王 偉 姚華忠

福州大學(xué)機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院，福州，350116

基于B樣條的凸輪式開關(guān)機(jī)構(gòu)輪廓線設(shè)計(jì)方法

王 偉 姚華忠

福州大學(xué)機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院，福州，350116

針對(duì)凸輪式開關(guān)機(jī)構(gòu)輪廓線與力值曲線定量關(guān)系復(fù)雜、輪廓線形狀描述困難的問題，采用B樣條方法，依據(jù)能量理論研究了開關(guān)機(jī)構(gòu)輪廓線的設(shè)計(jì)方法。給出了開關(guān)機(jī)構(gòu)B樣條曲線描述方程及其微分表達(dá)式，建立了機(jī)構(gòu)內(nèi)部彈性勢(shì)能與外力功的關(guān)系式，提出了輪廓線逐步迭代設(shè)計(jì)算法。利用MATLAB設(shè)計(jì)了雨刷開關(guān)機(jī)構(gòu)輪廓線，結(jié)果表明根據(jù)能量關(guān)系設(shè)計(jì)開關(guān)機(jī)構(gòu)輪廓曲線能達(dá)到預(yù)期的力值要求,采用B樣條曲線方程比高次多項(xiàng)式擬合方程更能有效提高輪廓線設(shè)計(jì)精度和開關(guān)設(shè)計(jì)質(zhì)量。

凸輪式開關(guān)；輪廓線；能量關(guān)系；B樣條

0 引言

凸輪式開關(guān)在汽車領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，如汽車的雨刷開關(guān)、空調(diào)開關(guān)、轉(zhuǎn)向燈開關(guān)等。手感是凸輪式開關(guān)的重要性能指標(biāo)，該指標(biāo)由開關(guān)的行程感、力感、擋位感等力特性反映，汽車主機(jī)廠用開關(guān)的力值曲線來描述開關(guān)的力特性指標(biāo)，并將其作為開關(guān)設(shè)計(jì)規(guī)范要求[1-2]。當(dāng)開關(guān)的材質(zhì)確定后，開關(guān)的力值曲線就由開關(guān)輪廓線決定,因此，輪廓線的設(shè)計(jì)是凸輪式開關(guān)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵，研究凸輪式開關(guān)機(jī)構(gòu)輪廓線設(shè)計(jì)方法具有重要意義。

凸輪輪廓線設(shè)計(jì)是典型的反求設(shè)計(jì)問題。張金萍等[3]采用反求工程技術(shù)，研究了實(shí)測(cè)凸輪廓線數(shù)據(jù)的曲線重構(gòu)問題，反求設(shè)計(jì)了高速凸輪廓線。侯悅民等[4]研究了凸輪運(yùn)動(dòng)特性的反求設(shè)計(jì)問題，用樣條方法對(duì)從動(dòng)件常用運(yùn)動(dòng)規(guī)律進(jìn)行逼近和優(yōu)化，改善了凸輪運(yùn)動(dòng)特性。

凸輪式開關(guān)輪廓線設(shè)計(jì)是基于力特性的反求設(shè)計(jì)問題，它要求設(shè)計(jì)出來的凸輪廓線要在運(yùn)動(dòng)周期內(nèi)具有預(yù)期的驅(qū)動(dòng)力矩規(guī)律。ERDELYI等[5]針對(duì)凸輪廓線力特性反求設(shè)計(jì)問題，建立了開關(guān)輪廓線與手柄驅(qū)動(dòng)力的關(guān)系模型，用離散點(diǎn)描述輪廓線，用差分方法分析輪廓線幾何關(guān)系，設(shè)計(jì)了汽車轉(zhuǎn)向開關(guān)結(jié)構(gòu)輪廓線。

凸輪式開關(guān)機(jī)構(gòu)輪廓線是一種復(fù)雜型線，需要一種高精度的輪廓線描述方法。B樣條曲線具有逼近程度高、適應(yīng)性強(qiáng)、計(jì)算簡(jiǎn)便且便于控制等優(yōu)點(diǎn)，在凸輪廓線設(shè)計(jì)中得到廣泛應(yīng)用[6]。TSAY等[7]應(yīng)用B樣條曲線研究了多約束凸輪廓線反求設(shè)計(jì)問題，實(shí)現(xiàn)了運(yùn)動(dòng)特性的改善。MANDAL等[8]研究了凸輪B樣條曲線控制點(diǎn)反求的優(yōu)化方法，改善了從動(dòng)件加速度特性。毛征宇等[9]采用B樣條方法對(duì)復(fù)雜曲線進(jìn)行擬合，并綜合誤差、速度和加速度等因素，給出具有自適應(yīng)調(diào)整能力的插補(bǔ)步長(zhǎng)確定算法，實(shí)驗(yàn)證明采用B樣條插補(bǔ)可以保證復(fù)雜曲線插補(bǔ)加工的高速與高精度，且具有很好的速度、加速度以及加加速度平滑性。

三次B樣條凸輪廓線具有二階連續(xù)特性，合理確定廓線能獲得較好的凸輪性能，故在改善凸輪高速運(yùn)動(dòng)性能上得到廣泛應(yīng)用[10]。凸輪式開關(guān)雖然轉(zhuǎn)速不高，但要求整個(gè)擋位周期處處滿足力值要求，這需要高精度的廓線方程，因?yàn)橹挥懈呔鹊睦€方程才能建立準(zhǔn)確的開關(guān)受力關(guān)系和能量關(guān)系，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)力值要求的精確滿足。ERDELYI 等[5]采用離散點(diǎn)的差分方程描述廓線,但精度不夠高。本文利用三次均勻B樣條曲線來描述凸輪式開關(guān)復(fù)雜輪廓線，建立凸輪廓線與力值的定量關(guān)系，實(shí)現(xiàn)凸輪廓線的設(shè)計(jì)。

1 開關(guān)結(jié)構(gòu)及輪廓線B樣條曲線方程

1.1 凸輪式開關(guān)結(jié)構(gòu)

(a)機(jī)構(gòu)原理圖

(b)受力分析圖1.開關(guān)軸 2.凸輪廓線 3.彈簧 4.擋銷圖1 凸輪式開關(guān)結(jié)構(gòu)Fig.1 Structural of cam-type switching mechanism

凸輪式開關(guān)機(jī)構(gòu)如圖1所示，軸1的徑向圓孔裝有壓縮彈簧3，擋銷4由薄壁圓筒和薄壁半圓球組成，薄壁圓筒段起導(dǎo)向作用，擋銷半圓球面靠壓簧與固定的凸輪廓線2接觸，并隨軸的轉(zhuǎn)動(dòng)而沿輪廓線表面滑動(dòng)。開關(guān)根據(jù)需要由一到多個(gè)擋位組成，圖中凸輪廓線的GP1GP2段是開關(guān)一個(gè)擋位的典型結(jié)構(gòu)，經(jīng)歷波谷-波峰-波谷循環(huán)，輪廓線需要滿足對(duì)應(yīng)擋位的預(yù)期力值要求。

1.2 輪廓線的三次B樣條曲線方程

圖1b開關(guān)力模型中，凸輪理論廓線為擋銷圓心(滾子中心)的運(yùn)動(dòng)軌跡。擋銷圓心軌跡是一條自由曲線，由三次B樣條曲線逼近，要求樣條曲線通過擋銷圓心位置點(diǎn)PCi(i=0,1,…，n-1)。該曲線由n-1段B樣條曲線組成，B樣條曲線方程為

QCi(t)=

(1)

式中,QCi(t)為擋銷圓心樣條曲線第i段，i=0,1,…,n-2；t為參數(shù)，0≤t≤1 ；VCi為樣條曲線控制點(diǎn)，i=0,1,…,n+1。

B樣條曲線一階導(dǎo)數(shù)為

(2)

B樣條曲線方程滿足：

(1)連續(xù)性條件

QC(i-1)(1)=QCi(0)=PCii=1,2,…,n-2

(2)首末端點(diǎn)條件

QC0(0)=PC0QC(n-2)(1)=PC(n-1)
VC0(0)=VC1VC(n+1)=VC(n)

由以上條件和式(1)可得

(3)

求解式(3)可得到控制點(diǎn)VCi(i=0,1,…,n+1)，再將控制點(diǎn)代入式(1)即得到樣條曲線方程。

凸輪實(shí)際廓線為接觸點(diǎn)A的軌跡，其極半徑為

(4)

式中,rg為擋銷半徑;rc為擋銷中心位置的極半徑。

2 開關(guān)機(jī)構(gòu)力學(xué)模型

凸輪式開關(guān)在工作過程中，擋銷隨凸輪軸的轉(zhuǎn)動(dòng)在凸輪上滑動(dòng)，依靠凸輪軸輸入的手柄力矩克服摩擦功和阻尼功，同時(shí)彈簧存儲(chǔ)彈性勢(shì)能。由于開關(guān)速度低以及擋銷質(zhì)量小，故忽略系統(tǒng)的動(dòng)能和阻尼功,開關(guān)機(jī)構(gòu)系統(tǒng)能量關(guān)系方程為

W=ΔEp

(5)

式中，W為系統(tǒng)外力功,W=WT-Wf1-Wf2；ΔEp為彈簧彈性勢(shì)能改變量；WT、Wf1、Wf2分別為凸輪軸力矩輸入功、擋銷摩擦功、凸輪軸摩擦功。

給定凸輪軸扭矩T、凸輪預(yù)壓縮量為S0、凸輪軸轉(zhuǎn)角δ時(shí)的彈簧壓縮量S(δ)，則凸輪軸力矩輸入功、勢(shì)能改變量、摩擦功分別為

(6)

FnB=kS

式中,F為彈簧力；FnA為擋銷接觸點(diǎn)正壓力；FnB為軸與凸輪接觸點(diǎn)正壓力；k、μ1、μ2分別為彈簧彈性系數(shù)、軸-凸輪副摩擦因數(shù)、擋銷-凸輪副摩擦因數(shù)；rm為凸輪軸半徑。

3 開關(guān)機(jī)構(gòu)輪廓線設(shè)計(jì)算法

由于機(jī)構(gòu)外力功和彈性勢(shì)能都與彈簧壓縮量S(δ)有關(guān)，機(jī)構(gòu)的能量關(guān)系方程為彈簧壓縮量的隱式方程，因此開關(guān)機(jī)構(gòu)輪廓線設(shè)計(jì)需要通過迭代求解彈簧壓縮量，進(jìn)而確定開關(guān)機(jī)構(gòu)理論和實(shí)際廓線。具體步驟如下：

(1)不考慮摩擦功，將計(jì)算得到的彈簧壓縮量作為迭代計(jì)算的初始值。在式(5)中令摩擦功為零，得到彈簧壓縮量迭代計(jì)算的初值

(7)

(2)考慮摩擦功，求解彈簧壓縮量:

(8)

判別彈簧壓縮量計(jì)算是否收斂。如果不收斂，按迭代公式計(jì)算彈簧壓縮量的迭代值和新的輪廓線，并返回到步驟(2)進(jìn)行下一輪迭代；如果收斂，進(jìn)入步驟(3)。迭代公式為

S(g)(δ)=S(g-1)(δ)+ξ(Snew(δ)-S(g-1)(δ))

(9)

式中，ξ為松弛系數(shù)，0<ξ<1。

(3)確定凸輪理論廓線和實(shí)際廓線。理論廓線為擋銷中心軌跡，其直角坐標(biāo)為

(10)

式中，rCO為擋銷中心初始位置處的極半徑。

實(shí)際廓線坐標(biāo)方程為

(11)

(4)力值曲線校核。根據(jù)所獲得的輪廓線，計(jì)算凸輪驅(qū)動(dòng)力矩，并將其與預(yù)期的力值曲線進(jìn)行比較。凸輪升程段驅(qū)動(dòng)力矩方程為

T=FnArAsin(φ-δ-θ)+μ2FnArAcos(φ-δ-θ)+
μ1FnBrm

(12)

凸輪回程段驅(qū)動(dòng)力矩方程為

T=-FnArAsin(φ-δ+θ)-μ2FnArAcos(φ-δ+θ)+
μ1FnBrm

(13)

計(jì)算流程如圖2所示。

圖2 凸輪式開關(guān)輪廓線設(shè)計(jì)流程圖Fig.2 Flowchart of cam-type switch contour design

4 開關(guān)機(jī)構(gòu)輪廓線設(shè)計(jì)算例及結(jié)果討論

4.1 開關(guān)機(jī)構(gòu)凸輪廓線反求設(shè)計(jì)算例

某凸輪式雨刷開關(guān)期望力值曲線如圖3所示，開關(guān)的結(jié)構(gòu)與物理參數(shù)如表1所示。

圖3 雨刷開關(guān)期望力值曲線Fig.3 Expected force value curve of the wiper switch

表1 雨刷開關(guān)結(jié)構(gòu)與物理參數(shù)表Tab.1 The structural and physical parameters of wiper switch

圖3中P點(diǎn)和C點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)力值峰值點(diǎn)和谷值點(diǎn)，Z點(diǎn)對(duì)應(yīng)擋位結(jié)束位置。峰值行程感指標(biāo)用峰值點(diǎn)行程δP與總行程δZ的比值(δP/δZ)描述，該指標(biāo)反映開關(guān)轉(zhuǎn)動(dòng)力矩達(dá)到峰值的快慢；擋位感指標(biāo)用人手感覺到的落差力矩與對(duì)應(yīng)行程的比值(TP-TC)/δC來描述。在雨刷開關(guān)中峰值行程感指標(biāo)和擋位感指標(biāo)分別為0.1857 N·mm/(°)、0.3814 N·mm/(°)。

利用MATLAB語(yǔ)言對(duì)本文輪廓線設(shè)計(jì)方法進(jìn)行編程，計(jì)算得到雨刷開關(guān)輪廓線，彈簧壓縮量迭代計(jì)算過程以及雨刷開關(guān)理論輪廓線和實(shí)際輪廓線如圖4所示。

(a)彈簧壓縮量曲線迭代過程

(b)雨刷開關(guān)輪廓線圖圖4 彈簧壓縮量迭代計(jì)算及輪廓線設(shè)計(jì)結(jié)果Fig.4 Iterative computation of the spring compression value and the design results of the switch contour curve

圖5所示為期望力值曲線與設(shè)計(jì)力值曲線。設(shè)計(jì)力值曲線包括按三次均勻B樣條輪廓曲線和按五次多項(xiàng)式曲線獲得的力值結(jié)果。

圖5 期望力值曲線與設(shè)計(jì)力值曲線Fig.5 The comparison of the expected force value curve and the designed force value curve

4.2 設(shè)計(jì)結(jié)果討論

(1)從圖4可以看出，隨著迭代過程的進(jìn)行，彈簧壓縮量曲線逐漸收斂，并且終了位置的彈簧壓縮量和初始位置彈簧壓縮量相等，實(shí)現(xiàn)擋位復(fù)位。這表明采用能量法進(jìn)行凸輪式開關(guān)力值特性的輪廓線反求設(shè)計(jì)是可行的。

(2)從圖5可以看出，采用B樣條所獲得的力值曲線較五次多項(xiàng)式輪廓線的力值曲線更接近期望力值曲線，其中B樣條的力值曲線與期望力值曲線相關(guān)系數(shù)為0.996，五次多項(xiàng)式輪廓線的力值曲線與期望力值曲線的相關(guān)系數(shù)為0.986；在擋位初始和末了兩個(gè)階段，五次多項(xiàng)式輪廓線的力值曲線與期望力值曲線有較大的誤差，而采用B樣條所求力值曲線與期望的力值曲線基本一致。這表明，B樣條曲線設(shè)計(jì)能夠提高輪廓線的設(shè)計(jì)精度和開關(guān)的使用性能。

(3)B樣條輪廓線得到的力值曲線在擋位推程和擋位回程末了兩個(gè)階段與期望力值曲線誤差很小，而在回程的中段誤差相對(duì)大些，可能是因擋銷在這一工作段用庫(kù)侖摩擦模型與實(shí)際接觸的摩擦規(guī)律有誤差導(dǎo)致。由此，這一段凸輪廓線的摩擦規(guī)律以及對(duì)凸輪廓線設(shè)計(jì)的影響有待進(jìn)一步研究。

5 結(jié)論

(1)提出了一種根據(jù)力值特性進(jìn)行開關(guān)凸輪廓線反求設(shè)計(jì)的方法，給出了凸輪機(jī)構(gòu)能量關(guān)系方程、三次均勻B樣條凸輪廓線方程以及數(shù)值迭代算法。

(2)雨刷開關(guān)設(shè)計(jì)實(shí)例表明，本文提出的采用能量法進(jìn)行凸輪廓線反求設(shè)計(jì)是可行的，可以普遍適用于根據(jù)力值特性進(jìn)行凸輪廓線的反求設(shè)計(jì)。

(3)B樣條曲線適合于凸輪式開關(guān)復(fù)雜輪廓型線的設(shè)計(jì)，能夠有效提高設(shè)計(jì)精度和開關(guān)的使用性能。

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(編輯 袁興玲)

Design Method of Cam-type Switching Mechanism Contours Based on B-Spline

WANG Wei YAO Huazhong

College of Mechanical Engineering and Automation, Fuzhou University, Fuzhou, 350116

In order to investigate the problems of complex contour description and complex quantitative relationship between cam-type switching mechanism contours and force value curves, a design method of cam contour was suggested based on B-spline and energy theory. The descriptive and the differential equations of B-spline were given, the quantitative relationship equation between the internal potential energy and external work of switching mechanism was established, and the iterative design algorithm of mechanism contours was presented. A cam-type wiper switch contour was designed by using MATLAB and the suggested cam contour design method, which involved the energetic relationship equation and the iterative algorithm. The design results indicate that the derived contour may satisfy the expected force value curve requirements, and the derived force value curves by using B-spline are more effective in improving the contour precision and the switch performance than that by using high-order polynomial fitting curves.

cam-type switching mechanism；contour； energetic relationship； B-spline

2016-05-17

福建省工業(yè)機(jī)器人基礎(chǔ)部件技術(shù)重大研發(fā)平臺(tái)資助項(xiàng)目(2014H21010011)

TH112

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.07.006

王 偉，男，1970年生。福州大學(xué)機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院教授。主要研究方向?yàn)楝F(xiàn)代機(jī)械設(shè)計(jì)理論及方法、冶金設(shè)備及承壓設(shè)備力學(xué)。發(fā)表論文20余篇。E-mail：mkwang@fzu.edu.cn。姚華忠，男，1990年生。福州大學(xué)機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院碩士研究生。