關(guān)于一道多元抽象復合函數(shù)求導法的教學探究

陸生琪

【摘 要】本文針對一道多元抽象復合函數(shù)的求導過程中易出現(xiàn)的錯誤解法進行分析，采用鏈式求導法，隱函數(shù)方程求導法，利用全微分形式的不變性求微分法對該題進行了研究。

【關(guān)鍵詞】多元抽象函數(shù)；隱函數(shù)；微分；求導

多元抽象復合函數(shù)的求導是高等數(shù)學教學中的一個重點和難點。和一元函數(shù)相比，多元抽象復合函數(shù)由于中間變量和自變量多數(shù)情況下不止一個，往往采用鏈式法則求導。求導過程中需要注意各個變量之間的依賴關(guān)系及函數(shù)結(jié)構(gòu)，其關(guān)鍵在于分清函數(shù)自變量、中間變量之間的關(guān)系。而當多元抽象復合函數(shù)遇上隱函數(shù)時，學生在做題時就更加覺得困難且容易出錯。本文針對高等數(shù)學教材上的一道習題采用三種不同的解法，從而有效的引導學生對多元抽象復合函數(shù)求導更好的理解。

例：設(shè)y=f（x，t），而t=t（x，y）是由方程F（x，y，t）=0所確定的函數(shù)，其中f，F(xiàn)都具有一階連續(xù)偏導數(shù)，求。

這是高等數(shù)學中的一道習題，學生在做此題時經(jīng)常會出現(xiàn)如下共性的錯誤：

[錯解]由y=f（x，t），得到

又由F（x，y，t）=0，則有，于是

錯因分析：由題設(shè)我們知道t=t（x，y）是由方程F（x，y，t）=0所確定的x，y的函數(shù)，將其代入到y(tǒng)=f（x，t）中，則有y=f[x，t（x，y）]由這一方程又可以確定y是自變量x的一元函數(shù)y=y（x），于是t=t（x，y）=t[x，y（x）]，這說明t可以看作是以x，y為中間變量，以x為自變量的一元函數(shù)，上式錯解中的等式是不成立的，應(yīng)為，從中可以解出。本題學生給出的錯解究其原因是沒有仔細分清x，y，t三個變量之間的關(guān)系，三個變量是你中有我，我中有你，只有厘清他們的關(guān)系，才能給出正確解答。在教學的過程中，我們可以通過不同的角度方法來分析解決此類多元抽象函數(shù)的求導。下面我們從三個角度給出此題的正確解法。

[正確解答]方法1 首先分析變量間的函數(shù)關(guān)系，把t看作是由方程F（x，y，t）=0所確定的二元函數(shù)t=t（x，y），則有：

將t=t（x，y），代入函數(shù)y=f（x，t），得y=f[x，t（x，y）]，兩端同時對x求導得：

從中得到：

前面的錯解就是試圖用這種方法求解，但對函數(shù)y=f（x，t）=f[x，t（x，y）]的結(jié)構(gòu)沒有弄清楚而造成的。

方法2 由題可知，所給問題中有兩個方程、三個變量，則一般情況下由此方程組可以確定兩個一元函數(shù)，可將其中一個變量選作自變量，而另外兩個變量是它的函數(shù)。此題要求的是，于是自變量就已經(jīng)選定了x，則y，t都是x的一元函數(shù)。

由方程組F（x，y，t）=0，y=f（x，t），確定兩個一元函數(shù)y=y（x），t=t（x）將所給的兩個方的兩端對x求導，有：

解上面關(guān)于、的方程組可得：

方法3 利用全微分形式的不變性對兩方程求微分有：

即

解上面的關(guān)于dy、dt的方程組，由克萊姆法則可得：

即有：

【參考文獻】

[1]同濟大學數(shù)學系編.高等數(shù)學[M].下冊.北京：高等教育出版社，2013，4：89-90.

[2]薛志純.高等數(shù)學輔導[M].北京：科學技術(shù)文獻出版社，2001.9，214-215.

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