◇顧衛(wèi)華

用歷史名題推開(kāi)數(shù)學(xué)文化的窗
——“雞兔同籠”賞析課教學(xué)實(shí)踐

◇顧衛(wèi)華

數(shù)學(xué)文化是指人類(lèi)在數(shù)學(xué)行為活動(dòng)的過(guò)程中所創(chuàng)造的物質(zhì)產(chǎn)品和精神產(chǎn)品。物質(zhì)產(chǎn)品指數(shù)學(xué)命題、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)問(wèn)題和數(shù)學(xué)語(yǔ)言等知識(shí)性成分；精神產(chǎn)品指數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)意識(shí)、數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)美等觀念性成分。以此定義審視現(xiàn)在的課堂，很明顯我們對(duì)“物質(zhì)產(chǎn)品”一直非常重視，長(zhǎng)抓不懈；但對(duì)于“精神產(chǎn)品”還是有點(diǎn)“虛”，不夠扎實(shí)。

“雞兔同籠”出自《孫子算經(jīng)》，該題雖不具有實(shí)際意義，卻可以成為一類(lèi)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。同時(shí)，題目情節(jié)有趣但不簡(jiǎn)單，解答有挑戰(zhàn)但不艱澀，成為歷史名題實(shí)至名歸，實(shí)在是體會(huì)數(shù)學(xué)文化的極好載體。在蘇教版教材中，此題被安排在六年級(jí)下冊(cè)“解決問(wèn)題的策略”單元的“你知道嗎”中，僅僅作為附屬知識(shí)出現(xiàn)，有點(diǎn)兒可惜。于是，我大膽嘗試，以此為載體上了一節(jié)“名題賞析”課，著力引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)文化中那些“虛”的成分，感悟數(shù)學(xué)內(nèi)在的理性美。

一、導(dǎo)入

（直接出示下題，如圖1）

圖1

師：題目的意思明白嗎？誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)？

生1：雞和兔在一個(gè)籠子里，一共有35個(gè)頭，有94只腳，求雞和兔各有多少只。

師：（豎起大拇指）不錯(cuò)，這可是一道千古名題，今天我們一起來(lái)研究、欣賞它。為了方便，老師把數(shù)改小一點(diǎn)兒。

（師出示：若干只雞和兔同在一個(gè)籠子里，從上面數(shù)，有12個(gè)頭；從下面數(shù)，有34只腳?；\中雞和兔各有多少只）

師：為什么這會(huì)成為一道名題呢？如果老師把題目改一下，你覺(jué)得還能吸引人嗎？（如圖2）

圖2

生2：直接就能求出兔有多少只了，不好玩了。

師：你的意思是說(shuō)，名題之所以有名，是因?yàn)橛悬c(diǎn)兒挑戰(zhàn)，是嗎？

生2：是呀，否則就太沒(méi)有意思了。

師：非常棒！學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有時(shí)就需要這種迎難而上的精神。你們?cè)敢饨邮堋半u和兔”的挑戰(zhàn)嗎？請(qǐng)獨(dú)立完成，準(zhǔn)備展示你的想法。

（生獨(dú)立完成，師巡視，捕捉亮點(diǎn)）

二、分享

師：誰(shuí)愿意來(lái)分享你的想法？

（生1的想法見(jiàn)圖3）

圖3

生1：我用的是列舉法。不知道雞、兔的只數(shù)，我就想，如果雞有12只，那么兔就是0只，總腳數(shù)就是2乘12，24只。而題目告訴我們一共有34只腳，顯然不對(duì)，說(shuō)明雞不是 12只。然后就繼續(xù)列舉，最后到7只雞和5只兔的時(shí)候正好是34只腳，那就說(shuō)明雞7只、兔5只。請(qǐng)大家和我交流。

生2：我覺(jué)得你說(shuō)得很棒，但是我從 12只兔子開(kāi)始列舉也是可以的。

生1：我贊同你的想法。

師：聽(tīng)了你們的對(duì)話，老師有個(gè)疑問(wèn)，為什么你們都選擇從12只雞或兔開(kāi)始列舉呢？

生2：我覺(jué)得從全部是兔考慮，比較容易。

師：老師發(fā)現(xiàn)你很有數(shù)學(xué)的眼光，確實(shí)從極端情況考慮往往比較——

生：（齊）容易。

師：誰(shuí)還有不同的想法呢？

生3：我來(lái)，我是列式計(jì)算的。（如圖4）

圖4

生4：很棒，我還可以先假設(shè)全是兔，那自然總腳數(shù)就變多了。

師：真了不起！你們的發(fā)言都很精彩。歷史上，曾經(jīng)流傳有很多解答，大家想開(kāi)開(kāi)眼界嗎？

三、欣賞

（課件用菜單方式出示：畫(huà)圖法、雞翅當(dāng)腳法、砍腳法）

師：這是六年級(jí)的題目，一年級(jí)的小朋友也會(huì)做。不信？請(qǐng)看！（如圖5）

圖5

師：誰(shuí)來(lái)解釋他是怎么想的？

生1：我來(lái)解釋。先全部畫(huà)成兩只腳的雞，一共12只，然后再增加腳數(shù)，黑色部分就是比實(shí)際少的10只腳，每只雞添2只腳，就變成了兔，所以就有5只兔。

（課件出示“雞翅當(dāng)腳法”，錄音配動(dòng)畫(huà)：兔有4只腳，而雞只有2只腳，這豈不是太不公平了嗎？雞還有2只翅膀呢!如果把2只翅膀也看成腳，那么雞也就有了4只腳。這樣……）

師：誰(shuí)是數(shù)學(xué)家的知音？

生2：我明白了。12只動(dòng)物就有了4乘12等于48只腳！咦？已知有34只腳呀，為什么多了14只腳呀？哦，其實(shí)這14只，不是腳，是假裝成腳的翅膀呀。那么雞就是14÷2=7（只），剩下的5只便全是兔了。

（課件出示“砍腳法”，錄音配動(dòng)畫(huà)：如果把每只動(dòng)物都砍成2只腳，這樣所有的動(dòng)物都是2只腳……）

師：大家聽(tīng)明白了嗎？

（生回答，略）

四、分析

師：課始我們分析過(guò)，“雞兔同籠”之所以成為名題，是需要解答者同時(shí)滿足 “頭12個(gè)”“腳34只”這兩個(gè)要求！數(shù)學(xué)中是怎么處理這種挑戰(zhàn)的？請(qǐng)大家比比剛才我們所經(jīng)歷的各種解法，它們有什么相同的地方？

生1：我覺(jué)得都是在假設(shè)。

師：具體說(shuō)說(shuō)。

生2：你們看，不管是哪種方法，都會(huì)先假設(shè)全部是雞或者兔，然后求出總腳數(shù)，發(fā)現(xiàn)比已知的總腳數(shù)少或者多，最后再換。

師：有道理！換的時(shí)候有點(diǎn)不一樣而已。

生3：我覺(jué)得“雞翅當(dāng)腳法”其實(shí)就是假設(shè)成全是兔，因?yàn)楫?dāng)雞把翅膀當(dāng)成腳時(shí)，就相當(dāng)于全是兔了。

師：你總結(jié)得很有水平，那老師想問(wèn)你，為什么要假設(shè)呢？

生3：因?yàn)椋荒芤幌伦又离u和兔各有幾只。

師：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要不斷追問(wèn)。為什么不能一下子求得雞和兔的只數(shù)呢？

生3：因?yàn)椴荒芡瑫r(shí)滿足 “頭12個(gè)”“腳 34只”這兩個(gè)要求，除非運(yùn)氣特別好，一猜就中了！

師：對(duì)！不能同時(shí)滿足“頭12個(gè)”“腳34只”這兩個(gè)要求。面對(duì)這個(gè)困難，所有人都干了同樣的一件事，是什么？

生4：我覺(jué)得都是在算腳。

師：算腳？

生4：對(duì)呀，算總腳數(shù)有多少。只要算到總腳數(shù)是34，就可以了。

師：那頭呢？

生4：頭一直是12個(gè)呀！

師：哈哈，看來(lái)當(dāng)無(wú)法一下子滿足“頭”和“腳”兩個(gè)條件時(shí)，我們首先選擇了“頭”——滿足“頭12個(gè)”這個(gè)條件。假設(shè)12個(gè)頭全部是一種動(dòng)物的，然后去設(shè)法調(diào)整腳數(shù)，讓總腳數(shù)慢慢地滿足“腳34只”這個(gè)條件。只不過(guò)調(diào)整的方式可能有所不同，有的是一次性調(diào)整到位，有的是一只只調(diào)整?；匚兑幌?，是不是這樣呢？

（生再次比較各種解法，頻頻點(diǎn)頭）

師：嗯，看來(lái)我們已經(jīng)把握住最關(guān)鍵的部分了。各種解法各有不同，所以有不同的名稱(chēng)，什么列舉法、畫(huà)圖法、砍腳法等，但所體現(xiàn)出來(lái)的數(shù)學(xué)智慧是一樣的，都是先滿足一個(gè)條件，然后設(shè)法滿足第二個(gè)條件。當(dāng)你把握了這個(gè)規(guī)律的時(shí)候，我們回頭再來(lái)看也許會(huì)有新的收獲。比如說(shuō)，先前我們都是從極端的情況假設(shè)。難道只有這一條路嗎？

生5：我有新的辦法了，反正都是12個(gè)頭，我就平分一下，6只雞和6只兔，這樣一共有12+24= 36（只）腳，不對(duì)。雞增加1只，兔減少1只，就正好是34只腳了。請(qǐng)大家和我交流。

生6：好像你的方法更簡(jiǎn)捷些。

師：是呀，因?yàn)槟銢](méi)有從極端情況開(kāi)始考慮，而是選擇了對(duì)半分，反而離正確答案更近了一些。不過(guò)老師請(qǐng)教你，當(dāng)你算出36只腳時(shí)，為什么能想到增加雞的只數(shù)而不是增加兔的只數(shù)？這是特別有智慧的地方。

生5：因?yàn)榭偰_數(shù)多了2，所以要減少，那么就要把兔子換成雞。1只兔子換成1只雞。

師：哦，原來(lái)是這樣，把1只兔子換成1只雞，總腳數(shù)就減少了2。還能怎樣假設(shè)？

（生紛紛舉手回答）

師：好了，找到規(guī)律后，新的方法就太多了。但萬(wàn)變不離其宗，他們都是如何處理的？

生7：都是先滿足一個(gè)條件，然后設(shè)法滿足第二個(gè)條件。

五、推廣

師：這雞可不是一般雞，這兔也是非凡兔，被你們逼急了，它們?nèi)チ颂嘶ü?，學(xué)了七十二般變化，藏在了以下4個(gè)場(chǎng)景中。你們還能找到它們嗎？

（師提供菜單式選擇，分別是 “日本”“春游”“投籃”“下棋”。生選“日本”，師課件出示：有一群鶴和烏龜都圈在一個(gè)籠子里。從上邊數(shù)腦袋是35個(gè)，從下邊數(shù)腳是94只。問(wèn)烏龜和鶴各是多少只）

生：很簡(jiǎn)單，鶴就是雞，因?yàn)橛?只腳；烏龜就是兔，有4只腳。

師：是呀，這題在日本叫作“龜鶴算”，據(jù)史料記載，此題就源自“雞兔同籠”。難怪有人說(shuō)，近代日本之所以富強(qiáng)，和他們善于學(xué)習(xí)是分不開(kāi)的。

（生選“春游”“投籃”“下棋”，師課件依次出示下面各題，生分別找到對(duì)應(yīng)的“雞”和“兔”）

1.要參加春游，媽媽給了我20張人民幣，告訴我一共是175元，其中只有5元和10元的，我算了算，就知道5元和10元各多少?gòu)埩恕?/p>

2.一名籃球運(yùn)動(dòng)員在一場(chǎng)比賽中一共投中9個(gè)球，有2分球，也有3分球。已知這名運(yùn)動(dòng)員一共得了21分，他投中2分球和3分球各多少個(gè)？

3.學(xué)校有象棋、跳棋共26副，恰好供120個(gè)學(xué)生同時(shí)活動(dòng)，象棋2人下一副，跳棋6人下一副，那么象棋、跳棋各幾副？

師：看來(lái)這雞和兔可以死心了，不管怎么變化，都躲不過(guò)你們的“火眼金睛”。你們?cè)趺催@么厲害呢？

生：我發(fā)現(xiàn)雞的腳數(shù)可以變，兔的腳數(shù)也可以變，但不變的是“雞和兔的總只數(shù)”一直是告訴我們的，雖然數(shù)可能在變化。

師：真了不起，你都發(fā)現(xiàn)這些變化中的共同特征了，難怪這么厲害！如果要求同時(shí)滿足三個(gè)條件該怎么辦？

（課件出示“百雞問(wèn)題”：今有雞翁一，值錢(qián)五；雞母一，值錢(qián)三；雞雛三，值錢(qián)一。凡百錢(qián)買(mǎi)雞百只，問(wèn)雞翁、母、雛各幾何）

師：這也是一道歷史名題，能用今天的收獲解決新的問(wèn)題嗎？下課后歡迎你試一試。

（作者單位：江蘇啟東實(shí)驗(yàn)小學(xué)開(kāi)發(fā)區(qū)分校）