排長(zhǎng)隊(duì)太可怕？數(shù)學(xué)家教你怎樣最快

排隊(duì)對(duì)于大多數(shù)人來(lái)說(shuō)，是日常生活中經(jīng)常遇到的事。從大型商場(chǎng)到街角小店，從機(jī)場(chǎng)、火車(chē)站安檢到各類(lèi)辦事處都可以看到長(zhǎng)龍似的隊(duì)列。

然而很多時(shí)候，你一定有這樣的感覺(jué)——自己選的隊(duì)列都走得很慢，甚至排到一半換個(gè)隊(duì)排還是很慢。

那么，究竟該如何判斷哪支隊(duì)列的移動(dòng)速度最快呢？近日在澳大利亞《對(duì)話(huà)》雜志網(wǎng)站上，英國(guó)薩塞克斯大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)家尼克斯·喬治烏和恩里科·斯卡拉斯研究了排隊(duì)背后的數(shù)學(xué)問(wèn)題。他們教了大家?guī)讉€(gè)排隊(duì)訣竅：鑒于大多數(shù)人是右撇子，會(huì)下意識(shí)選擇靠右的隊(duì)，那么你可以反其道而行，去排最靠左的隊(duì)伍；盡量找業(yè)務(wù)人員是女性的隊(duì)去排，因?yàn)樗齻兺ǔ?dòng)作更快；在超市收銀員速度大致相同的情況下，重要的是服務(wù)時(shí)間分布概念，也就是要看結(jié)賬的商品數(shù)而非排隊(duì)的人數(shù)。

最短的就是最快的？并非如此

想象一個(gè)場(chǎng)景：你來(lái)到超市一處收銀點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)其中一排隊(duì)列比其他所有隊(duì)列要長(zhǎng)，你理所當(dāng)然地排在了人數(shù)較少的一排隊(duì)列后面。然而，人數(shù)最多的那一列一直在移動(dòng)，你身處的較短的隊(duì)列卻幾乎紋絲不動(dòng)。

在排隊(duì)的情況中，人們憑直覺(jué)選擇的隊(duì)列往往都不是最快的隊(duì)列。那么，為什么你一加入了那支隊(duì)列，該隊(duì)列就開(kāi)始變得很慢了？有沒(méi)有方法能讓你知道哪支隊(duì)列是移動(dòng)最快的？數(shù)學(xué)家們對(duì)排隊(duì)這一看似幾乎可以忽略的問(wèn)題已經(jīng)研究了多年，他們能幫助人們?cè)谂抨?duì)過(guò)程中節(jié)省更多時(shí)間嗎？

從直觀(guān)上來(lái)說(shuō)，選擇最短的隊(duì)列似乎是最佳策略。畢竟，一個(gè)較短的隊(duì)列可能說(shuō)明這一列的收銀員非常高效，而一個(gè)長(zhǎng)隊(duì)列可能意味著該收銀員沒(méi)有經(jīng)驗(yàn)，或者這一列的顧客需要結(jié)算的物品非常多。但實(shí)際上，加入人數(shù)較少的隊(duì)列可能對(duì)人們來(lái)說(shuō)更加不利。例如，如果一個(gè)隊(duì)列只有兩名顧客在排隊(duì)，但他們的手推購(gòu)物車(chē)都已經(jīng)裝得塞不下任何東西了，而另一列四名顧客的手推車(chē)卻幾乎沒(méi)裝任何東西，而在這種情況下，人們則更愿意加入后者。

如果收銀員們的效率大體相當(dāng)，那么此時(shí)問(wèn)題的關(guān)鍵就是每支隊(duì)列中顧客需要結(jié)算的物品總量，而不是排隊(duì)的人數(shù)。但如果手推車(chē)不是很滿(mǎn)，而手里提的籃子是滿(mǎn)的，這種情況就非常難判斷了。

排隊(duì)時(shí)間受哪些因素影響？

上述例子介紹了一個(gè)非常通俗的概念——收銀時(shí)間分布。收銀時(shí)間分布是一個(gè)隨機(jī)變量，用來(lái)衡量客戶(hù)收銀結(jié)賬的過(guò)程所需時(shí)間。這個(gè)概念包含了每個(gè)顧客平均的結(jié)算時(shí)間以及所有顧客所用收銀時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)差。簡(jiǎn)單來(lái)講，這個(gè)概念代表著不同顧客所需收銀時(shí)間的時(shí)間區(qū)間。

另一個(gè)非常重要的變量則是其他顧客加入隊(duì)列的頻率，也就是達(dá)到率，而這取決于兩個(gè)連續(xù)進(jìn)入商店的顧客之間的平均時(shí)間。在特定的時(shí)間區(qū)間內(nèi)，加入隊(duì)列等待結(jié)賬的人越多，那么隊(duì)列也就越長(zhǎng)。

根據(jù)以上被提及的變量，最短的隊(duì)列可能是排隊(duì)時(shí)間最短的一個(gè)，但也可能不會(huì)。例如，在魚(yú)店或是電腦芯片店這種地方，可能兩個(gè)收銀員在同時(shí)接受訂單和為顧客結(jié)賬。在這種情況下，加入最短隊(duì)列當(dāng)然是最好的選擇，因?yàn)槭浙y員接收訂單所需時(shí)間變化并不太大。

然而不幸的是，在現(xiàn)實(shí)中，當(dāng)你進(jìn)入一家商店時(shí)，很難確切知道相關(guān)的變量是什么。所以人們?nèi)匀恢荒芸坎聛?lái)判斷最快的隊(duì)列加入，或是依賴(lài)某些心理學(xué)等技巧，比如加入最左邊的隊(duì)列，因?yàn)榇蠖鄶?shù)右撇子都會(huì)自動(dòng)向右轉(zhuǎn)。

一旦你進(jìn)入了隊(duì)列，你就會(huì)想知道你是否做出了正確的選擇。例如，你所在隊(duì)列的收銀員效率是不是最高的？觀(guān)察到實(shí)際的隊(duì)列長(zhǎng)度很容易，你也可以嘗試將該隊(duì)列長(zhǎng)度與所有隊(duì)列長(zhǎng)度的平均值進(jìn)行比較。

通過(guò)計(jì)算收銀時(shí)間平均值和標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)判斷的方式，最早是1930年著名的Pollaczek-Khinchine公式提出的。除了收銀時(shí)間的平均值和方差外，該公式中還將每名顧客到達(dá)的平均時(shí)間納入了考慮。

排隊(duì)時(shí)長(zhǎng)應(yīng)該這么算

然而，如果你試著去測(cè)算一支隊(duì)列第一個(gè)人所用的結(jié)算時(shí)間的話(huà)，你很可能會(huì)覺(jué)得你選錯(cuò)了隊(duì)列。這便是著名的費(fèi)勒悖論或檢驗(yàn)悖論。從技術(shù)上來(lái)講，這并不是一個(gè)真正意義上的邏輯悖論，但上述這種選錯(cuò)隊(duì)列的情況確實(shí)與人們的直覺(jué)相反。

如果你在加入隊(duì)列時(shí)便開(kāi)始計(jì)算顧客所用時(shí)間，那么你更有可能看到的結(jié)果是，第一個(gè)客戶(hù)所用時(shí)間可能要比平均每名顧客所用的時(shí)間要長(zhǎng)。這會(huì)讓你覺(jué)得自己很倒霉，因?yàn)檫x擇了等待時(shí)間更長(zhǎng)的隊(duì)列。

檢驗(yàn)悖論的原理是：假設(shè)一家銀行提供兩種服務(wù)。其中一種服務(wù)只需要5分鐘或根本不需要任何時(shí)間（0分鐘），而兩種情況的概率完全一樣；另一種服務(wù)則是只需要10分鐘或20分鐘，這種情況的概率也完全一樣。而客戶(hù)選擇任意一種服務(wù)的概率都是一樣的，因此，銀行的平均服務(wù)時(shí)間是8.75分鐘。

如果你加入隊(duì)列時(shí)，最前方的顧客正處于結(jié)賬中，那么這類(lèi)顧客所用時(shí)間就不可能算成0分鐘，而是5分鐘、10分鐘或20分鐘當(dāng)中的一種，這使得這類(lèi)顧客的平均所需時(shí)間超過(guò)11分鐘。事實(shí)上，在相同的情況下，這名位于隊(duì)列最前端、正處于結(jié)賬中的顧客更想要的是10分鐘或20分鐘的服務(wù)，而這也將使隊(duì)列看上去移動(dòng)得更加緩慢。（據(jù)每日經(jīng)濟(jì)新聞）