通過反思過程中培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維、逆向性思維和辯證思維.可見只有正視學生的錯誤，認真分析產(chǎn)生出錯的原因與機制，才能將錯誤糾正到底，真正起到優(yōu)化課堂的教學效果.