甘肅省蘭州市榆中縣萃英學(xué)校(730100) 馬永勝

一道數(shù)學(xué)題給我的啟示

甘肅省蘭州市榆中縣萃英學(xué)校(730100) 馬永勝

這是一道曾經(jīng)出現(xiàn)在小學(xué)六年級數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)圓的面積計算后出現(xiàn)的一道求陰影部分計算的題目.就是一個邊長為1的正方形里面有兩個面積相同的扇形和一個半圓圍成,最后要計算這三個圖形重疊部分的面積.看似簡單,做起來的確不容易!

圖1

圖2

仔細(xì)觀察題目,試了好多種移動拼圖的方法,都沒能把這道題做出了.幾個晚上我冥思苦想,終于想到用做輔助線的方法把這個圖形化解成常見的圖形,然后用加減的辦法找出陰影部分的面積,下面把我的做法寫出來,和大家共勉.

一、作圖思路

1.用四邊形CEFD的面積減去扇形ECD的面積,就可得到弧面三角形EFD的面積.

2.用四邊形HCDF的面積減去三角形HCM的面積再減去扇形MCD的面積,剩下的就是弧面三角形MFD的面積.

3.弧面三角形EFD的面積減去弧面三角形MFD的面積就是弧面三角形EFM的面積.

4.扇形EFL的面積減去弧面三角形EFM的面積再乘以2就可算出圖中陰影部分的面積.

二、按照上面的解題思路,我對本道題作如下解答

已知:正方形邊長為“1”.

第一步: ∵Rt△ECF ～=Rt△DCF ∴四邊形CEFD的面積=FD×CD=∵在Rt△DCF 中,tan∠DCF=∴ ∠DCF ≈ 26.565°∴ ∠DCE=2∠DCF ≈53.13°∴扇形ECD的面積∴弧面三角形EFD的面積0.0366.

第三步:弧面三角形EFM=弧面三角形EFD-弧面三角MFD=0.0366-0.0219≈0.0147.

第四步: ∵ ∠EFL=90°- ∠BFE =90°-∠ECD=90°-53.13°≈ 36.87°∴扇形 ELF 的面積≈0.0804∴題目所求的陰影部分的面積=(扇形ELF的面積-弧面三角形EFM)×2=(0.0804-0.0147)×2≈0.06569×2≈0.13.

到此為止,這道題總算是解決了!

反過頭來,我們再看看這道題的條件,如果讓小學(xué)生做,幾乎是沒有辦法的.除非再增加兩個已知條件,那就是①∠DCF≈26.565°②∠MCT=30°.如果讓已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)知識的初中生去做這道題,知道tan就可以利用計算器算出∠DCF≈26.565°.總而言之,這道題讓只學(xué)習(xí)了圓面積和扇形面積計算的小學(xué)六年級學(xué)生去做,幾乎是不可能做出來的!

由此,我再次感受到人類數(shù)學(xué)界的一些看似簡單的題目,做起來卻不那么容易.比如哥德巴赫猜想:“任意大于2的偶數(shù),都可表示成兩個素數(shù)之和”,看似簡單,至今無人能夠證明.“1+1=2”人人都知道的結(jié)論,但無法證明.這就是數(shù)學(xué),一個神秘的學(xué)科.作為一名教師,希望我們有時間多研究一些題目,來動動自己日漸退化的腦筋.