藍(lán)磊，楊墨

（清華大學(xué) 航天航空學(xué)院，北京 100084）

基于雙橢球模型的雙星系統(tǒng)穩(wěn)定性研究

藍(lán)磊*，楊墨

（清華大學(xué) 航天航空學(xué)院，北京 100084）

太陽(yáng)系中存在著數(shù)量眾多的雙星系統(tǒng)。研究雙星系統(tǒng)對(duì)于認(rèn)識(shí)小行星的起源和演化有著重要意義。本文以雙橢球模型，使用Joshua推導(dǎo)的四階精度相互勢(shì)，對(duì)雙互鎖雙星系統(tǒng)進(jìn)行研究。并通過(guò)KTC定理證明其穩(wěn)定性。研究結(jié)果驗(yàn)證了衛(wèi)星和主星存在相對(duì)滾轉(zhuǎn)角速度是雙互鎖系統(tǒng)的一種可能的繞轉(zhuǎn)方式。

雙星系統(tǒng)；雙互鎖；雙橢球；穩(wěn)定性

0 引 言

隨著深空探測(cè)技術(shù)的發(fā)展，對(duì)小行星的探索越來(lái)越引起人們的興趣。探測(cè)小行星對(duì)于研究宇宙的起源和太陽(yáng)系的演化有著重要的意義。在眾多近地小行星中，有15% ± 4%的小行星是以雙星環(huán)繞的模式存在的，在主帶中，則有2%的小行星以雙星模式存在，可見(jiàn)太陽(yáng)系中雙星系統(tǒng)數(shù)量眾多[1]。1993年，第一個(gè)雙星系統(tǒng)Ida-Dactyl被發(fā)現(xiàn)，馬上吸引了眾多科學(xué)家的關(guān)注[2]。其中，雙星系統(tǒng)1996 FG3被選定為歐洲航天局（ESA）MarcoPolo-R任務(wù)的探測(cè)目標(biāo)。

目前，人類發(fā)現(xiàn)的雙星系統(tǒng)可以被簡(jiǎn)單地分為三類，分別為一般系統(tǒng)、單自鎖系統(tǒng)和雙互鎖系統(tǒng)[6]。一般系統(tǒng)下，主星和衛(wèi)星在互相繞轉(zhuǎn)平面里的自旋角速度，與其相互環(huán)繞的角速度不存在明顯的倍數(shù)關(guān)系。單自鎖系統(tǒng)下，衛(wèi)星在繞轉(zhuǎn)平面里的自旋角速度與兩星相互環(huán)繞角速度一致，主星的自旋角速度則沒(méi)有這樣的關(guān)系，其結(jié)果類似于月球?qū)Φ厍虻逆i定。雙互鎖系統(tǒng)下，主星和衛(wèi)星在互相繞轉(zhuǎn)平面里的自旋角速度，與兩星相互環(huán)繞的角速度保持一致，其結(jié)果表現(xiàn)為兩小行星的相互朝向保持不變。由于小行星距離地球遙遠(yuǎn)且相比于大行星來(lái)說(shuō)相對(duì)較小，目前人類主要靠雷達(dá)或光學(xué)成像研究遠(yuǎn)距離小行星的形狀特征，其精度有限，無(wú)法準(zhǔn)確地獲知小行星的具體形狀及其周?chē)_的引力勢(shì)能分布。使用簡(jiǎn)單的幾何構(gòu)型對(duì)雙體小行星進(jìn)行研究，對(duì)于將來(lái)探測(cè)器前往未探小行星的任務(wù)有著重要的指導(dǎo)意義。

Scheeres等基于球–橢球模型對(duì)雙星系統(tǒng)1999 KW4進(jìn)行了深入的研究，提出一部分雙星系統(tǒng)可能由原始星體裂解而成的理論。Bellerose和Tardivel等基于球–橢球模型對(duì)航天器在雙星系統(tǒng)中運(yùn)行時(shí)的可行域及軌道轉(zhuǎn)移的方法進(jìn)行了研究[5]。尚海濱等則使用雙橢球模型研究了航天器在雙互鎖系統(tǒng)下的周期軌道，并提出了其在空間任務(wù)中的應(yīng)用[6]。本文基于雙橢球模型，對(duì)雙互鎖系統(tǒng)的可能平衡模式的穩(wěn)定性進(jìn)行了研究。

1 研究目標(biāo)與力學(xué)分析

1.1 雙星系統(tǒng)的分類及研究對(duì)象

正如引言中所說(shuō)，雙星系統(tǒng)根據(jù)其自轉(zhuǎn)與相互繞轉(zhuǎn)的速度，可以將其分為3類：即一般系統(tǒng)、單自鎖系統(tǒng)和雙互鎖系統(tǒng)。表 1顯示了人類探得的各個(gè)系統(tǒng)的代表。其中，D1和D2分別代表主星和衛(wèi)星在其相互繞轉(zhuǎn)平面上的平均直徑；R代表兩星質(zhì)心間的距離；P1和P2分別為主星和衛(wèi)星在相互繞轉(zhuǎn)平面里的自轉(zhuǎn)周期；Porb則為兩星相互繞轉(zhuǎn)的周期。帶有括號(hào)的數(shù)據(jù)代表本數(shù)據(jù)是估計(jì)的，或是使用可信度較差的數(shù)據(jù)，或是數(shù)據(jù)的獲取過(guò)程帶有一定假設(shè)。

表 1 3類雙星系統(tǒng)及其代表Table 1 Three categories of binary system

從表 1中D2/D1列可得，單自鎖系統(tǒng)兩星尺寸相差較大，而雙互鎖系統(tǒng)兩星的尺寸趨近于一致。簡(jiǎn)單定性分析來(lái)說(shuō)，單自鎖系統(tǒng)因?yàn)槌叽缦嗖钶^大，主星對(duì)衛(wèi)星的潮汐鎖定等作用較大，衛(wèi)星對(duì)主星的影響則較小。雙互鎖系統(tǒng)由于兩星尺寸相近，所以兩星相互影響的量級(jí)相近，容易相互作用形成雙互鎖的系統(tǒng)。

1.2 相互勢(shì)與力矩

本文以兩個(gè)剛性橢球體相互繞轉(zhuǎn)的模型來(lái)模擬雙互鎖雙星系統(tǒng)的穩(wěn)定性規(guī)律，并使用表 1中的809 Lundia系統(tǒng)作為研究對(duì)象。如圖 1所示，令Ω代表大橢球，即主星，令Ω'代表小橢球，即衛(wèi)星。其中，O和O'分別為主星橢球和衛(wèi)星橢球的質(zhì)心。為主星固連本體坐標(biāo)系，為衛(wèi)星固連本體坐[標(biāo)系，它們]分別指向橢球的三個(gè)慣量主軸，分別與abc相互對(duì)應(yīng)，形成互相正交的坐標(biāo)系，其中a，b，c分別指了橢球的最長(zhǎng)軸，中間軸和最短軸，即a > b > c。定義兩物體相互勢(shì)的表達(dá)式為都為體積分。其中dm為橢球Ω中的一個(gè)質(zhì)量微元，dm′為橢球Ω′的一個(gè)質(zhì)量微元。根據(jù)Joshua Ashenberg在文章中所推導(dǎo)，兩質(zhì)量微元的倒數(shù)可以展成[4]

圖 1 相互勢(shì)Fig. 1 Mutual gravitational potential

其中：R為兩橢球質(zhì)心間的距離；ρ為主星質(zhì)心到微元的距離；表示矢量ρ投影到坐標(biāo)系；所以為橢球Ω′本體坐標(biāo)系到橢球Ω本體坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣。?ρ=ρ?ρ′，由此可將相互勢(shì)的表達(dá)式通過(guò)勒讓德多項(xiàng)式展成

將相互勢(shì)展到四階精度，已經(jīng)基本能夠保證精度的需要

由推導(dǎo)可得，主星橢球體受到的外力矩為

得

將式（4）所得的四階精度代入以上方程得橢球情況為

根據(jù)以下橢球的坐標(biāo)變換

及

1.3 動(dòng)態(tài)方程及其穩(wěn)定性分析

本文取衛(wèi)星Ω′作為研究對(duì)象，研究其相對(duì)于主星的運(yùn)動(dòng)。衛(wèi)星相對(duì)于主星可能存在滾轉(zhuǎn)角速度。假設(shè)滾轉(zhuǎn)的角速度如圖 2所示。

圖 2 相對(duì)滾轉(zhuǎn)角速度Fig. 2 Relative roll angular velocity

取原點(diǎn)在衛(wèi)星質(zhì)心，建立衛(wèi)星主軸坐標(biāo)系，可得其相對(duì)于主星本體坐標(biāo)系動(dòng)力學(xué)方程為

則有歐拉運(yùn)動(dòng)學(xué)方程

動(dòng)力學(xué)方程有特解為

將T也線性化，得

方程變?yōu)?/p>

可知?與θ，ψ解耦。分析以下方程

圖 3 兩種平衡狀態(tài)Fig. 3 Two kinds of stability

如果令

得

圖 4 滾轉(zhuǎn)角和滾轉(zhuǎn)角速度隨時(shí)間的變化Fig. 4 Roll angle and roll rate change over time

可見(jiàn)滾轉(zhuǎn)角速度在一個(gè)很小的范圍內(nèi)震蕩，并有衰減的趨勢(shì)，而滾轉(zhuǎn)角則平穩(wěn)地增加。相對(duì)滾轉(zhuǎn)角速度的衰減可以認(rèn)為，由于兩星的相互作用，使得衛(wèi)星滾轉(zhuǎn)角速度減小，而主星的滾轉(zhuǎn)角速度增加。兩星有趨于同步的趨勢(shì)。

3 結(jié) 論

通過(guò)以上分析可得，當(dāng)雙星系統(tǒng)的質(zhì)量都較小時(shí)，它們之間的相互影響是非常微弱的。但在長(zhǎng)時(shí)間的積累且存在空間能量耗散的情況下，兩星有趨于同步的趨勢(shì)，因此形成了各種自鎖的系統(tǒng)。在雙互鎖系統(tǒng)中，當(dāng)衛(wèi)星相對(duì)于主星有滾轉(zhuǎn)角速度且滾轉(zhuǎn)軸為最大慣量主軸或者最小慣量主軸時(shí)，雙星的雙互鎖規(guī)律能夠得到保持。這可能是實(shí)際雙互鎖系統(tǒng)存在的一種形式。

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Research on a Potential Stability Form of Doubly Synchronous Binary System Based on Triaxial Ellipsoids Model

LAN Lei*，YANG Mo
（School of Aerospace Engineering，Tsinghua University，Beijing 100084，China）

There are numerous binary systems in solar system. The research on binary systems is important for understanding the origin and evolution of asteroids. A two-triaxial-ellipsoid system is used to model the binary asteroids. Combining with Joshua’s research in fourth-order mutual gravitational torque of two bodies, the stability of the binary system is proved by KTC theorem. Thus, the results verify a potential form of the doubly synchronous binary asteroids system where there is a roll angular velocity between the primary and moonlet.

binary system；doubly synchronous；two triaxial ellipsoids；stability

V529.2

A

2095-7777（2017）02-0196-05

10.15982/j.issn.2095-7777.2017.02.015

藍(lán)磊（1992– ），男，博士研究生，主要研究方向：航天器動(dòng)力學(xué)與控制。

[責(zé)任編輯：楊曉燕，英文審校：朱魯青]

藍(lán)磊，楊墨. 基于雙橢球模型的雙星系統(tǒng)穩(wěn)定性研究[J]. 深空探測(cè)學(xué)報(bào)，2017，4（2）：196-200.

Reference format: Lan L，Yang M. Research on a potential stability form of doubly synchronous binary system based on triaxial ellipsoids model [J]. Journal of Deep Space Exploration，2017，4（2）：196-200.

2016-03-01

2016-04-30

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11572166，11372150）