筅江蘇省揚(yáng)中高級中學(xué)林云

立體幾何向量法的教學(xué)與思考
——以2015年北京高考題為例

筅江蘇省揚(yáng)中高級中學(xué)林云

立體幾何對學(xué)生的空間想象力要求較高，向量法的最大方便之處是可以將空間問題轉(zhuǎn)化為向量計算，使學(xué)生擺脫空間點(diǎn)、線、面關(guān)系的干擾，通過直接對向量計算達(dá)到解題的目的.向量法使用的同時也應(yīng)該發(fā)展多方法、多思維教學(xué)，提高學(xué)生的綜合能力.

一、試題呈現(xiàn)

試題如圖1所示，四邊形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，EA∥PD，AD=PD=2EA=2，F(xiàn)、G、H分別為PB、EB、PC的中點(diǎn).

（1）求證：FG∥平面PED.

（2）求平面FGH與平面PBC所成銳二面角的大小.

（3）在線段PC上是否存在一點(diǎn)M，使得直線FM與直線PA所成的角為60°？如果存在，求出線段PM的長；如果不存在，請說明理由.

圖1

二、解法探究及點(diǎn)評

1.解法探究

（1）證明：因為點(diǎn)F、G分別為線段PB、EB的中點(diǎn)，所以有FG∥PE.又因為PG埭平面PED，PE奐平面PED，所以可證FG∥平面PED.

（2）因為EA⊥平面ABCD，EA∥PD，所以有PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD，PD⊥CD.

又因為四邊形ABCD是正方形，所以AD⊥CD.

可采用空間向量法，如圖2，建立空間直角坐標(biāo)系，因為有AD=PD=2EA=2，所以有D（0，0，0），P（0，0，2），A（2，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0），E（2，0，1）.

圖2

因為F、G、H分別為PB、 EB、PC的中點(diǎn)，所以F（1，1， 1），G奐2，1，奐，H（0，1，1），所以

設(shè)n1=（x1，y1，z1）是平面FGH的法向量，

設(shè)n2=（x2，y2，z2）是平面PBC的法向量，則有

（3）假設(shè)線段PC上存在一點(diǎn)M，使得直線FM與直線PA所成的角為60°.

2.試題點(diǎn)評

本題是高考常見的立體幾何題型，考查線面平行的判定以及二面角的求解，采用向量法解此類題會相對簡便.解決的關(guān)鍵是正確建立坐標(biāo)系，準(zhǔn)確計算點(diǎn)線的坐標(biāo)，可通過引入平面法向量來求二面角.立體幾何對學(xué)生的空間想象以及邏輯推理能力要求較高，采用空間向量法可以降低難度.

圖3

圖4

三、試題擴(kuò)展與延伸

高考立體幾何中常考的知識有證明垂直和平行、計算距離和二面角以及動點(diǎn)問題.下面我們對幾道同類型的題目進(jìn)行拓展賞析.

試題1（2015年高考天津卷）如圖3所示，在四棱錐PABCD中，它的底面ABCD為正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，現(xiàn)作EF⊥PB于F.

（1）證明PA∥平面EDB；（2）證明PB⊥平面EFD；

（3）求二面角C-PB-D的大小.

試題2（2015年高考山東卷）如圖4所示，正方形AMDE的邊長為2，B為AM的中點(diǎn)，C為MD的中點(diǎn)，在五棱錐P-ABCDE中，點(diǎn)F為棱PE的中點(diǎn)，平面ABF與棱PD、PC分別交于點(diǎn)G、H.

（1）證明：AB∥FG；

（2）如果PA⊥底面ABCDE，且PA=AE，求直線BC與平面ABF所成角的大小，并求線段PH的長.

上述兩題均為高考的立體幾何題型，考查位置關(guān)系的證明以及二面角或線面角的問題.證明平行或垂直僅需根據(jù)定律即可簡單證明；對于角度問題，則可以使用空間向量法，列方程進(jìn)行求解，計算量雖大但思路更為清晰.求解立體幾何需要學(xué)生推理要嚴(yán)謹(jǐn)，表達(dá)準(zhǔn)確，數(shù)形結(jié)合剖析，準(zhǔn)確作圖則可以使考生在答題過程中獲得進(jìn)一步的啟示，是解題的關(guān)鍵點(diǎn).

四、教學(xué)思考與建議

1.聯(lián)系生活，建立模型

有時在求解立體幾何時會發(fā)現(xiàn)許多題目與生活中的立體有關(guān)系，很多學(xué)生空間感不強(qiáng)，對幾何性質(zhì)了解不足，不能直觀的抽象出幾何的空間關(guān)系，甚至對幾何的認(rèn)知還停留在初中水平，求解立體幾何有很大的困難，此時則需要老師引導(dǎo)學(xué)生建立幾何模型，通過對模型的直觀分析加深空間立體感.在教學(xué)中，數(shù)學(xué)是不能與生活相脫離的，數(shù)學(xué)本身就來源于生活，對實際物體的觀察則有助于認(rèn)知的提升，一方面老師要帶領(lǐng)大家從生活中認(rèn)識立體幾何，親身去感受幾何的存在，另一方面，則要讓學(xué)生去親自動手折紙，通過對模型的親自度量、分析來獲得空間感.多角度、多層次的觀察，將立體幾何轉(zhuǎn)化為平面問題，對幾何模型的接觸、分析、拓展就可以提高學(xué)生解決立體幾何的能力.

2.透析真題，高效教學(xué)

高考真題有著很深的數(shù)學(xué)背景，知識點(diǎn)交匯、立題新穎、解法多樣，是中學(xué)教學(xué)的寶貴資源.為提高教學(xué)質(zhì)量，老師要針對性、綜合性的多角度進(jìn)行選題，并詳盡為學(xué)生解析，在教授過程中要以學(xué)生為主體，充分的相信學(xué)生，把主動權(quán)交換給學(xué)生，多與學(xué)生進(jìn)行交流，引導(dǎo)學(xué)生評析、反思，反思要涉及知識的背景、知識的方法、解題的多維角度.注意講解不就題論題，要從問題的特殊性到一般，聯(lián)合知識點(diǎn)，舉一反三，以點(diǎn)帶面深入教材，這樣才可以很好的利用真題的價值，研讀高考題也可以激發(fā)學(xué)生的興趣，為拓展學(xué)生的思維具有極大的幫助.

3.學(xué)習(xí)向量，拓寬思路

立體幾何的向量法有著幾何和代數(shù)的雙重性，是研究立體幾何的有力手段，它將立體幾何的空間問題轉(zhuǎn)換為簡單的向量問題，降低了解題的難度.在計算過程中，要注意精確定位，準(zhǔn)確計算.老師在教授向量法時要注意選題，建立直角坐標(biāo)系解決平行、垂直、距離問題要緊密圍繞空間坐標(biāo)系，加強(qiáng)向量基本定理的教學(xué)，明白向量的含義，特別需要注意法向量的定義及意義，使學(xué)生理解法向量，靈活的使用它來求解較為復(fù)雜的問題.同時對于教授立體幾何不應(yīng)該局限于向量法，多方法、多角度、深層次的學(xué)習(xí)對于學(xué)生的空間想象力的培養(yǎng)更為有利，中學(xué)的學(xué)習(xí)不在于單純的解題，鍛煉學(xué)生的邏輯思維、分析推理才是最主要的.

五、總結(jié)

立體幾何是高考的考查重點(diǎn)內(nèi)容，涵蓋的知識點(diǎn)多、覆蓋面廣、綜合性強(qiáng)，對學(xué)生的空間想象力以及邏輯推理能力要求較高.向量法是求解立體幾何問題的一種較為簡單的方法，可以將空間為題轉(zhuǎn)換為平面向量的計算，對解題具有極大幫助，但同時老師也需要拓寬思路，多角度的講授，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展.

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3.吉俊杰.“空間運(yùn)動”與“圓錐”的“不解之緣”——由2016年浙江高考談“動態(tài)”立體幾何教學(xué)建議［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2016（11）.

4.周芳芳.提質(zhì)重在反思，高效重在追求——基于蘇教版立體幾何部分教學(xué)案例的比較與思考［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2016（21）.

5.胡浩，馬林.新課標(biāo)全國卷立體幾何考題分析及2016備考建議［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2016（18）.