陳 星

(無(wú)錫市第一中學(xué) 江蘇 無(wú)錫 214031)

論Mathematica在高中物理教學(xué)中的應(yīng)用原則*

陳 星

(無(wú)錫市第一中學(xué) 江蘇 無(wú)錫 214031)

通過(guò)實(shí)例展示了科研用數(shù)學(xué)軟件Mathematica在高中物理教學(xué)中輔助處理較難數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)帶來(lái)的巨大便利.具體探討了在解方程、難題的結(jié)果演示、數(shù)據(jù)擬合、畫(huà)圖等方面的應(yīng)用.

Mathematica 高中物理 應(yīng)用原則

高中物理教學(xué)經(jīng)常會(huì)遇到復(fù)雜或者棘手的數(shù)學(xué)問(wèn)題，而當(dāng)學(xué)生基本能力訓(xùn)練已經(jīng)滿足，但通過(guò)現(xiàn)已掌握的技術(shù)和能力很難做出時(shí)，若適時(shí)借助數(shù)學(xué)軟件Mathematica[1,2]則可以很快捷而形象地將該問(wèn)題的解決方案展示出來(lái)，為教師的教和學(xué)生的學(xué)都大大節(jié)約了時(shí)間，又能很直觀地給學(xué)生留下深刻印象.通過(guò)實(shí)踐研究，高中物理教學(xué)中以下幾種情況比較適合應(yīng)用Mathematica.

1 解方程

高中階段學(xué)生應(yīng)掌握的基本解方程組能力包括3～4個(gè)簡(jiǎn)單方程組，若超過(guò)4個(gè)或者較復(fù)雜的方程組則其實(shí)已經(jīng)超出基本能力的要求，過(guò)多糾結(jié)于此對(duì)物理教學(xué)反而是一種拖累，這時(shí)可以考慮使用Mathematica.除方程組外，有時(shí)可能還會(huì)遇到初等數(shù)學(xué)根本就解不出來(lái)的簡(jiǎn)單方程，這時(shí)也可借助Mathematica.

1.1 多方程組方程

如圖1所示，輪軸重量為G0，半徑為R，輪軸上鼓輪半徑為r，輪軸靠在水平面和豎直墻壁構(gòu)成的墻角處.在鼓輪上纏繞輕質(zhì)繩，經(jīng)過(guò)光滑的定滑輪在繩的另一端系一重物，輪軸與墻和水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ，拉輪軸的繩與豎直方向夾角θ已知.求平衡時(shí)重物的最大重力Gx.

通過(guò)受力分析(設(shè)地面支持力為N1，摩擦力為f1，墻面支持力為N2，摩擦力為f2)，對(duì)本題可列出力平衡方程和力矩平衡方程

圖1 平衡時(shí)的輪軸連接裝置

手工求解以上方程組非常繁雜，但在Mathem-

atica中只需鍵入以下程序：

Solve[{Gx*Sin[θ]+N2-f1==0,Gx*Cos[θ]+N1+f2-G0==0,Gx*r-(f1+f2)R==0,f1-μ*N1==0,f2-μ*N2==0},{Gx,N1,N2,f1,f2}]

運(yùn)行，可立即得到：

對(duì)該結(jié)果化簡(jiǎn)：

1.2 圖解法

有一個(gè)彈簧振子質(zhì)量為m，放在光滑水平面上如圖2所示，平衡位置為O點(diǎn)，其圓頻率為0.5π/s.另一個(gè)質(zhì)量也是m的滑塊由h=0.20m高的A點(diǎn)由靜止滑下，質(zhì)點(diǎn)滑到曲面底部B需時(shí)tAB=1.5s，OB間距l(xiāng)=6.0m.現(xiàn)將彈簧振子向左壓縮到x0=2.0m處時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，兩個(gè)物體同時(shí)釋放，求：釋放后多久二者相碰.(不計(jì)摩擦)

圖2 一個(gè)物塊釋放撞擊另一個(gè)連接彈簧的物塊

對(duì)物塊1由簡(jiǎn)諧振動(dòng)，對(duì)物塊2考慮動(dòng)能定理并從B開(kāi)始勻速運(yùn)動(dòng)有

2(t-1.5)-2cos0.5πt=6

該方程形式雖簡(jiǎn)單，但憑借高中數(shù)學(xué)知識(shí)，手工求解此方程難度很大，甚至是不可能.為此，可以把該方程拆分成兩部分

在Mahtmatica中畫(huà)出這兩個(gè)獨(dú)立的x-t圖如圖3：

Plot[{2Cos[1.57t],2t-9},{t,0,6}]

則二者交點(diǎn)就應(yīng)為方程的解.為此，運(yùn)行：

FindRoot[2Cos[1.57t]==2t-9,{t,5}]

立即得到上面方程的解：

{t→4.80507}

圖3 x1-t和x2-t的函數(shù)圖像

2 難題的結(jié)果演示

有些問(wèn)題求解完成后，其結(jié)論函數(shù)很復(fù)雜，若要求探究其結(jié)論值隨各個(gè)變量的變化關(guān)系，或者要求找到結(jié)論函數(shù)極值及其位置，但初等函數(shù)知識(shí)很難求出時(shí)可以使用Mahematica.

2.1 復(fù)雜結(jié)論函數(shù)三維圖展示

承接1.2中的例子，若物塊1質(zhì)量為M，彈簧勁度系數(shù)為κ，試探求物塊1從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)算起的位移x隨時(shí)間t和物塊2質(zhì)量m之間的變化情況.

為方便起見(jiàn)，取M=50 kg，κ=50 N/m，g=10 m/s2.碰撞后，對(duì)M和m組成的整體由簡(jiǎn)諧振動(dòng)有

顯然，單純的分離變量法很難看出x隨m的變化關(guān)系，且t不同時(shí)，x隨m的變化情況也會(huì)受影響，為此可以畫(huà)出x隨t和m變化的三維圖像如圖4所示：

圖4 位移隨時(shí)間和質(zhì)量的變化

由圖可看出x隨t做標(biāo)準(zhǔn)的正弦曲線變化，而當(dāng)t相同時(shí)，x隨m也做一定的波動(dòng)性變化，且t不同時(shí)，這個(gè)波動(dòng)的“周期性”不同.可想而知，若不借助三維圖，是很難看出來(lái)的.此外，為方便看出變化關(guān)系，還可以從不同角度看這個(gè)三維圖，只需鍵入以下命令：Show[%,ViewPoint→{1,0,1.2}，就可從該圖的右上方如圖5所示清晰看出x隨m的波動(dòng)性變化.

2.2 求函數(shù)極值

一條輕質(zhì)繩子長(zhǎng)度為L(zhǎng)，一端固定在O點(diǎn)，另一端栓一個(gè)質(zhì)量為m的小球，拉起小球使輕繩處于水平，然后無(wú)初速度釋放小球，如圖6所示，則小球所受重力的瞬時(shí)功率在何處取得最大值，最大值為多少？

圖6 靜止釋放的小球

對(duì)小球由動(dòng)能定理和瞬時(shí)功率公式，有

即需要探求x-x3的極值.這種函數(shù)極值需要學(xué)過(guò)微積分后求導(dǎo)獲得，高中課堂上直接求，顯然不適宜.為此，借助Mathematica輸入：f[x_]=x-x3；Plot[f[x],{x,-2,2}]先得到該函數(shù)曲線如圖7所示.

圖7 x-x3函數(shù)圖像

3 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的擬合與處理

描點(diǎn)畫(huà)圖是學(xué)生高中階段應(yīng)掌握的基本實(shí)驗(yàn)技能.但若要求使用所測(cè)數(shù)據(jù)精確求解物理量或者擬合曲線方程時(shí)，應(yīng)用手工繪制的圖線則顯然會(huì)因人而異且誤差很大.這時(shí)，借助Mathematica則可以得到非常精確而一致的結(jié)果.

在“測(cè)電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻”的實(shí)驗(yàn)中，獲得的一組電流、電壓值如表1所示.

表1 測(cè)電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻實(shí)驗(yàn)的一組電壓、電流值

要求根據(jù)所得數(shù)據(jù)較精確地求出電壓隨電流的變化曲線方程和電源電動(dòng)勢(shì)及內(nèi)阻.在Mathemetica中先建立數(shù)據(jù)庫(kù)：

S={{0.12,1.37},{0.20,1.29},{0.31,1.22},

{0.4,1.19},{0.5,1.12},{0.57,1.05}}

對(duì)數(shù)據(jù)擬合：nf=Fit[S,{1,x},x]，馬上就可得到精確擬合函數(shù)：1.43682-0.65758x.即電源電動(dòng)勢(shì)為1.44 V，內(nèi)阻為0.66 Ω.對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行描點(diǎn)，并把擬合函數(shù)畫(huà)在同一副坐標(biāo)中：tu1=ListPlot[S,PlotStyle→{PointSize[0.02]}];tu2=Plot[nf,{x,0,0.60}];Show[tu1,tu2],我們就可以在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)得到數(shù)據(jù)點(diǎn)和擬合函數(shù)圖如圖8所示.

圖8 測(cè)電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合

4 不易理論手繪的物理圖景

有些物理圖景很重要，但其方程形式卻較為復(fù)雜，手工繪制幾乎無(wú)法實(shí)現(xiàn)時(shí)，按照以往，教師只能以結(jié)論形式直接告訴學(xué)生，現(xiàn)在可以使用Mathematica在現(xiàn)場(chǎng)快速地繪制出來(lái).

4.1 參數(shù)方程圖線

一個(gè)剛性圓輪在直線軌道上做純滾動(dòng)，圓輪邊緣上一點(diǎn)所經(jīng)歷的軌跡稱為滾線(又稱旋輪線、擺線).設(shè)圓輪半徑R=0.5 m，向前勻速運(yùn)動(dòng)的速度v0=2 m/s，試探求該點(diǎn)的軌跡.

對(duì)該點(diǎn)由圓周運(yùn)動(dòng)和勻速直線運(yùn)動(dòng)不難列出其水平和豎直方向的位移隨時(shí)間變化的參數(shù)方程

若力圖整理出y隨x的變化函數(shù)再繪圖幾乎是不可能的.這時(shí)就可借助Mathematica對(duì)x，y關(guān)于t進(jìn)行參數(shù)方程繪圖：

v0=2;R=0.5;

運(yùn)行，即得擺線圖像如圖9所示.

圖9 擺線軌跡

4.2 不等量同種電荷電場(chǎng)線

教材中的電場(chǎng)線是作為實(shí)驗(yàn)?zāi)M后直接給出的.但事實(shí)上是可以從理論上繪出的.尤其是在處理非對(duì)稱情形下的電場(chǎng)線時(shí)，重新做實(shí)驗(yàn)顯然不現(xiàn)實(shí)，這時(shí)，又可借助Mathematica.例如，要求繪制兩個(gè)不等量同種點(diǎn)電荷電場(chǎng)線(設(shè)其中一個(gè)帶電荷量是另外一個(gè)的3倍).由高斯定理并結(jié)合點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)公式，可以整理出多個(gè)共線點(diǎn)電荷的電場(chǎng)線方程為

把兩個(gè)點(diǎn)電荷代入可得兩點(diǎn)電荷空間電場(chǎng)線方程為

為定量畫(huà)圖，取q1=1，q2=3，a=1，可在Mathematica中輸入：

ContourPlot[f,{x,-3,3},{y,-3,3},

ContourShading→None,

Contours→25,PlotPoints→100]

馬上就可得到不等量同種電荷電場(chǎng)線如圖10所示.

圖10 不等量同種電荷的電場(chǎng)線

綜上，憑借強(qiáng)大的符號(hào)、運(yùn)算、繪圖能力，Mathematica在高中物理教學(xué)中有著巨大的輔助潛力.在處理超出學(xué)生求解能力、又需要形象快捷展示物理圖景的問(wèn)題時(shí)都可以考慮使用.只要在此原則內(nèi)，除所使用的例子外，在平時(shí)教學(xué)中只要肯動(dòng)腦筋，一定能夠挖掘出更多的場(chǎng)景配合以Mathematica的使用，為學(xué)習(xí)和教學(xué)帶來(lái)更多的便利.

1 于鳳梅, 王克強(qiáng), 張麟. 運(yùn)用Mathematica軟件輔助大學(xué)物理教學(xué). 現(xiàn)代教育技術(shù)與裝備, 2011(15): 29～31

2 李寅杰, 徐慧. Mathematica軟件在物理教學(xué)中的應(yīng)用——以黑體輻射有關(guān)公式為例. 物理通報(bào), 2015(12): 79～81

*中國(guó)教育學(xué)會(huì)教育科研規(guī)劃課題“基于課程基地的CAP物理力學(xué)課程的教學(xué)創(chuàng)新研究”，項(xiàng)目編號(hào)：Z032016071

陳星(1982- )，男，中教一級(jí)，主要從事高中物理、物理競(jìng)賽、大學(xué)先修課等教學(xué).

2016-11-23)