四邊簡(jiǎn)支矩形薄板的雙Hopf分岔分析*

周艷 張偉

(1.內(nèi)蒙古師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 內(nèi)蒙古 010022) (2.北京工業(yè)大學(xué) 機(jī)電學(xué)院,北京 100124)

四邊簡(jiǎn)支矩形薄板的雙Hopf分岔分析*

周艷1?張偉2

(1.內(nèi)蒙古師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 內(nèi)蒙古 010022) (2.北京工業(yè)大學(xué) 機(jī)電學(xué)院,北京 100124)

基于奇異性理論,研究了主參數(shù)共振-1∶3內(nèi)共振情形下參數(shù)激勵(lì)與外激勵(lì)聯(lián)合作用下四邊簡(jiǎn)支矩形薄板的雙Hopf分岔問(wèn)題.考慮弱阻尼和弱激勵(lì)的情形,得到了四邊簡(jiǎn)支矩形薄板的分岔方程,給出了四邊簡(jiǎn)支矩形薄板在參數(shù)平面μ-σ1上的分岔圖.對(duì)參數(shù)激勵(lì)與外激勵(lì)聯(lián)合作用下四邊簡(jiǎn)支矩形薄板的阻尼系數(shù)、外激勵(lì)、參數(shù)激勵(lì)以及調(diào)諧參數(shù)進(jìn)行不同的取值,通過(guò)數(shù)值模擬得到了四邊簡(jiǎn)支矩形薄板平衡解將發(fā)生Hopf分岔,并分岔出周期解,薄板系統(tǒng)的非線性振動(dòng)形式為周期運(yùn)動(dòng).當(dāng)四邊簡(jiǎn)支矩形薄板的參數(shù)滿足給定條件時(shí),我們得到薄板的1∶3共振雙Hopf分岔.隨后,四邊簡(jiǎn)支矩形薄板將會(huì)呈現(xiàn)概周期振動(dòng).

雙Hopf分岔 薄板 周期解 概周期解

引言

薄板廣泛應(yīng)用于航空航天等工程領(lǐng)域,近十幾年來(lái),關(guān)于薄板的非線性振動(dòng)、分岔等動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的研究取得了不少進(jìn)展.Hadian和Nayfeh[1]利用多尺度方法分析了非線性?shī)A緊圓板混合內(nèi)共振情形下的非線性響應(yīng).Nayfeh和Vakakis[2]利用多尺度方法分析了軸對(duì)稱(chēng)幾何非線性薄圓板的亞諧移動(dòng)波.Yang和Sethna[3]用平均法研究了參數(shù)激勵(lì)正方形薄板的局部分岔和全局分岔,表明系統(tǒng)存在異宿環(huán)和Smale馬蹄意義的混沌運(yùn)動(dòng).

隨后,Feng和Sethna[4]利用全局?jǐn)z動(dòng)法進(jìn)一步研究了參數(shù)激勵(lì)作用下薄板的分岔和混沌動(dòng)力學(xué),Abe等人[5]應(yīng)用多尺度方法研究了簡(jiǎn)支矩形薄板的模態(tài)響應(yīng).Zhang等人[6-7]研究了參數(shù)激勵(lì)和外激勵(lì)聯(lián)合作用下四邊簡(jiǎn)支矩形薄板的全局分岔和混沌動(dòng)力學(xué).Awrejcewicz等人[8]研究了在縱向隨時(shí)間變化載荷作用下薄板的周期、概周期和混沌運(yùn)動(dòng).Yao和Zhang[9]改進(jìn)了能量相位法,研究了參數(shù)激勵(lì)和外激勵(lì)聯(lián)合作用下薄板的多脈沖混沌動(dòng)力學(xué).Zhang等人[10]利用高維Mlenikov方法研究了非自治屈曲薄板在參數(shù)激勵(lì)下的Shilnikov型的多脈沖混沌動(dòng)力學(xué)響應(yīng).Akour和Nayfeh[11]研究了簡(jiǎn)單支撐圓形薄板的非線性振動(dòng)響應(yīng).

在文獻(xiàn)[12]的研究基礎(chǔ)之上,本文主要研究了參數(shù)激勵(lì)與外激勵(lì)聯(lián)合作用下四邊簡(jiǎn)支矩形薄板的雙Hopf分岔問(wèn)題.首先,利用多尺度法得到了參數(shù)激勵(lì)與外激勵(lì)聯(lián)合作用下四邊簡(jiǎn)支矩形薄板在主參數(shù)共振-1∶3內(nèi)共振情形下兩種不同坐標(biāo)形式的平均方程,得到了系統(tǒng)的分岔響應(yīng)方程.然后利用奇異性理論分析了分岔響應(yīng)方程的分岔特性.數(shù)值模擬給出了系統(tǒng)在一定條件下存在周期和概周期運(yùn)動(dòng).

1 薄板的平均方程

考慮四邊簡(jiǎn)支矩形薄板,邊長(zhǎng)是a和b,厚度是h,薄板受到橫向激勵(lì)和面內(nèi)激勵(lì)聯(lián)合作用,所建立的直角坐標(biāo)系如圖1所示.坐標(biāo)系Oxy位于薄板的中面上,u、v和w分別表示薄板中面上的一點(diǎn)在x、y和z方向的位移,薄板面內(nèi)的激勵(lì)表示為p=p0-p1cosΩ2t.

根據(jù)文獻(xiàn)[6],我們得到矩形薄板的二自由度非線性動(dòng)力學(xué)方程為:

=F1cosΩ1t

(1a)

=F2cosΩ1t

(1b)

上式各參數(shù)參考文獻(xiàn)[6].

圖1 矩形薄板的模型及坐標(biāo)系Fig. 1 Model of a rectangular thin plate and coordinate system

2 主參數(shù)共振-1∶3內(nèi)共振情況下薄板的雙Hopf分岔分析

本節(jié)主要利用奇異性理論[13-14],研究同時(shí)受面內(nèi)激勵(lì)與橫向激勵(lì)作用的四邊簡(jiǎn)支矩形薄板的雙Hopf分岔問(wèn)題.假設(shè)非線性系統(tǒng)(1)是弱非線性系統(tǒng),我們可以得到如下方程:

=εF1cosΩ1t

(2a)

=εF2cosΩ1t

(2b)

考慮主參數(shù)共振-1∶3內(nèi)共振的情形,其共振關(guān)系為:

(3)

經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn),系統(tǒng)(2)的直角坐標(biāo)形式的平均方程可以表示為:

(4a)

(4b)

(4c)

(4d)

可以得到系統(tǒng)(4)的極坐標(biāo)形式的平均方程為:

(5a)

(5b)

(5c)

(5d)

為了分析方程(5)的定常解,即方程(4)的周期解或概周期解,令方程(5)的左邊等于零,我們得到以下兩個(gè)方程:

(6a)

(6b)

為了分析方便,我們?cè)谑?6a)和(6b)中分別取a2=1和a1=1,則式(6)可轉(zhuǎn)化為:

(7a)

(7b)

我們得到系統(tǒng)(4)的分岔響應(yīng)方程為:

(8a)

(8b)

令:

Bi=ki2ki3-9ki1ki4, Ci=ki32-3ki2ki4,

Δi=Bi2-4AiCi, i=1,2

(9)

將式(9)代入方程(8), 就可以得到分岔響應(yīng)方程(8)的幾種不同的定常解.

3 數(shù)值模擬

本節(jié)運(yùn)用Maple給出橫向激勵(lì)與面內(nèi)激勵(lì)聯(lián)合作用下四邊簡(jiǎn)支矩形薄板在主參數(shù)共振-1∶3內(nèi)共振情形下的雙Hopf分岔非線性振動(dòng)響應(yīng).

圖2 薄板系統(tǒng)在參數(shù)平面μ-σ1上的局部分岔圖Fig.2Local bifurcation diagram of thin plate system in the parameter plane of μ-σ1

圖3 薄板在定常解a1≠0, a2=0附近的運(yùn)動(dòng)形式Fig. 3 Motion of thin plate near the solution of a1≠0, a2=0

根據(jù)以上分析結(jié)果,選取方程(4)中的參數(shù)和初值分別為σ2=0.38,α1=1.05, α2=1.64, f1=1, x10=0.17, x20=0.39, x30=0.28, x40=0.66, 我們得到系統(tǒng)(4)的局部分岔集以及不同區(qū)域?qū)?yīng)的非線性振動(dòng)形式.圖2表示四邊簡(jiǎn)支矩形薄板在參數(shù)空間μ-σ1上的局部分岔圖.

我們選取橫向激勵(lì)與面內(nèi)激勵(lì)聯(lián)合作用下四邊簡(jiǎn)支矩形薄板的阻尼系數(shù)為μ=0.3,調(diào)諧參數(shù)為σ2=0.4,初始條件為x10=0.3,x20=0.23,x30=0.4,x40=0.32,薄板在定常解a1=0, a2≠0處的非線性振動(dòng)形式如圖3所示.

隨著參數(shù)變化,當(dāng)四邊簡(jiǎn)支矩形薄板的阻尼系數(shù)為μ=0.67,調(diào)諧參數(shù)為σ1=0.4,初始條件為x10=0.25,x20=0.23,x30=0.44,x40=0.65時(shí),薄板的非線性振動(dòng)為概周期運(yùn)動(dòng),如圖4所示.

圖4 薄板在雙Hopf分岔點(diǎn)附近的概周期運(yùn)動(dòng)Fig. 4 Almost periodic motion of thin plate near the double Hopf bifurcation point

4 結(jié)論

本文基于奇異性理論,主要研究了在主參數(shù)共振-1∶3內(nèi)共振情形下同時(shí)受到參數(shù)激勵(lì)與外激勵(lì)聯(lián)合作用的四邊簡(jiǎn)支矩形薄板系統(tǒng)的局部定常解.考慮弱阻尼和弱激勵(lì)的情形,我們得到了四邊簡(jiǎn)支矩形薄板在直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)系下的平均方程,在此基礎(chǔ)上,進(jìn)一步分析了四邊簡(jiǎn)支矩形薄板系統(tǒng)在不同參數(shù)取值下可能發(fā)生的非線性振動(dòng)形式.

1 Hadian J, Nayfe A H. Modal interaction in circular plates.JournalofSoundandVibration, 1990,142(2):279～292

2 Nayfeh T A, Vakakis A F. Subharmonic traveling waves in a geometrically non-linear circular plate.InternationalJournalofNonlinearMechanics, 1994,29(2):233～245

3 Yang X L, Sethna P R. Local and global bifurcations in parametrically excited vibrations nearly square plates.InternationalJournalofNonlinearMechanics, 199,26(2):199～220

4 Feng Z C, Sethna P R. Global bifurcations in the motion of parametrically excited thin plate.InternationalJournalofNonlinearMechanics, 1993,4(4):389～408

5 Abe A, Kobayashi K, Yamada G. Two-mode response of simply supported, rectangular laminated plates.InternationalJournalofNonlinearMechanics, 1998,33(4):675～690

6 Zhang W, Liu Z M, Yu P. Global dynamics of a parametrically and externally excited thin plate.InternationalJournalofNonlinearMechanics, 2014,24(3):245～268

7 Zhang W. Global and chaotic dynamics for a parametrically excited thin plate.JournalofSoundandVibration, 2001,239(5):1013～1036

8 Awrejcewicz J, Krysko V A, Krysko A V. Spatio-temporal chaos and solitons exhibited by von Kármán model.InternationalJournalofBifurcationandChaos, 2002,12(7):1465～1513

9 Yao M H, Zhang W. Multi-pulse Shilnikov orbits and chaotic dynamics of a parametrically and externally excited thin plate.InternationalJournalofBifurcationsandChaos, 2007,17:1～25

10Zhang J H, Zhang W, Yao M H, et al. Multi-pulse Shilnikov chaoticdynamics for a non-autonomous buckled thin plate under parametric excitation.InternationalJournalofNonlinearSciencesandNumericalSimulation, 2008,9(4):381～394

11Akour S N, Nayfeh J F. Nonlinear dynamics of polar-orthotropic circular plates.InternationalJournalofStructuralStabliltyandDynamics, 2011,6(2):253～268

12 周艷,張偉. 復(fù)合材料層合板的雙Hopf分叉分析. 動(dòng)力學(xué)與控制學(xué)報(bào), 2015,13(3):161～164 (Zhou Y, Zhang W. Double Hopf bifurcations of composite laminated thin plate.JournalofDynamicsandControl, 2015,13(3):161～164 (in Chinese))

13Golubisky M, Schaeffer D G. Singularities and groups in bifurcation theory I. Applied Mathematical Sciences, Springer,1985

14Golubisky M, Schaeffer D G. Singularities and groups in bifurcation theory II. Applied Mathematical Sciences, Springer,1988

*The project supported by the National Natural Science Foundation of China (NNSFC) (11402127), Inner Mongolia Normal University Foundation(2013ZRYB17)

? Corresponding author E-mail: yanzhou0924@163.com

23 May 2016,revised 15 June 2016.

DOUBLE HOPF BIFURCATIONS OF RECTANGULAR THIN PLATES SIMPLY SUPPORTED FOUR EDGES*

Zhou Yan1?Zhang Wei2

(1.CollegeofMathmaticsScience,InnerMongoliaNormalUniversity,Hohhot010022,China)(2.CollegeofMechanicalEngineering,BeijingUniversityofTechnology,Beijing100124,China)

Based on the singularity theory, this paper studies the double Hopf bifurcation problem of one rectangular thin plate with simply supported four edges under the combined action of parametric excitation and external excitation in the cases of primary parametric resonance and 1∶3 internal resonance. The bifurcation equation of rectangular thin plate with simple supported edges is obtained by considering the case of weak damping and weak excitation, and the bifurcation diagram of the rectangular thin plate is also given. Taking the damping coefficient, external excitation, excitation parameters and tuning parameters of rectangular thin plate as different values, the equilibrium solutions of thin plate generate Hopf bifurcation, and bifurcate to periodic solutions. The nonlinear vibration form of thin plate system is periodic motion. When the values of other parameters for the rectangular plate satisfy the given conditions, 1∶3 resonant double Hopf bifurcation of the thin plate can be obtained. Subsequently, the four edges-simply supported rectangular plate also show almost periodic vibration.

double Hopf bifurcation, thin plate, periodic solution, stationary solutions

*國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11402127),內(nèi)蒙古師范大學(xué)基金資助項(xiàng)目(2013ZRYB17)

10.6052/1672-6553-2016-035

2016-05-23收到第1稿,2016-06-15收到修改稿.

? 通訊作者 E-mail: yanzhou0924@163.com