淺談對數(shù)列通項公式求法的認(rèn)識

遼寧省蓋州市第二高級中學(xué) 楊 軍

高中數(shù)學(xué)是一個整體結(jié)構(gòu)很強(qiáng)的學(xué)科，但是各個模塊又顯得有獨立的特色，數(shù)列就是這樣的和其他模塊有很多縱橫聯(lián)系又有其自身獨特知識體系的一個理論板塊，數(shù)列在理論上和實踐中均有較高的價值，是培養(yǎng)學(xué)生觀察能力、理解能力、邏輯思維能力的絕好載體，高考對數(shù)列知識的考察在八十年代末發(fā)展到了極致，以后逐漸冷落，但最近幾年又逐漸升溫，隨著與大學(xué)知識的接軌，競賽題的釋放，很多省市的高考數(shù)學(xué)卷都把數(shù)列題作為壓軸題，而數(shù)列通項公式的求法又成為一個熱點。本文想總結(jié)一下在高中階段，求數(shù)列的通項公式的常用方法和策略。

一、觀察法

觀察法就是觀察數(shù)列特征，找出各項共同的構(gòu)成規(guī)律，橫向看各項之間的關(guān)系結(jié)構(gòu)，縱向看各項與項數(shù)n的內(nèi)在聯(lián)系，從而歸納出數(shù)列的通項公式，然后利用數(shù)學(xué)歸納法加以證明即可。

例1：在數(shù)列{an}，{bn}中a1=2,b1=4且an,bn,an+1成等差數(shù)列，bn,an+1,bn+1成等比數(shù)列(n∈N*)。求a2,a3,a4及b2,b3,b4，由此猜測{an}，{bn}的通項公式，并證明你的結(jié)論。

解：有題設(shè)條件得2bn=an+an+1，

a2n+1=bnbn+1

由此得a2=6,a3=12,a4=20,b2=9,b3=16,b4=25

猜測an=n(n+1),bn=(n+1)2

用數(shù)學(xué)歸納法證明：

(1)當(dāng)n=1時，有以上知結(jié)論成立；

所以當(dāng)n=k+1時，結(jié)論也成立，

由(1)(2)，可知an=n(n+1),bn=(n+1)2對一切正整數(shù)都成立。

點評：采用數(shù)學(xué)歸納法證明多是理科教學(xué)內(nèi)容，較為容易，好掌握。

二、定義法

直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項的方法叫定義法，這種方法適應(yīng)于已知數(shù)列類型的題目。

例2：等差數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，前n項和為Sn，且a1，a3，a9成等比數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項公式。

解：設(shè)數(shù)列{an}公差為d(d＞0)

∵a1，a3，a9成等比數(shù)列，

點評：利用定義法求數(shù)列通項時要注意不用錯定義，設(shè)法求出首項與公差（公比）后再寫出通項。

三、公式法

若已知數(shù)列的前n項和Sn與an的關(guān)系，求數(shù)列{an}的通項an可用公式

例3：已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn=2an+(-1)n.（n≥1）.求數(shù)列{an}的通項公式。

四、由遞推公式求數(shù)列通項法

對于遞推公式確定的數(shù)列的求解，通?？梢酝ㄟ^遞推公式的變換，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題，有時也用到一些特殊的轉(zhuǎn)化方法與特殊數(shù)列。

遞推公式為an+1=an+f(n)，其中f(1)+f(2)+…+f(n)的和比較易求，通常解法是把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an+1-an=f(n)，利用累加法(逐差相加法)求解。

解：由已知得，

令n=1，2,…,(n-1),代入(n-1)個等式累和，即

總之，求數(shù)列通項公式的方法并不滿足以上所述，對于同一問題的求解也不僅是一種方法，只有在平時學(xué)習(xí)與探究過程中不斷地體會與總結(jié)，將知識與方法學(xué)活，才可以做到游刃有余。