數(shù)學(xué)任務(wù)框架下的案例分析

四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院(610068) 盛朝陽 邵利

數(shù)學(xué)任務(wù)框架下的案例分析

四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院(610068) 盛朝陽 邵利

在四川成都七中第38屆研討會(huì)上開展了一節(jié)題為“識(shí)圖、變圖、用圖——函數(shù)的y=Asin(ωx+φ)圖像與性質(zhì)”的公開課,執(zhí)教的w老師發(fā)現(xiàn)在學(xué)習(xí)了正弦型函數(shù)的圖像與性質(zhì)后依然有部分學(xué)生對(duì)知識(shí)和方法掌握不牢,在問題解決時(shí)使用相關(guān)性質(zhì)不夠靈活,思想方法的理解相對(duì)薄弱,于是精心設(shè)計(jì)了這堂探究式的習(xí)題課.該節(jié)課的重點(diǎn)是讓學(xué)生掌握正弦型函數(shù)的圖像與性質(zhì),學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看待問題,用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)問題,用數(shù)學(xué)的思想方法分析、解決問題;難點(diǎn)在于圖像性質(zhì)的靈活運(yùn)用.為了突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn),w老師首先利用翻轉(zhuǎn)課堂的高效性,在課前通過微視頻讓學(xué)生回顧三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)并在練習(xí)中了解學(xué)生對(duì)舊知的掌握情況,使課堂更有針對(duì)性;其次通過巧取素材,將經(jīng)典的高考題深度融入素材中;然后在識(shí)圖過程中引導(dǎo)學(xué)生將圖形語言過渡到自然語言再轉(zhuǎn)換成符號(hào)語言,層層抽象逐步滲透數(shù)形結(jié)合、方程、等價(jià)轉(zhuǎn)換的思想,在變圖、用圖過程中啟發(fā)學(xué)生用圖編題并分析解決問題,培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí);最后通過小組合作,探討探究過程、分享探究成果,讓學(xué)生在探究中學(xué)習(xí)“數(shù)學(xué)化”,進(jìn)行“再創(chuàng)造”.整個(gè)教學(xué)過程充滿了學(xué)生思維的靈動(dòng),實(shí)現(xiàn)了與現(xiàn)代信息技術(shù)的有機(jī)結(jié)合,充分體現(xiàn)了基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下的課堂教學(xué).為了更深入剖析這節(jié)高質(zhì)量的習(xí)題課,了解學(xué)生在課堂中所投入的思維種類與水平,筆者嘗試透過數(shù)學(xué)任務(wù)框架去檢視這節(jié)課的數(shù)學(xué)任務(wù)在組織和實(shí)施階段學(xué)生認(rèn)知水平的變化情況.

1.數(shù)學(xué)任務(wù)框架

數(shù)學(xué)任務(wù)框架的核心是數(shù)學(xué)任務(wù),所謂數(shù)學(xué)任務(wù)不僅是課本或教師授課計(jì)劃中出現(xiàn)的問題,而且是圍繞教師和學(xué)生組織和實(shí)施那些問題所進(jìn)行的課堂活動(dòng).在框架中,任務(wù)在三個(gè)階段被加以檢視:(1)當(dāng)它出現(xiàn)于課程或教材或教師自己創(chuàng)造時(shí);(2)教師在課堂上創(chuàng)建或發(fā)布任務(wù)時(shí)(即任務(wù)的組織階段);(3)學(xué)生演算或思考時(shí)(即任務(wù)的實(shí)施階段).其中在任務(wù)組織和實(shí)施階段首要考慮的是學(xué)生的認(rèn)知水平,所謂認(rèn)知水平指學(xué)生參與任務(wù)時(shí)所投入的思維水平和種類[1],美國匹茲堡大學(xué)“QUASAR”(Quantitative Understanding:Amplifying Student Achievement and Reasoning)的研究依據(jù)學(xué)生參與任務(wù)的認(rèn)知水平,將數(shù)學(xué)任務(wù)分為4個(gè)水平:記憶型(重現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的記憶,不需要理解);無聯(lián)系的程序型(強(qiáng)調(diào)算法化的程序,不需要解釋意義);有聯(lián)系的程序型(雖有一般程序可循但須明確程序的聯(lián)系與意義,加以考慮地應(yīng)用);做數(shù)學(xué)(任務(wù)無明顯的解決途徑,需要非算法化的復(fù)雜思維).其中記憶型和無聯(lián)系的程序型屬于低認(rèn)知水平的任務(wù),有聯(lián)系的程序型和做數(shù)學(xué)屬于高認(rèn)知水平的任務(wù).

2.案例分析

首先對(duì)這節(jié)課主要教學(xué)環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)任務(wù)進(jìn)行梳理,然后以“QUASAR”的認(rèn)知水平為依據(jù),分析出任務(wù)在組織階段所處水平,如下.

“QUASAR”研究認(rèn)為除非學(xué)生經(jīng)常地、主動(dòng)地和富有成效地參與認(rèn)知上具有挑戰(zhàn)性的任務(wù),否則學(xué)生的學(xué)習(xí)不可能深入或獲得更加豐富的概念.[1]也就是要使學(xué)生的思維高水平參與到任務(wù)中的一個(gè)必要條件是組織和實(shí)施高認(rèn)知水平的任務(wù),而這也是提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的有利條件.由表1可知這節(jié)課的三個(gè)主要數(shù)學(xué)任務(wù)在組織階段均處于高認(rèn)知水平,但高認(rèn)知水平在任務(wù)實(shí)施階段不容易保持,常受到課堂環(huán)境中諸多因素的影響,那么這節(jié)課的三個(gè)高認(rèn)知水平任務(wù)在實(shí)施階段的情況如何?筆者利用數(shù)學(xué)任務(wù)框架這面“透鏡”繼續(xù)分析任務(wù)在實(shí)施階段的情況.

(1)高認(rèn)知水平任務(wù)的實(shí)施情況.

教學(xué)片斷一:

W:你能從圖中獲得哪些直觀信息?

W:哦,已經(jīng)計(jì)算出對(duì)稱軸了,還有沒有可直觀看出來的?

(此時(shí)學(xué)生似乎有些迷茫,由此教師繼續(xù)引導(dǎo))

W:想想我們從哪些角度觀察正弦函數(shù)圖像的?

(大多數(shù)學(xué)生回答:單調(diào)性、周期性、對(duì)稱性、奇偶性、最值等,由此啟發(fā)學(xué)生直接從圖像得到該函數(shù)在單調(diào)遞增)

可見學(xué)生通過圖像獲得信息比在已知條件下解題對(duì)學(xué)生而言顯得更困難,但面對(duì)陷入困境的學(xué)生,教師不是急于給出答案而是引導(dǎo)學(xué)生通過類比正弦函數(shù)的學(xué)習(xí)來觀察圖像特征,以搭建腳手架的方式啟發(fā)學(xué)生的思維,在過程中始終保持問題的復(fù)雜性.

教學(xué)片斷二:

W:能否將剛剛得到圖形信息轉(zhuǎn)為符號(hào)語言?

學(xué)生1展示:f(x)max=a

W:是否有遺漏?有沒有補(bǔ)充?

(通過小組討論后學(xué)生發(fā)現(xiàn)遺漏了單調(diào)性、對(duì)稱軸、對(duì)稱中心、對(duì)a限制,于是請(qǐng)學(xué)生繼續(xù)展示.)

學(xué)生2展示: 對(duì)稱軸:對(duì)稱中心:函數(shù)在上單增

(教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生2不僅對(duì)剛剛討論的遺漏信息用符號(hào)進(jìn)行正確表達(dá)而且求出了周期,于是接著提問請(qǐng)學(xué)生思考.)

W:能否對(duì)單調(diào)性、對(duì)稱軸、對(duì)稱中心進(jìn)行延拓?

學(xué)生3: 由周期可以對(duì)該函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱軸、對(duì)稱中心進(jìn)行延拓.

W:具體說說看.

學(xué)生3: 對(duì)稱 軸:x =對(duì)稱 中心:函數(shù)在上單增

W:還有沒補(bǔ)充?

學(xué)生4:可以把函數(shù)求出來.

學(xué)生4展示:(在展示過程中教師要求學(xué)生對(duì)每一步進(jìn)行解釋,并根據(jù)其做法有針對(duì)性的提問,如:φ有很多取值為什么最后只取了一個(gè)值?根據(jù)φ的取值說明不止一個(gè)函數(shù)滿足該圖像進(jìn)而得到該函數(shù)具有什么性質(zhì)?由此引導(dǎo)學(xué)生探究出正弦型函數(shù)圖像具有不變性,通過φ可做左右平移變換.)

由圖像觀察到性質(zhì)探究,教師不是一步就完成的,而是層層遞進(jìn),先直觀觀察,由圖形語言過渡到自然語言;再逐步抽象的,轉(zhuǎn)換成符號(hào)語言,讓學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合的思想,將學(xué)習(xí)知識(shí)技能的過程轉(zhuǎn)化成學(xué)習(xí)合作體驗(yàn)的過程.

教學(xué)片斷三:

W:根據(jù)學(xué)生4求φ的過程可總結(jié)出什么?

(教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出要求φ,只需找到一個(gè)只含未知數(shù)φ的方程即可.)

W:得到的方程式什么?

W:褪去函數(shù)的外衣得到什么?

W:和剛剛答案一樣嗎?是否會(huì)產(chǎn)生增根?

(在檢驗(yàn)過程中有學(xué)生開始質(zhì)疑.)

W:為什么?

圖2

(由此教師和學(xué)生一起總結(jié)出在利用平衡點(diǎn)求φ時(shí)要注意平衡點(diǎn)所處的位置,進(jìn)而清楚到底是kπ,2kπ還是π +2kπ)

根據(jù)學(xué)生4的展示,教師不斷追問,來開拓學(xué)生的思維,探究多種求φ的方法,其中利用平衡點(diǎn)求φ是學(xué)生最容易錯(cuò)的,針對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤,教師采用展示錯(cuò)誤,暴露其思維過程的方式來引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤、探究錯(cuò)誤的原因,建構(gòu)主義認(rèn)為:錯(cuò)誤是學(xué)習(xí)的一部分,為什么構(gòu)成錯(cuò)誤,如何構(gòu)成錯(cuò)誤與怎樣構(gòu)成正確答案一樣重要.學(xué)生的錯(cuò)誤不可能單獨(dú)依靠正面示范和反復(fù)練習(xí)得以矯正,必須經(jīng)歷一個(gè)“自我否定”的過程[2].教師將發(fā)現(xiàn)問題→分析問題→解決問題的過程交給學(xué)生這樣的方式更有利于學(xué)生通過“自我否定”錯(cuò)誤來達(dá)到正真的理解.

綜上,任務(wù)在實(shí)施階段仍處于做數(shù)學(xué)水平,保持了高認(rèn)知水平.

(2)高認(rèn)知水平任務(wù)的實(shí)施情況.

教師先請(qǐng)學(xué)生獨(dú)自思考并在平板電腦上編制題目,然后進(jìn)行小組討論,最后在全班展示,接著通過師生交流、生生討論,讓學(xué)生將題目進(jìn)行修正,使表述更加準(zhǔn)確完整.(如圖是學(xué)生5的展示過程)

圖3

針對(duì)學(xué)生5編制的題目學(xué)生6給出了不同的解答過程,該生認(rèn)為:“平移變換和伸縮變換是可以交換順序的”.還指出其中的易錯(cuò)點(diǎn)并用自己的語言進(jìn)行了總結(jié):“若先進(jìn)行伸縮變化再平移變換,則要將2作為x的整體系數(shù)提出后打包平移.”

由于時(shí)間有限,只展示了學(xué)生編制的一道題目,但在編制題目過程中,教師始終堅(jiān)信:只要給學(xué)生機(jī)會(huì),學(xué)生就會(huì)還你驚喜,把提出問題→分析問題→解決問題的過程交給學(xué)生,鼓勵(lì)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、去創(chuàng)造、大膽提出問題,培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí);在評(píng)價(jià)學(xué)生編制的題目時(shí),引導(dǎo)學(xué)生逐步將問題表述得更精煉、準(zhǔn)確,讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性.綜上,任務(wù)在實(shí)施階段仍處于做數(shù)學(xué)水平,保持了高認(rèn)知水平.

(3)高認(rèn)知水平任務(wù)的實(shí)施情況.

因?yàn)橐雅R近下課,沒有進(jìn)行小組交流,教師只請(qǐng)了一位學(xué)生分享學(xué)習(xí)體驗(yàn),然后由自己總結(jié)出這節(jié)課的數(shù)學(xué)思想方法,且在說明時(shí)略顯倉促,致使教師包辦了學(xué)生的思維,因此高認(rèn)知水平任務(wù)降為無聯(lián)系的程序性水平.

3.反思與啟示

數(shù)學(xué)任務(wù)是個(gè)非?；钴S的教學(xué)變量,一旦被釋放到真正的教室環(huán)境中,其特性將會(huì)發(fā)生變化.[3]通過數(shù)學(xué)任務(wù)框架對(duì)3個(gè)任務(wù)在組織和實(shí)施階段學(xué)生認(rèn)知水平變化情況的分析可知:3個(gè)任務(wù)在組織階段均處于高認(rèn)知水平,其中前兩個(gè)任務(wù)在實(shí)施階段仍保持高認(rèn)知水平,但第三個(gè)任務(wù)在實(shí)施階段降為無聯(lián)系的程序性水平.這從側(cè)面反映出教師沒有意識(shí)到課堂小結(jié)對(duì)學(xué)生形成高質(zhì)量的認(rèn)知結(jié)構(gòu)、提高元認(rèn)知能力有很大幫助,重視程度不夠.由此筆者認(rèn)為不能讓課堂小結(jié)只是流于形式,要尋找一種合理高效的小結(jié)方式,而概念圖只用了非常簡單的圓圈、箭頭、連線就能表達(dá)非常復(fù)雜的概念間、命題間的關(guān)系,有利于學(xué)生知識(shí)的整體化與系統(tǒng)化,并且在建構(gòu)知識(shí)間的有效聯(lián)結(jié)時(shí)滲透數(shù)學(xué)思想方法,可見利用概念圖進(jìn)行課堂小結(jié)能夠幫助學(xué)生在頭腦中形成一個(gè)集知識(shí)與思想于一體的有層次、有邏輯的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu),

從而突顯小結(jié)的目的與意義.在這節(jié)課的小節(jié)中可以先請(qǐng)學(xué)生獨(dú)立制作正弦型函數(shù)的概念圖(如圖3所示),在制作概念圖的過程中,學(xué)生會(huì)主動(dòng)思考正弦型函數(shù)的圖像特點(diǎn),圖像與性質(zhì)間的關(guān)系,正弦型函數(shù)與正弦函數(shù)的關(guān)系,如何從圖形語言轉(zhuǎn)化成符號(hào)語言等,在積極建構(gòu)知識(shí)間有意義聯(lián)結(jié)時(shí)滲透數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想.然后可進(jìn)行小組討論,全班交流,因?yàn)槊總€(gè)學(xué)生對(duì)概念的理解方式、程度都有所不同,頭腦中形成的概念理解圖式存在差異,因而制作出的概念圖也各不相同,有人說過:“差異是一種資源.”所以通過合作交流的方式,讓學(xué)生產(chǎn)生思維上的碰撞,建立概念、命題間具有創(chuàng)造性的有效聯(lián)結(jié),尤其在不同階層之間建立聯(lián)系,在不斷擴(kuò)展、修改概念圖的過程中,完善認(rèn)知結(jié)構(gòu).