朱晨烜 丁云飛

(上海電機(jī)學(xué)院,上海 200240)

隨機(jī)激勵下非線性水輪機(jī)系統(tǒng)的控制設(shè)計(jì)*

朱晨烜 丁云飛?

(上海電機(jī)學(xué)院,上海 200240)

針對一類隨機(jī)非線性哈密頓系統(tǒng)提出了一種全新的反饋跟蹤控制方法.該控制策略可以準(zhǔn)確地控制系統(tǒng)輸出的概率密度分布特性.閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性也通過李雅普諾夫函數(shù)法得到嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明.最后,以隨機(jī)非線性水輪機(jī)系統(tǒng)為例,詳細(xì)演示了控制設(shè)計(jì)過程及其有效性.仿真結(jié)果表明,新的反饋控制策略可以使水輪機(jī)系統(tǒng)的輸出滿足預(yù)先指定的平穩(wěn)概率密度函數(shù).

隨機(jī)非線性系統(tǒng), 反饋?zhàn)粉櫩刂? 概率密度函數(shù), 李雅普諾夫函數(shù)

引言

非線性系統(tǒng)控制是最近幾十年的一個(gè)重要研究領(lǐng)域.常規(guī)非線性系統(tǒng)控制設(shè)計(jì)是基于確定性非線性系統(tǒng),例如Lipschitz非線性系統(tǒng)[1,2],單調(diào)非線性[3]和高增益觀察器[4]等.然而,這些方法忽略了系統(tǒng)測量和過程中的隨機(jī)噪聲(如隨機(jī)振動或沖擊).幾乎所有的控制過程都不可避免地受到噪聲或隨機(jī)擾動的影響,相應(yīng)地噪音可以顯著改變動力學(xué)系統(tǒng)的確定性.換句話說,它可以使隨機(jī)擾動下的非線性系具有新的穩(wěn)定狀態(tài),它甚至可以增強(qiáng)一個(gè)非線性系統(tǒng)對外部信號的響應(yīng)[5-7].因此,噪聲干擾下的非線性過程應(yīng)該更確切地被定義為隨機(jī)非線性系統(tǒng)的輸出.

傳統(tǒng)意義上,隨機(jī)非線性控制的設(shè)計(jì)多基于線性化方法.許多行之有效的控制方法只關(guān)心兩個(gè)被控量,即均值和方差或協(xié)方差[8-11].這類控制基于所述系統(tǒng)輸出符合高斯分布的假定.然而,對于具有本質(zhì)非線性特性的許多實(shí)際過程,如化工,煉鋼或造紙的粒度分布的控制等,這些系統(tǒng)不能被線性化.此時(shí),均值和方差或協(xié)方差不足以表征輸出過程,因?yàn)橐粋€(gè)隨機(jī)非線性系統(tǒng)的輸出通常為非高斯.因此,在最近十幾年,一些基于隨機(jī)非線性系統(tǒng)輸出的概率密度函數(shù)(PDF)的反饋控制方法研究得到了越來越多的科研人員的關(guān)注.

在過去的幾十年里,一些有效的控制策略被開發(fā)出來以達(dá)到控制輸出PDF的形狀的目的[12-23].其中,伊藤[12]和Fokker-Planck(FP)方程[13]可以用來描述SPDF.在由一個(gè)多項(xiàng)式反饋部分和一個(gè)處理不確定性參數(shù)的切換項(xiàng)所組成的控制設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上,含有不確定參數(shù)的伊藤微分方程被用來表示一類連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過程.最近,為了使輸出PDF追隨目標(biāo)PDF,一種遞歸PDF控制策略被用到具有信道時(shí)間延遲和非高斯噪聲的非線性ARMAX系統(tǒng)中,一種多步前饋非線性累計(jì)成本函數(shù)也被用于改善其追蹤性能[14].另一種可行的解決方案是引入平方根B樣條擴(kuò)展神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),通過跟蹤動態(tài)權(quán)重逼近輸出PDF[15].同樣,在復(fù)雜的動態(tài)非高斯隨機(jī)過程中,應(yīng)用廣義迭代神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)算法也能估算輸出PDF,隨后輸出PDF的跟蹤控制可以簡化為兩個(gè)相鄰的重復(fù)過程之間的參數(shù)調(diào)整問題[16].一類開關(guān)線性控制器被用來近似一維系統(tǒng)的PDF形狀[17].Herzallah和Karny[18]為了避開明確評估最優(yōu)值函數(shù)而提出了基于自適應(yīng)評判方法的一種完全概率控制算法.Annunziato和Brozi[19]根據(jù)FP方程提出一個(gè)有效的框架來解決多維隨機(jī)過程PDF的最優(yōu)控制.其相應(yīng)的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)變?yōu)樵跐L動時(shí)域控制策略中的開環(huán)最優(yōu)系統(tǒng)序列.Abharian和Fadaei[20]討論了PDF控制系統(tǒng)的性能評估問題,評估對象是一個(gè)復(fù)雜核反應(yīng)堆系統(tǒng),并且將評估原則用于分析核研究反應(yīng)堆的能量PDF的性能.該控制器的設(shè)計(jì)使得能量PDF能夠跟蹤給定形狀.一類無界隨機(jī)不確定非線性系統(tǒng)的模型預(yù)測控制方法是通過采用FP方程追蹤PDF, 同時(shí)根據(jù)隨機(jī)控制李雅普洛夫函數(shù)來設(shè)計(jì)穩(wěn)定性約束條件[21].其他隨機(jī)模型預(yù)測控制相關(guān)的最新的文獻(xiàn)綜述可以參見文獻(xiàn)[22].

應(yīng)當(dāng)注意的是,上述所有提出的設(shè)計(jì)方法大多是基于近似,它們在實(shí)際應(yīng)用中還存在著理論和實(shí)際上的問題[23].這些問題包括三點(diǎn):首先,如果忽略了權(quán)重向量的約束,輸出的PDF的跟蹤可能偏離,這樣會導(dǎo)致分析穩(wěn)定性和性能的困難, 從而不能保證閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的.其次,大部分方法都只關(guān)注低維隨機(jī)過程模型或一些相對簡單的物理模型.此外,隨著系統(tǒng)維數(shù)的增加,用于閉環(huán)實(shí)現(xiàn)的計(jì)算量過大.

為了克服這些問題,本文針對一類含隨機(jī)擾動的非線性系統(tǒng)設(shè)計(jì)了一種新的反饋控制方法.該方法利用獲得高維非線性隨機(jī)系統(tǒng)的精確穩(wěn)態(tài)解的技術(shù)來追蹤預(yù)先設(shè)定的SPDF.并引入李雅普洛夫函數(shù)方法保證閉環(huán)系統(tǒng)的輸出收斂于一個(gè)預(yù)先設(shè)定的SPDF,以此來確保閉環(huán)穩(wěn)定性.隨后,通過工程應(yīng)用中的一個(gè)隨機(jī)非線性水輪機(jī)系統(tǒng)的仿真實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證該方法的有效性.本文的結(jié)構(gòu)安排如下:在第1節(jié)中簡要回顧由實(shí)際物理系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的哈密頓模型的過程;在第2節(jié)中給出一個(gè)跟蹤預(yù)先設(shè)定的SPDF的隨機(jī)反饋控制律的推導(dǎo)過程,同時(shí)還分析了系統(tǒng)的穩(wěn)定性,以保證控制系統(tǒng)的收斂性,詳細(xì)的論證過程將會給出.同時(shí)為了驗(yàn)證所提出的理論,該方法將被用于一個(gè)在彈性水擊和隨機(jī)擾動共同作用下的非線性水輪機(jī)系統(tǒng),所得到的精確最優(yōu)控制律和結(jié)果在第3節(jié)給出.最后一部分給出全文的結(jié)論.

1 隨機(jī)哈密頓建模

哈密頓理論被廣泛用于描述實(shí)際系統(tǒng)內(nèi)部的能量耗散及系統(tǒng)與外界的能量交換.直接法作為哈密頓建模理論之一,是由實(shí)際系統(tǒng)的基本動態(tài)特性經(jīng)數(shù)學(xué)演繹而得.由于直接對實(shí)際系統(tǒng)建模十分困難,有時(shí)甚至無法實(shí)現(xiàn),于是基于微分方程與哈密頓模型轉(zhuǎn)換方法的哈密頓實(shí)現(xiàn)理論得到了發(fā)展[25].下面將簡要介紹轉(zhuǎn)換方法和約束條件：

考慮一個(gè)控制動力系統(tǒng)：

(1)

其中M是一個(gè)γ維流形,f(x)是向量,g(x)=(g1(x),…,gn(x)),u=(u1,…,un)T,稱系統(tǒng)(1)有一個(gè)狀態(tài)反饋哈密頓實(shí)現(xiàn),如果存在一個(gè)合適的坐標(biāo)卡,一個(gè)哈密頓函數(shù)H和一個(gè)合適的狀態(tài)反饋控制律u=α(x)+u′,使得系統(tǒng)(1)可以表示為：

(2)

如果結(jié)構(gòu)矩陣T(x)可以表示為：T(x)=J(x)+Z(x),其中反對稱陣J(x)為:

(3)

對稱陣Z(x)為：

(4)

其中<.,.>表示內(nèi)積.稱式(2)為反饋哈密頓耗散實(shí)現(xiàn).Z(x)可以進(jìn)一步分解為一個(gè)(半)正定陣R(x)和一個(gè)對稱陣S(x):

Z(X)=-R(x)+S(x)

(5)

其中,

可選擇如下控制器:

(6)

此時(shí),隨機(jī)激勵下的系統(tǒng)(2)可以表示為:

(7)

其中ζ(x)代表隨機(jī)激勵幅值;W(t)為高斯白噪聲,均值為零,相關(guān)函數(shù)為E[Wk(t)Wl(t+τ)]=2Dklδ(τ).

2 追蹤控制設(shè)計(jì)

2.1 問題的表述

考慮如下隨機(jī)動力學(xué)系統(tǒng):

(8)

(9)

其中,Bk(t)是標(biāo)準(zhǔn)維納過程;σik=(ζL)ik且有ζ=[ζik],LLT=2D,D=[Dkl].注意愛因斯坦慣例(即:重復(fù)的標(biāo)注表示對該指標(biāo)的求和)被應(yīng)用于全文.式(9)等價(jià)于如下伊藤隨機(jī)微分方程：

(10)

其中,

(11)

式(11)右側(cè)的第二項(xiàng)為Wong-Zakai修正項(xiàng).與伊藤方程(10)相對應(yīng)的簡化FPK方程(?ρ/?t=0)為：

(12)

其中,ρ=ρ(x)是系統(tǒng)(10)的穩(wěn)態(tài)概率密度;bij=(σσT)ij=2Dklζikζjl;文獻(xiàn)[26-27]中指出式(12)的解取決于哈密頓系統(tǒng)的可積性和共振型.對于不可積系統(tǒng),式(12)的解為：

(13)

其中N是歸一化常數(shù).λ(H)為概率勢并由以下n個(gè)一階線性常微分方程求得：

(14)

這一求解技巧將被用于多自由度隨機(jī)非線性系統(tǒng)對給定平穩(wěn)概率密度函數(shù)的追蹤控制設(shè)計(jì)中.

2.2 被控過程

考慮受控的隨機(jī)非線性系統(tǒng).假設(shè)可以由如下受控的耗散的哈密頓系統(tǒng)描述：

(15)

(16)

(17)

2.3 輸出過程的收斂性

系統(tǒng)(10)可以簡化為：

(18)

定理1

對任一高斯白噪聲激勵系統(tǒng)：

(19)

(20)

此定理的證明詳見文獻(xiàn)[28].

3 算例

考慮如下單機(jī)單管彈性水擊下,非線性水輪機(jī)模型:

(21)

其中,

參數(shù)x1和x2是系統(tǒng)內(nèi)部變量,x3=q是水輪機(jī)流量,x4=g是導(dǎo)葉開度,g0,gr分別是導(dǎo)葉開度初始值和額定值,h0是靜態(tài)水頭(每單位),k為引水系統(tǒng)水頭損失參數(shù),Rn是壓力管的特性阻抗(每單位),Te是彈性時(shí)間常量(秒),TW是伺服時(shí)間常量(秒).

考慮到內(nèi)部能量損失,水輪機(jī)出力為:

Δpz0[e-m(qz-x3)2-e-m(qz-qnl)2]

(22)

其中,pm為輸出機(jī)械功率(每單位),γ=9.81,qnl是每單位水輪機(jī)空載流量,qz為在每單位水頭最高效率下的流量,At是增益系數(shù),Kh是水輪機(jī)管道的水頭損失系數(shù),Δpz0是沖擊損失的系數(shù),n1是每單位的沖擊損失.

水輪機(jī)系統(tǒng)(21)滿足式(1)的形式,因此該系統(tǒng)的哈密頓模型可由第二節(jié)中給出的哈密頓建模方法得到.可選擇如下哈密頓函數(shù):

e-n1(qz-qnl)2]x4+x1x2

(23)

式子的最后一部分表示內(nèi)部變量在轉(zhuǎn)移過程中產(chǎn)生的能量.變量x3和x4分別是流量和導(dǎo)葉開度,當(dāng)水輪機(jī)開啟并與電力系統(tǒng)連接后,x3>qnl>0,x1,x2,x4>0,因此所選擇的哈密頓函數(shù)為正.

哈密頓系統(tǒng)的自然輸出為:

y=gTH=-pm

(24)

根據(jù)公式(4)和(5),Z(x)可以分解為:

=-r(x)+s(x)

(25)

其中,

(26)

(27)

代入公式(6)得到控制律u為:

(28)

系統(tǒng)(21)可以重建為：

(29)

(30)

(31)

表1 系統(tǒng)參數(shù)

為了證明系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移概率密度的確隨時(shí)間變化收斂到目標(biāo)概率密度,設(shè)如下Lyapunov函數(shù):

(32)

根據(jù)公式(20)可知V的導(dǎo)數(shù)為：

(33)

顯然有V(x)≥0,V(x)→∞,當(dāng)|x|→∞且在區(qū)間R4-Ω中L*V<0,其中,

由此可見,受控系統(tǒng)(29)的轉(zhuǎn)移概率密度會隨著時(shí)間t→∞逐漸逼近到目標(biāo)穩(wěn)態(tài)概率密度.

然后,通過一個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)仿真實(shí)驗(yàn)來評估該方法的有效性.圖1所示是系統(tǒng)能量H在控制過程中的轉(zhuǎn)移概率密度隨時(shí)間的變化過程.當(dāng)t>4s的時(shí)候,H的轉(zhuǎn)移PDF的均值和方差分別是0.28和0.01,這個(gè)結(jié)果和其參考SPDF值N(0.28;0.01)2一致,可見轉(zhuǎn)移概率密度能夠逼近目標(biāo)SPDF.因此,由公式(28)和(31)確定的控制設(shè)計(jì)的確可以使系統(tǒng)(29)追蹤到公式(30)給出的期望SPDF值.圖2展示了輸出功率的響應(yīng)曲線.從中看出,未控系統(tǒng)的輸出為實(shí)線所示,在隨機(jī)激勵下水力輸出響應(yīng)有較大波動;而受控系統(tǒng)的輸出pm(虛線)可以滿足在短時(shí)間內(nèi),大約3～4秒后,經(jīng)過小幅震蕩后穩(wěn)定在一個(gè)特定區(qū)間.

圖1 轉(zhuǎn)移概率密度ρ(H,t)隨時(shí)間的變化Fig.1 Evolution of ρ(H,t) with the time

圖2 水力輸出響應(yīng)Fig.2 Hydraulic output response

4 結(jié)論

雖然非線性系統(tǒng)的控制設(shè)計(jì)在很多工程領(lǐng)域應(yīng)用中取得了一定進(jìn)展,但是對隨機(jī)擾動下非線性系統(tǒng)的控制研究的不足可能會導(dǎo)致一些問題,如針對更復(fù)雜的隨機(jī)非線性系統(tǒng)而言,可能面臨不準(zhǔn)確的追蹤性能,穩(wěn)定性分析不足或較高的計(jì)算成本等.由于輸出PDF的近似值仍不能準(zhǔn)確地描述系統(tǒng)的特點(diǎn),因此我們研究了一種隨機(jī)非線性系統(tǒng)的反饋?zhàn)粉櫩刂茊栴}.具體來說,該隨機(jī)非線性系統(tǒng)的控制設(shè)計(jì)利用獲得隨機(jī)非線性系統(tǒng)的精確平穩(wěn)解的技術(shù)來追蹤預(yù)先設(shè)定的目標(biāo)SPDF.系統(tǒng)控制方法的閉環(huán)穩(wěn)定性可以通過李雅普洛夫函數(shù)方法證明其收斂性.為了驗(yàn)證理論結(jié)果,所提出的方法被應(yīng)用到彈性水擊下的隨機(jī)非線性水輪機(jī)系統(tǒng)中.系統(tǒng)仿真結(jié)果表明受控系統(tǒng)能夠追蹤任意形狀的參考分布所對應(yīng)的穩(wěn)態(tài)概率分布.將來的工作重點(diǎn)是將這種方法應(yīng)用到更多的工程應(yīng)用領(lǐng)域中去,看看它是否適用于其他種類的隨機(jī)非線性系統(tǒng).

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*The project supported by the National Natural Science Foundation of China (11302123), Shanghai Pujiang Program (15PJ1402500), Innovation Program of Shanghai Municipal Education Commission(14YZ163), “Chen Guang” project supported by Shanghai Municipal Education Commission and Shanghai Education Development Function(13CG63)

? Corresponding author E-mail:Dingyf@sdju.edu.cn

2 March 2017,revised 18 April 2017.

CONTROL DESIGN FOR A NONLINEAR HYDRAULIC TURBINE SYSTEM UNDER STOCHASTIC EXCITATION*

Zhu Chenxuan Ding Yunfei?

(ShanghaiDianjiUniversity,Shanghai200240,China)

A new feedback tracing control method is presented for a class of nonlinear Hamiltonian systems with stochastic disturbances. It aims to accurately control the shape of the output probability density function. Meanwhile, a Lyapunov function method is employed to prove the optimality of the control law and the stability of closed -loop system. Eventually, to evaluate the performance of the proposed approach, a nonlinear stochastic hydraulic turbine system is utilized to be remodeled and to demonstrate the control design procedure and its effectiveness. The system simulation shows that the proposed feedback tracing control strategy for hydro-turbine system can achieve a pre-specified stationary probability density function (SPDF).

nonlinear stochastic system, feedback tracing control, probability density function, Lyapunov function

*國家自然科學(xué)基金(11302123)、上海市浦江人才計(jì)劃(15PJ1402500)、上海市教育委員會科研創(chuàng)新項(xiàng)目(14YZ163)、上海市教育委員會和上海市教育發(fā)展基金會“晨光計(jì)劃”(13CG63)資助

10.6052/1672-6553-2017-031

2017-3-2收到第1稿,2017-4-18收到修改稿.

? 通訊作者 E-mail:Dingyf@sdju.edu.cn