■河南省平頂山市第一中學(xué) 胡 玉 王麗娜

圓錐曲線重要考點分析

■河南省平頂山市第一中學(xué) 胡 玉 王麗娜

圓錐曲線問題一般是以直線和圓錐曲線的位置關(guān)系為載體,以參數(shù)處理為核心,需要綜合運用函數(shù)與方程、不等式、平面向量等諸多知識,以及數(shù)形結(jié)合、分類討論等多種數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行求解,對考生的代數(shù)恒等變形能力、計算能力等有較高的要求。

考點1——圓錐曲線中的定點、定值問題

定點、定值問題是解析幾何解答題的考查重點。此類問題定中有動,動中有定,并且常與軌跡問題、曲線系問題等相結(jié)合,深入考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等知識。

(1)求橢圓C的方程;

(2)如圖1所示,A、B、D是橢圓C的頂點,P是橢圓C上除頂點外的任意一點,直線DP交x軸于點N,直線AD交BP的延長線于點M,設(shè)BP的斜率為k,MN的斜率為m,證明:2m-k為定值。

思路點撥：(1)根據(jù)a,b,c的關(guān)系求出a,b的值;(2)設(shè)出直線BP的斜率k,得到直線BP的方程,結(jié)合橢圓的方程求出點P的坐標(biāo),聯(lián)立直線AD和BP的方程解得點M的坐標(biāo),根據(jù)D、P、N三點共線得到點N的坐標(biāo),求出直線MN的斜率后代入所求的式子即可解得答案。

圖1

點評:在解決圓錐曲線中的定點、定值問題時,可以先研究一下特殊情況,找出定點或定值,再視具體情況進(jìn)行研究。同時,也要掌握巧妙利用特殊值解決相關(guān)的定值、定點問題的選擇題或填空題,如將過焦點的弦特殊化,變成垂直于對稱軸的弦來研究等。

考點2——圓錐曲線中的最值、范圍問題

已知拋物線C的頂點為O(0, 0),焦點為F(0,1)。

(1)求拋物線C的方程;

(2)如圖2,過點F作直線交拋物線C于A、B兩點,若直線AO、BO分別交直線l:y=x-2于M、N兩點,求|MN|的最小值。

思路點撥：(1)根據(jù)條件和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,可直接求出;(2)根據(jù)直線方程及拋物線方程寫出MN長度的解析式,再根據(jù)求出的解析式選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ笞钪怠?/p>

解析：(1)由題意可設(shè)拋物線C的方程為x2=2py(p〉0),則=1,所以拋物線C的方程為x2=4y。

(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的方程為y=kx+1。

圖2

點評:求最值或范圍問題時常見的解法: (1)幾何法,若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義,可考慮利用圖形性質(zhì)來解決;(2)代數(shù)法,若題目中的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系,則可首先建立目標(biāo)函數(shù),再求最值。

考點3——圓錐曲線中的存在性問題

存在性問題屬于探索性問題的范疇,是近幾年高考的熱點題型,主要探索是否存在滿足某些條件的點、直線或數(shù)值等。

圖3

(1)求橢圓C的方程。

(2)AB是經(jīng)過右焦點F的任一弦(不經(jīng)過點P),設(shè)直線AB與直線l相交于點M,記PA、PB、PM的斜率分別為k1、k2、k3,問:是否存在常數(shù)λ,使得k1+k2=λk3?若存在,求出λ的值;若不存在,請說明理由。

思路點撥：(1)由點在橢圓上和離心率建立方程組求出橢圓的方程。(2)設(shè)出直線的方程,將其與橢圓的方程結(jié)合得到一個一元二次方程,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出A、B兩點坐標(biāo)之間的關(guān)系和點M的坐標(biāo),由此得出相應(yīng)直線的斜率,根據(jù)A、F、B三點共線得出相應(yīng)坐標(biāo)之間的關(guān)系,從而求出常數(shù)的值。

依題設(shè)知a=2c,則b2=3c2。 ②

將②代入①,解得c2=1,a2=4,b2=3。

故橢圓C的方程為+=1。

(2)由題意可設(shè)AB的斜率為k,則直線AB的方程為y=k(x-1)。 ③

代入橢圓方程3x2+4y2=12,整理得(4k2+3)x2-8k2x+4(k2-3)=0。

點評:(1)解決存在性問題的關(guān)注點。求解存在性問題,先假設(shè)存在,推證滿足條件的結(jié)論,若結(jié)論正確,則存在;若結(jié)論不正確,則不存在。①當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時要分類討論。②當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時,先假設(shè)成立,再推出條件。

(2)存在性問題的解題步驟,如圖4。

圖4

強化訓(xùn)練 設(shè)P是圓x2+y2=4上的任意一點,由點P向x軸作垂線PP0,垂足為P,且=。

(1)求點M的軌跡C的方程。

(2)設(shè)直線l:y=kx+m(m≠0)與(1)中的軌跡C交于不同的兩點A、B。若直線OA、AB、OB的斜率成等比數(shù)列,求實數(shù)m的取值范圍。

解析：(1)設(shè)點M(x,y),P(x0,y0),由題意知P0(x0,0)。

(責(zé)任編輯 王福華)