郭雪鵬

(臨泉第一中學(xué) 安徽 阜陽(yáng) 236400)

考慮空氣阻力與速度平方成正比的斜拋運(yùn)動(dòng)

郭雪鵬

(臨泉第一中學(xué) 安徽 阜陽(yáng) 236400)

物體在空氣中運(yùn)動(dòng)，不可避免地受到空氣阻力，有時(shí)空氣阻力的作用必須加以考慮，例如炮彈射擊.物體速度較大，阻力f∝v2.考慮阻力f=-kv2，建立運(yùn)動(dòng)模型，運(yùn)用MATLAB軟件數(shù)值求解，研究物體的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)、軌跡、射程和射高，并與無(wú)空氣阻力的斜拋運(yùn)動(dòng)對(duì)比.

斜拋運(yùn)動(dòng) 阻力 軌跡 射高 射程 Matlab 數(shù)值計(jì)算

1 前言

物體做斜拋運(yùn)動(dòng)，無(wú)空氣阻力，物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律容易求解得到.實(shí)際上，物體總是要受到空氣阻力，有時(shí)空氣阻力的作用必須加以考慮，例如炮彈的飛行軌跡.研究表明，速度較小，空氣阻力正比于速度，f=-kv；速度較大，阻力正比于速度的二次方，f=-kv2.速度繼續(xù)增加，阻力與速度的更高次方有關(guān).本文考慮空氣阻力f=-kv2，研究物體的運(yùn)動(dòng)性質(zhì).

2 建立模型

考慮球形物體例如炮彈飛出后的軌跡，炮彈的速度一般在1 000 m/s左右，此時(shí)空氣阻力必須加以考慮.球形物體半徑為r，質(zhì)量為m.先來(lái)考慮阻力的特點(diǎn).物體在流體中運(yùn)動(dòng)，阻力是比較復(fù)雜的，與多種因素有關(guān).這里并不需要對(duì)阻力加以詳細(xì)的考察，只需要知道阻力的規(guī)律即可.流體力學(xué)中一個(gè)重要參數(shù)為雷諾數(shù)Re，雷諾數(shù)較小，空氣阻力f=6πηrv，η為流體的粘性系數(shù)，對(duì)于空氣，溫度為20 ℃，η=1.82×10-5Pa·s.當(dāng)雷諾數(shù)Re≈103～105，阻力f=0.2πρr2v2[1]，ρ為流體密度.空氣密度ρ=1.205 kg/m3(溫度為20 ℃，一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓)[2].

取空氣阻力f=-kv2，先估算k的大小，下文中需要數(shù)值計(jì)算求解斜拋運(yùn)動(dòng)，了解k的大小是很有必要的.由阻力表達(dá)式，可知k=0.2πρr2，球體半徑取0.1 m，k的數(shù)量級(jí)約為10-3.

球體從地面斜向上飛出，初速度為v0，與水平方向夾角為θ.t時(shí)刻物體的速度為v，與水平方向夾角為α，水平分速度為vx，豎直分速度為vy，受力如圖 1所示.

圖1 受力示意圖

將空氣阻力沿x方向和y方向分解，根據(jù)牛頓第二定律

(1)

(2)

(3)

(4)

初始條件為

(5)

求出式(3)和(4)的解，物體的運(yùn)動(dòng)情況便能完全確定.困難之處恰恰在于求解方程，方程不一定存在解析解.物理學(xué)中很多方程很難求出解析解，甚至于根本就沒(méi)有解析解.在沒(méi)有解析解的情況下，可以利用Matlab軟件數(shù)值求解.Matlab軟件是一款功能強(qiáng)大的科學(xué)計(jì)算軟件，在科學(xué)研究中有著廣泛的應(yīng)用.式(3)和(4)可以利用Matlab軟件數(shù)值求解.

3 數(shù)值求解與結(jié)果分析

3.1 編寫(xiě)程序

(6)

function x=xiepao(t,x)

global A %設(shè)置全局變量A=k/m

global g %設(shè)置全局變量重力加速度

x=[x(2);-A*sqrt(x(2)^2+x(4)^2)*

x(2);x(4);-A*sqrt(x(2)^2+x(4)^2)*x(4)-

g];

求解時(shí)間為從拋出到物體落回地面.物體落到地面的時(shí)間在求解前并不知道，為解決這一問(wèn)題，可以利用Matlab的事件(events)功能.使用方法可參閱參考文獻(xiàn)[3]或Matlab的幫助命令.程序代碼為：

function

[value,isterminal,direction]=events(t,x)

value=x(3);

isterminal=1;

direction=-1;

求解主程序?yàn)椋?/p>

clear;clc

global A

A=input(′請(qǐng)輸入A=′);%從鍵盤(pán)輸入A值

global g;g=10;%重力加速度取10 m/s2

theta=input(′請(qǐng)輸入初速度方向與水平方向夾角θ=′);

v0=input(′請(qǐng)輸入初速度v0=′);

t1=2*v0*sin(theta*pi/180)/g% 不考慮阻力的落地時(shí)間

H1=(v0*sin(theta*pi/180)).^2/(2*g)% 不考慮阻力的射高

X1=v0*cos(theta*pi/180)*t1 %不考慮阻力的射程

x0=[0;v0*cos(theta*pi/180);0;v0*sin(t

heta*pi/180)];%初始條件

opts=odeset(′events′,@events);

[t,x,tfinal]=ode45(@xiepao,[0,Inf],x0,opts);

tfinal%輸出落地時(shí)間

H=max(x(:,3)) %輸出有阻力的射高

X=max(x(:,1)) %輸出有阻力射程

figure (1)

subplot(3,2,1)

xx=v0*cos(theta*pi/180).*t;yy=v0*

sin(theta*pi/180)*t-0.5*g*t.^2;

plot(x(:,1),x(:,3),′.-′,xx,yy,′*-′);運(yùn)動(dòng)軌跡

legend(′.有阻力′,′*無(wú)阻力′)

xlabel(′itx/m′);ylabel(′ity/m′);grid on

subplot(3,2,3)

VX=v0*cos(theta*pi/180);VY=v0*sin

(theta*pi/180)-g*t;

V=sqrt(VX.^2+VY.^2);%無(wú)阻力速度大小

v=sqrt(x(:,2).^2+x(:,4).^2);%有阻力合速度大小

plot(t,v,′.-′,t,V,′*-′)%繪制速率時(shí)間圖像

legend(′有阻力′,′無(wú)阻力′)

xlabel(′t/s′);ylabel(′v/(m/s)′);grid on

subplot(3,2,4)

alpha=acosd(x(:,2)./v);%有阻力速度方向與水平方向夾角

alpha1=acosd(VX./V);% 無(wú)阻力速度方向與水平方向夾角

plot(t,alpha,′.-′,t,alpha1,′*-′)

legend(′有阻力′,′無(wú)阻力′)

xlabel(′t/s′);ylabel(′italpha′);grid on

subplot(3,2,5)

plot(t,x(:,2),′.-′,t,VX,′*-′)%水平分速度

legend(′有阻力′,′無(wú)阻力′)

xlabel(′itt/s′);ylabel(′itv_x(m/s)′);grid on

subplot(3,2,6)

plot(t,x(:,4),′.-′,t,VY,′*-′)%豎直分速度

legend(′有阻力′,′無(wú)阻力′)

xlabel(′itt/s′);ylabel(′itv_y(m/s)′);grid on

3.2 數(shù)值求解和結(jié)果分析

設(shè)球體半徑為r，密度為ρ0，那么

(7)

假設(shè)球體的半徑約為0.1 m，鐵[4]的密度約為7.86×103kg/m3，A的數(shù)量級(jí)約為10-4.取A=0.001，初速度v0=300 m/s，初速度方向與水平方向夾角θ=60°.求解結(jié)果如表 1所示.

表1 有阻力和無(wú)阻力拋體運(yùn)動(dòng)對(duì)比

結(jié)論：和不考慮空氣阻力相比較，考慮空氣阻力后，拋射體落地時(shí)間變小，射高降低，射程變短.

圖2所示為物體的軌跡，無(wú)空氣阻力軌跡為拋

物線；考慮空氣阻力，物體的軌跡不再是拋物線.

圖2 軌跡

圖3為速率-時(shí)間圖像.其共同特點(diǎn)是速率均先減小后增大，有空氣阻力時(shí)，速率減小得更快，物體落回到地面，速率小于拋出時(shí)的初速度，物體動(dòng)能減??；不考慮空氣阻力，落回到地面時(shí)的速率等于初始速率，物體動(dòng)能不變.

圖3 速率

圖 4為物體速度方向與水平方向夾角隨時(shí)間變化圖像.無(wú)阻力時(shí)的圖像求解時(shí)間沒(méi)有到物體落回到地面.無(wú)阻力時(shí)，物體上升或下降到同一高度時(shí)，速度方向與水平方向夾角相等，圖像關(guān)于物體上升到最高點(diǎn)的時(shí)刻對(duì)稱.考慮空氣阻力后，這種對(duì)稱性遭到破壞.

圖4 速度方向與水平方向夾角

圖5(a)和(b)分別為物體的水平分速度和豎直分速度隨時(shí)間變化圖像.無(wú)空氣阻力，水平分速度不變；有空氣阻力，水平分速度逐漸減小，從圖像可以看出，水平分加速度逐漸減小，在水平方向物體做加速度減小的減速運(yùn)動(dòng)，落到地面，水平分速度最小.無(wú)空氣阻力，豎直分速度圖像是一條傾斜的直線，斜率代表重力加速度；考慮阻力，圖像是一條曲線，豎直分加速度隨時(shí)間改變.

圖5 水平分速度和豎直分速度

上面就一個(gè)具體例子對(duì)比分析有空氣阻力和無(wú)空氣阻力物體的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，感興趣的讀者可以利用上述程序輸入不同數(shù)值實(shí)驗(yàn).

4 結(jié)束語(yǔ)

最后對(duì)本文的內(nèi)容做一個(gè)小結(jié).本文研究考慮空氣阻力f=-kv2后拋射體的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，利用Matlab軟件數(shù)值求解物體的射高、射程，描繪物體的軌跡以及速度-時(shí)間圖像，并與無(wú)空氣阻力的斜拋運(yùn)動(dòng)進(jìn)行對(duì)比.高中階段，學(xué)生學(xué)習(xí)了大量的理想模

型，比如自由落體運(yùn)動(dòng)、平拋運(yùn)動(dòng)、斜拋運(yùn)動(dòng)、勻速圓周運(yùn)動(dòng)…….實(shí)際上，這些理想運(yùn)動(dòng)都是實(shí)際運(yùn)動(dòng)的近似，忽略掉了很多因素.由于此種原因，學(xué)生普遍有這種感覺(jué)：物理離實(shí)際生活很遙遠(yuǎn)，學(xué)物理僅僅是做物理練習(xí)題.為避免這種認(rèn)識(shí)的產(chǎn)生，在教學(xué)中有必要向?qū)W生展示一些真實(shí)的情境.根據(jù)實(shí)際情境，經(jīng)歷物理學(xué)的研究方法，提出問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型，對(duì)模型求解，實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證.在教學(xué)中，適當(dāng)增加這些活動(dòng)，對(duì)提高學(xué)生利用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力都有很大的幫助，也會(huì)增加學(xué)生學(xué)習(xí)物理的熱情，這種探索活動(dòng)值得在教學(xué)中嘗試.

1 趙凱華，羅蔚茵.新概念物理教程 力學(xué)(第2版).北京：高等教育出版社，2004.237～2392http://baike.baidu.com/link?url=L6VJVeCuRFwUAD1e6KVM1AZYVEZnrNa_AE2ugUYOqXFhZ1DwzFLlv3BVkG_hlx7aD0PKB8jqSrJ9PBHekhdmRF0VVW_n80xBkH52QHBlOj6lfcXcbJerRWvHYcDO7Qqt[2016-12- 25]

3 彭芳麟.計(jì)算物理基礎(chǔ).北京：高等教育出版社，2010.216～220

4http://baike.baidu.com/link?url=c3deDfdwx6YNVfRTxIXLj4znsWjA9Xy9SdA0ci-lhYcUMJ0lAWjG1Io4nYlF7nC3RmfZnoAV4lK_8FX_deSB5_[2016-12-25]

TheObliqueProjectileMotionConsideringtheAirResistanceBeingProportionaltotheVelocitySquare

GuoXuepeng

(LinQuanNo.1SeniorHighSchool,Fuyang,Anhui236400)

When moving in the air,objects experience air resistance inevitably. Sometimes the force of air resistance must be considered,for example, when shells are shot, the speed is relatively high and air resistance is. Considering air resistance, we can build motion model and apply Matlab software to seek the numerical computation. In this article, I will study the motion essence, trajectory, range and altitude of objects, and compare it with oblique motion without air resistance.

oblique projectile motion；air resistance；trajectory；range；Matlab；numerical computation

郭雪鵬(1991- )，男，中教二級(jí)，從事高中物理教學(xué)工作.

2016-12-25)