方案設(shè)計題的分類解答

責任編輯：王二喜

解答方案設(shè)計型問題需要根據(jù)問題所提供的信息，運用學過的技能和方法進行簡單的設(shè)計與操作，經(jīng)過分析、計算、證明等，確定最佳方案.方案設(shè)計題有以下幾種類型.

一、利用方程設(shè)計方案

例1（2016年牡丹江卷）某綠色食品有限公司購進A和B兩種蔬菜，B種蔬菜每噸的進價比A種蔬菜每噸的進價多0.5萬元，經(jīng)計算用4.5萬元購進A種蔬菜的噸數(shù)與用6萬元購進B種蔬菜的噸數(shù)相同.請解答下列問題：

（1）求A，B兩種蔬菜每噸的進價；

（2）該公司計劃用14萬元同時購進A，B兩種蔬菜，若A種蔬菜以每噸2萬元的價格出售，B種蔬菜以每噸3萬元的價格出售，且全部售出.請求出所獲利潤W（萬元）與購買A種蔬菜的資金a（萬元）之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）在（2）的條件下，要求A種蔬菜的噸數(shù)不低于B種蔬菜的噸數(shù)，若公司欲將（2）中的最大利潤全部用于購買甲、乙兩種型號的電腦贈給某中學，甲種電腦每臺2100元，乙種電腦每臺2700元.請直接寫出有幾種購買電腦的方案．

解：（1）設(shè)A種蔬菜每噸的進價為x萬元，則B種蔬菜每噸的進價為（x+0.5）萬元.

解得x=1.5，

經(jīng)檢驗，x=1.5是原方程的解，

∴x+0.5=2，

∴A種蔬菜每噸的進價為1.5萬元，B種蔬菜每噸的進價為2萬元.

∴當a=6時，W有最大值，最大值為-1+7=6（萬元）.

設(shè)購買甲種電腦c臺，乙種電腦b臺，則2100c+2700b=60 000，

∵c和b均為正整數(shù)，

∴c=26，b=2；c=17，b=9；c=8，b=16.

有三種購買方案．

點評：利用方程設(shè)計方案需要建立方程，確定方程的解，進而由整數(shù)的意義并結(jié)合題意，確定方案.

二、利用不等式設(shè)計方案

例2（2016年恩施卷）在清江河污水網(wǎng)管改造建設(shè)中，需要確保在汛期來臨前將建設(shè)過程中產(chǎn)生的渣土清運完畢，每天至少需要清運渣土12 720m3.施工方準備每天租用大、小兩種運輸車共80輛，已知每輛大車每天運送渣土200m3，每輛小車每天運送渣土120m3，大車、小車每天每輛租車費用分別為1200元、900元，且要求每天租車的總費用不超過85 300元.請解答下列問題：

（1）施工方共有多少種租車方案？

（2）哪種租車方案費用最低，最低費用是多少？

解：（1）設(shè)施工方租用大車x輛，小車(80-x)輛.

∵x為整數(shù)，

∴x=39，40，41，42，43，44.

施工方共有6種租車方案：①大車39輛，小車41輛；②大車40輛，小車40輛；③大車41輛，小車39輛；④大車42輛，小車38輛；⑤大車43輛，小車37輛；⑥大車44輛，小車36輛.

（2）設(shè)租車費用為y.由已知得，

y=1200x+900（80-x）=72000+300x，

∴當x最小時,y最小,即方案①租大車39輛，小車41輛的費用最低.

最低費用為39×1200+41×900＝83 700（元）.

點評：解不等式的方案設(shè)計問題，一般可轉(zhuǎn)化為求不等式組的整數(shù)解，有時需要從表格中獲取相關(guān)信息.要認真審題，理解各數(shù)量之間的關(guān)系.

三、利用函數(shù)設(shè)計方案

例3（2016年鹽城卷）某地擬召開一場安全級別較高的會議，預估將有4000至7000人參加會議.為了確保會議的安全，會議組委會決定對每位入場人員進行安全檢查．現(xiàn)有門式安檢儀和手持安檢儀兩種：門式安檢儀每臺3000元，需安檢員2名，每分鐘可通過10人；手持安檢儀每臺500元，需安檢員1名，每分鐘可通過2人.該會議中心共有6個不同的入口，每個入口都有5條通道可供使用，每條通道只可安放一臺門式安檢儀或一臺手持安檢儀.每位安檢員的勞務(wù)費用均為200元.（安檢總費用包括安檢設(shè)備費用和安檢員的勞務(wù)費用.）

與會人員從上午9∶00開始入場，到上午9∶30結(jié)束入場，6個入口都采用相同的安檢方案，所有人員須提前到達并根據(jù)會議通知從相應(yīng)入口進入.

（1）如果每個入口處，只有2個通道安放門式安檢儀，而其余3個通道均為手持安檢儀.在這個安檢方案下，請問：在規(guī)定時間內(nèi)可通過多少名人員？安檢總費用為多少元？

（2）請你設(shè)計一個安檢方案，確保安檢工作的正常進行，同時使得安檢總費用盡可能少.

解：（1）可通過人數(shù)：（2×10+3×2）×30×6=4680（人）．

一個入口的安檢費用：2×3000+3×500+（2×2+3）×200=8900（元），

總安檢費用：8900×6=53400（元）.

（2）設(shè)每個入口處安放x臺門式安檢儀，（5-x）臺手持安檢儀，通過的總?cè)藬?shù)為y，總安檢費用為w，則有

y＝[x×10+（5-x）×2]×30×6=1440x+1800，

由于可能有4000至7000人參加會議，

又∵x≤5，∴x=4或5.

w=[x×3000+（5原x）×500+（2x+5原x）×200]×6＝16 200x+21 000，x越小，w越小，

∴當x=4時，即每個入口處安放4臺門式安檢儀，1臺手持安檢儀，安檢總費用較少.

另外，每個入口處安放4臺門式安檢儀，剩余1個通道封閉，可通過的總?cè)藬?shù)為4×10× 30×6=7200，∵7200＞7000，且費用更少，也滿足方案設(shè)計的需要.

綜上所述，安檢方案為：每個入口處安放4臺門式安檢儀，剩余的1個通道關(guān)閉.

評點：根據(jù)背景材料或圖表信息，確定相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，由函數(shù)的性質(zhì)并結(jié)合自變量的取值范圍求解.

四、利用圖形設(shè)計方案

例4（2015年義烏卷）某校規(guī)劃在一塊長AD為18m，寬AB為13m的長方形ABCD場地上，設(shè)計分別與AD，AB平行的橫向通道和縱向通道，其余部分鋪上草皮．

（1）如圖1，若設(shè)計三條通道，一條橫向，兩條縱向，且它們的寬度相等，其余六塊草坪相同，其中一塊草坪兩邊之比AM∶AN=8∶9.問通道的寬是多少？

（2）為了建造花壇，要修改（1）中的方案，如圖2，將三條通道改為兩條通道，縱向的寬度改為橫向?qū)挾鹊?倍，其余四塊草坪相同，且每一塊草坪均有一邊長為8m.在草坪上建造花壇，如圖3，在草坪RPCQ中，已知RE⊥PQ于點E，CF⊥PQ于點F援求花壇RECF的面積．

圖1

圖2

圖3

解：（1）設(shè)通道的寬為xm，AM=8ym.

答：通道的寬是1m.

（2）四塊相同草坪中的每一塊，有一條邊長為8m，

若RP=8，則AB＞13，不合題意，

∴RQ=8.

∴縱向通道的寬為2m，橫向通道的寬為1m，

∴RP=6.

∵RE⊥PQ，四邊形RPCQ是長方形，

同理可得QF=3.6，

即花壇RECF的面積為13.44m2.

點評：求出RP的長是解題關(guān)鍵.