■廣東省開平市教倫中學(xué) 劉世洪

向量知識(shí)在橢圓中的滲透

■廣東省開平市教倫中學(xué) 劉世洪

向量知識(shí)與圓錐曲線的交匯問題已成為高考的熱點(diǎn)問題。在平時(shí)的學(xué)習(xí)中就應(yīng)當(dāng)注意并積累這一熱點(diǎn)問題的各種解法。橢圓方程是圓錐曲線中的一種重要曲線方程,在學(xué)習(xí)橢圓時(shí),我們就要把向量與橢圓的交匯問題作為一個(gè)重要的題型來研究與學(xué)習(xí)。

一、向量知識(shí)背景下的線段的定比分點(diǎn)問題在橢圓中的滲透

(Ⅰ)求橢圓方程;

點(diǎn)評(píng):題設(shè)條件中出現(xiàn)有向線段所成的比,實(shí)際上是告訴我們一個(gè)向量方程,如果向量方程中的向量為坐標(biāo)表示,那么就為我們提供了一個(gè)求值的條件。因?yàn)槲粗獢?shù)的求解都是要通過方程來確定,而且向量方程為我們提供的是兩個(gè)代數(shù)方程,因?yàn)橄蛄糠匠痰忍?hào)兩邊的向量的橫、縱坐標(biāo)都要相等。就像該題由向量方得(-x1,2-y1)=2(x2,y2-2),于是獲得兩個(gè)代數(shù)方程-x1=2x2與2-y1=2y2-4。

二、共線向量與橢圓問題的交匯

三、向量數(shù)量積在橢圓中的滲透

(責(zé)任編輯 王福華)

由②③⑤得3m2=b2。 ⑥

由④⑥解得b2=3,m=±1適合①式。

故所求直線l的方程為y=x+1或y=x-1;橢圓C的方程為

點(diǎn)評(píng):若點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別為P(x1, y1),Q(x2,y2),則向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示為就像該題的題設(shè)條件一樣,如果告訴我們向量數(shù)量積的值為-3,則我們就可以通過該數(shù)量積建立方程x1x2+y1y2=-3,從而為下面的求值問題創(chuàng)造條件。