李佳偉 王 婕 張中月 王恒通

(陜西師范大學物理學與信息技術學院 陜西 西安 710119)

MATLAB在電動力學教學中的應用研究

李佳偉 王 婕 張中月 王恒通

(陜西師范大學物理學與信息技術學院 陜西 西安 710119)

從穩(wěn)恒場和時變場兩個方面選取了電動力學中較為重要的典型問題，結合Matlab軟件編程作圖，基于直觀的圖像或動畫深入分析物理公式或物理問題的本質(zhì)，凸顯將Matlab應用在電動力學的教學中化抽象為具體的優(yōu)勢，以期在一定程度上提高學生的學習興趣，幫助學生更好地理解復雜的數(shù)學表達式背后的物理含義，為改善電動力學課堂的教學效果提供借鑒.

Matlab電動力學 模擬計算

1 引言

電動力學是高校物理學專業(yè)學生的一門必修理論課，除物理學專業(yè)外，很多其他的理工科專業(yè)也開設有電動力學的課程.作為四大力學之一，電動力學是理論物理的重要組成部分，它的基本原理是電磁場和電磁波等重要的基礎理論，其理論體系在培養(yǎng)學生的物理素養(yǎng)方面發(fā)揮著不可替代的作用，同時對于指導社會生產(chǎn)實踐也具有重要的價值.電動力學中的概念及規(guī)律比較抽象，課程內(nèi)容中含有大量的物理符號與運算公式，推導復雜，計算量大且較為繁瑣，不易理解.這給電動力學的教學增加了難度，學生要學好這門課程存在數(shù)學基礎好，抽象思維能力強的較高門檻要求.

關于電動力學的教學近年來已經(jīng)進行了一定的改革，現(xiàn)如今也正在朝著多種教學方法多種教學手段共同使用的方向發(fā)展.電動力學課程對于學生物理思維和數(shù)學能力的要求不會改變，因此沒有直觀的知識呈現(xiàn)方式，學生要理解抽象的物理公式、概念、規(guī)律在思維上的跨越就依然困難.

Matlab是功能強大的科學及工程計算軟件，它有著基于矩陣運算的強大數(shù)學計算與分析功能、方便的程序設計功能以及豐富的圖形表現(xiàn)功能，是非常重要的模擬計算軟件.利用Matlab作圖有諸多優(yōu)勢，例如：(1)繪圖和圖形處理功能強大.Matlab有一系列的繪圖函數(shù)，需要時進行調(diào)用即可；軟件提供了強大的圖形處理系統(tǒng)，既可以完成二維和三維數(shù)據(jù)的表達和處理，也可以實現(xiàn)對復雜圖形對象的操作，能夠生成動畫.值得一提的是，Matlab的圖形窗口可以根據(jù)觀察的需要調(diào)整角度，便于分析物理矢量在各截面的分布情況.(2)部分問題無需編程仍可進行研究.Matlab提供了多種類型的工具箱，用戶無需自己編寫程序，只需在相應的工具箱內(nèi)設置相關參數(shù)，就可以直接進行深入的研究[1].

Matlab軟件具有友好的交互界面和強大的作圖功能，通過Matlab軟件編程作圖，能夠將抽象的物理模型、物理公式和計算結果用具體的圖像或動畫的形式直觀模擬出來，在此基礎上深入分析物理公式或物理問題的本質(zhì)，并研究物理模型的動態(tài)變化規(guī)律.這種直觀的知識呈現(xiàn)方式將在一定程度上幫助學生在對物理知識有清晰認識的情況下，較為輕松地掌握相關概念及規(guī)律，加深印象的同時提高學生學習電動力學的興趣，有助于改善電動力學課堂的教學效果.

目前大部分高校都開設有Matlab課程的必修課或選修課，這說明將這一工具應用在電動力學的教學和學習中有很強的可行性和諸多的有利條件.另外，Matlab正在逐漸成為不可或缺的科研軟件，有著廣泛的應用前景，加強Matlab在教學中的應用也將為培養(yǎng)學生的科學素養(yǎng)打下良好的基礎.

本文以促進電動力學的教學為目的，選取了電動力學學習中的多個重要問題，借助Matlab軟件編程作圖，并對模擬的結果進行細致分析，旨在說明將Matlab軟件與電動力學的教學緊密結合是改善電動力學教學效果的有效途徑.

2 Matlab軟件在模擬靜電場方面的應用

2.1Matlab模擬接地導體角域的電場電勢分布

鏡像法是電動力學教學中的重要內(nèi)容，但其物理內(nèi)涵學生不易深刻理解.尤其容易誤會原求解問題與采用鏡像法等效替換后的問題只在求解區(qū)域內(nèi)是同解，下面通過Matlab模擬用鏡像法解決導體角域的問題，作出直觀的圖像并進行說明.

一個點電荷q放在60°的接地導體角域內(nèi)的點(1, 1, 0)處，求點(x, y, z)處的電勢[2].

通過理論計算，能夠得到鏡像電荷的位置、大小和電勢，有如下結果：

在得到電勢φ的表達式后，我們對電場與電勢的分布缺乏一個感性的認識.借助Matlab編程容易得到電勢表達式所對應的如圖1所示的電場和電勢的分布圖.

圖1清晰地呈現(xiàn)了導體角域內(nèi)的點電荷和角域外的5個鏡像電荷共同形成的電場(帶箭頭的線)和電勢(不帶箭頭的線)的分布形態(tài).空間內(nèi)原本的電場是點電荷q激發(fā)的電場和導體板上感應電荷激發(fā)電場的疊加，空間的電勢分布也是點電荷和感應電荷遵循疊加原理形成的，場只存在導體角域內(nèi).從圖1容易看出等價后點電荷疊加的場在角域外也有場的分布，二者的等價只是在角域內(nèi)成立.

圖1 接地導體角域的電場和電勢分布圖

將圖像和公式相結合可以更好地理解鏡像法的基本思路及物理含義.也可以借助Matlab計算指定點的電勢值，使學生從繁瑣的計算中解脫出來.此類問題中無論導體板、導體球還是導體角(角度數(shù)能被180°整除)，接地或是不接地，導體球表面帶或不帶電荷，電場和電勢的分布情況均可以以直觀的圖像方式呈現(xiàn)，幫助學生更好地建立物理圖像，理解物理方法的原理和物理問題的本質(zhì).

2.2 Matlab模擬兩帶電導體球的相互作用

上述討論的情形是在能夠得到明確解析解的前提下，通過Matlab編程作出直觀的圖像，從而幫助學生在一定程度上跨越想象的障礙，更好地理解電動力學抽象而深刻的物理內(nèi)涵.但這一前提有兩個不便之處：一是在編程不熟練的情況下，作出圖像的困難較大；二是在無法計算得到解析解(如邊界條件較復雜難以計算出解析解或邊界不規(guī)則沒有解析解)的情況下，編程就無法進行.Matlab中有可以專門實現(xiàn)二維空間上偏微分方程數(shù)值求解的工具箱——PDE工具箱，能夠很好地解決這一問題.

相隔一定距離的兩帶電導體球的相互作用問題是電動力學中的重要問題之一，有多篇文獻[3～5]都對此進行了研究，但這些文獻的研究主要依賴于數(shù)學上的推導計算，因此理解起來仍有困難.下面對兩個相隔一定距離的帶電導體球問題進行Matlab模擬和分析.

首先借助Matlab作出當兩帶電導體球各參數(shù)分別為Q1=0.01 C，Q2=0.01 C，R1=1.0 m，R2=2.0 m時，兩導體球間的相互作用力F隨間距d變化的關系圖，如圖2所示.

圖2 兩帶電導體球間相互作用力F隨間距d變化的關系圖

由圖2可知作用力F隨間距d變化的趨勢和規(guī)律，但相互作用力僅以數(shù)值和曲線的方式呈現(xiàn)還不夠直觀，也不能看出兩帶電導體球間電場和電勢的分布關系.這種情況下若要再進行編程處理困難較大，而借助PDE工具箱可以輕松實現(xiàn).在工具箱中建模、設置相關參數(shù)和剖分網(wǎng)格，設置界面，作出當兩帶電導體球的間距d分別為d=3.2 m，d=3.699 m和d=10 m的情況下，導體球間電場和電勢的二維分布圖，如圖3(a)、(b)、(c)所示，相應的電勢三維分布圖如圖4(a)、(b)、(c)所示.

圖3 導體球間電場和電勢的二維分布圖

圖4 導體球間電勢的三維分布圖

由圖2可知，當兩帶電導體球間距d=3.2 m時，其相互作用力表現(xiàn)為引力，d=10 m時，其相互作用力表現(xiàn)為斥力，而d=3.699 m是引力和斥力的分界點距離.而在圖3中，抽象的相互作用力以電場和電勢的二維分布圖的形式呈現(xiàn)，一目了然，圖4電勢的三維分布圖更是能夠幫助學生從立體的角度感受數(shù)值的大小.兩帶電導體球的問題有非常廣泛的現(xiàn)實意義，借助這一工具能更方便地進行深入研究.

編程不熟練也并非障礙，僅需在PDE工具箱中進行參數(shù)的設置等步驟就可以直觀、快速地看到數(shù)值計算輸出的形象結果，讓原本需要很高的理論基礎和編程技巧的問題集成在一個簡潔的圖形用戶界面上就得以解決.網(wǎng)格加密和輸出圖形前檢測網(wǎng)格質(zhì)量的處理都有效地提高了計算精度，實現(xiàn)了誤差可控[6].這些都充分體現(xiàn)了PDE工具箱使用門檻低、設置人性化的優(yōu)勢.如此高的方便程度、靈活程度和計算精度使學生能夠從繁瑣的求解步驟中解脫出來而專注于物理問題本身.

3 Matlab在模擬電磁波方面的應用

3.1 Matlab模擬均勻平面電磁波的傳播

電磁波是時變電磁場相互激發(fā)的結果，它有兩個振動矢量，這一點與一般的機械波有所不同.由于電磁波非常抽象，導致學生學習和理解電磁波有很大的障礙，因此用Matlab模擬電磁波十分必要.

均勻平面波是最基本最重要的一種電磁波，其瞬時值表達式為

E=eyEmcos(ωt-kx+φ0)

然而單從電場E和磁場H的表達式是無法想象出電磁波到底是如何傳播的，下面利用Matlab進行模擬，作出均勻平面電磁波在線性、均勻、各向同性的無限大理想介質(zhì)中的傳播動態(tài)圖，選取動畫中的幾個時刻截圖呈現(xiàn)，如圖5所示.

圖5 不同時刻均勻平面電磁波的傳播

由圖5可知，電場和磁場的振動方向都垂直于電磁波的傳播方向，即在波傳播的方向上沒有電場或磁場分量，因此電磁波是橫波.結合動畫重新觀察均勻平面電磁波瞬時值的表達式，就能更好地理解，電磁波的傳播是動態(tài)的，它每時每刻的狀態(tài)和位置都會發(fā)生變化，但E和H以及波矢三者相互垂直.通過對編程的設計還可以使動畫播放過程中觀察角度每隔一段時間自動進行調(diào)整，從全方位多角度對均勻平面電磁波的傳播進行觀察.對于電磁波的傳播問題，若僅限于二維平面的顯示，將不利于學生建立空間概念，而借助Matlab制作的動畫的呈現(xiàn)就能很好地幫助學生從立體空間的視角清晰地掌握整個傳播過程的規(guī)律.可見,Matlab編程能很直觀地幫助學生理解原本很抽象的知識和規(guī)律，并在頭腦中建立起模型，這能夠在很大程度上激發(fā)學生學習電動力學的興趣，并極大地豐富教學內(nèi)容.

3.2Matlab模擬電偶極輻射場

電偶極輻射問題是電動力學的教學難點之一，對輻射場的模擬有利于學生對該部分知識的理解和掌握.

在遠離電偶極子的遠區(qū)場，電磁場可近似表示為

電偶極輻射的總輻射功率可表示為

根據(jù)表達式通過Matlab對電偶極輻射場進行動態(tài)模擬，下面選取幾個時刻截圖呈現(xiàn)，如圖6所示.

圖6 不同角度的電偶極輻射場圖

圖6中的(a)、(b)、(c)、(d)從不同的角度展示了電偶極輻射的過程.可以看出，輻射是有方向性的，在θ=90°的平面上輻射最強.這些模擬計算結果給學生留下了感性認識，加深了印象，有助于對抽象的物理公式的理解.

4 結束語

電動力學是物理專業(yè)一門重要的理論課，但由于研究對象為看不見摸不著的電磁場，因此課程較為抽象；采用的研究工具為場論分析，對數(shù)學基礎要求較高，造成課程繁難.通過引入Matlab，針對物理問題進行編程模擬作圖，可以借助Matlab的可視化功能在一定程度上實現(xiàn)將物理知識從單一的公式呈現(xiàn)到圖片、動畫相結合的呈現(xiàn)方式；化抽象為具體，加深學習印象，幫助學生跨越理解和想象的障礙，深入挖掘物理問題的本質(zhì)，促進學生物理思維的形成，改善授課效果.同時也可以幫助學生將理論知識、實驗仿真和實踐應用有機結合，提高學生的綜合素質(zhì).

1 趙曉峰．基于MATLAB的電磁輻射數(shù)據(jù)分析與仿真：[學位論文].上海：復旦大學，2008

2 郭碩鴻．電動力學(第3版)．北京：高等教育出版社，2008

3 楊慕賢．兩個帶電導體球問題的近似解．大學物理，1983(7)：27～30

4 趙先林，李金銘．關于兩個帶電導體球相互作用力問題的討論．河南教育學院學報，2000，9(4)：12～15

5 王禮祥．導體雙球靜電問題的嚴格解．西南民族學院學報，1994，20(2)：133～139

6 何紅雨．電磁場數(shù)值計算法與MATLAB實現(xiàn)．武漢：華中科技大學出版社，2004．45～59

ResearchontheApplicationofMATLABintheTeachingofElectrodynamics

LiJiaweiWangJieZhangZhongyueWangHengtong

(SchoolofPhysicsandInformationTechnology,ShaanxiNormalUniversity,Xi′an,Shaanxi710119)

The research aims to study some important typical problems from two aspects of electrostatic field and electromagnetic wave in electrodynamics learning, analyze the nature of physical formula or physical problems based on intuitive images or animation combined with Matlab programming, which means the transition from the abstract to the concrete. At the same time, the advantage of the application of Matlab in electrodynamics teaching can be highlighted. The research will help students to study and understand related concepts and regulation of electrodynamics in a good way, as well as provide ideas and methods to improve the teaching effect of electrodynam-

ics course.

Matlab；electrodynamics；simulated calculation

李佳偉(1980- )，男，博士，副教授，研究方向為高溫超導.

2016-11-02)