蜘蛛網(wǎng)誘發(fā)的數(shù)學(xué)革命

孔凡哲　祖丹

在人類(lèi)發(fā)展史上相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)，代數(shù)問(wèn)題只能通過(guò)代數(shù)方法加以解決。而幾何問(wèn)題也只能通過(guò)幾何工具加以解決。正是由于一位偉大數(shù)學(xué)家笛卡兒一次偶然的發(fā)明。開(kāi)啟了人類(lèi)數(shù)學(xué)的新天地——這就是建立坐標(biāo)系、形成解析法。有了解析法這個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)工具。代數(shù)學(xué)與幾何學(xué)之間的壁壘被徹底打破。一門(mén)新的學(xué)科——解析幾何誕生了。

一、偶然中的必然

據(jù)說(shuō)，正服兵役的法國(guó)哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家笛卡兒。在一次戰(zhàn)斗中被俘，被關(guān)進(jìn)牢房。每天孤獨(dú)的時(shí)光無(wú)法打發(fā)，只有墻角上的那個(gè)蜘蛛網(wǎng)能給他帶來(lái)一絲快樂(lè)。他驚奇地發(fā)現(xiàn)。蹲在蜘蛛網(wǎng)中心的蜘蛛，總能準(zhǔn)確無(wú)誤地捕捉到撞到蜘蛛網(wǎng)上的蚊子、蒼蠅等獵物（如圖1所示）。為什么呢？

笛卡兒發(fā)現(xiàn)，埋伏在蜘蛛網(wǎng)中心的蜘蛛，能通過(guò)究竟是哪根蜘蛛網(wǎng)線震動(dòng)，以及震動(dòng)的強(qiáng)度。判斷獵物在哪個(gè)方位和距離中心有多遠(yuǎn)。

這意味著。在蜘蛛網(wǎng)上。確定一個(gè)點(diǎn)的位置。需要而且僅僅需要兩個(gè)量即可。

受蜘蛛捕捉獵物的啟發(fā)，笛卡兒發(fā)明了一種確定位置的有效工具——平面直角坐標(biāo)系。他的方法是：

在平面內(nèi)，畫(huà)兩條原點(diǎn)重合、相互垂直而且具有相同單位長(zhǎng)度的數(shù)軸。這樣就建立了平面直角坐標(biāo)系。

有了這個(gè)偉大的發(fā)明，人們就可用一對(duì)有序?qū)崝?shù)表示平面內(nèi)的點(diǎn)的位置。為了紀(jì)念笛卡兒這個(gè)重大貢獻(xiàn)。人們通常將平面直角坐標(biāo)系稱(chēng)為笛卡兒坐標(biāo)系，將這種方法稱(chēng)為解析法。

二、感受確定位置的多種方法。培養(yǎng)空間觀念

生活中經(jīng)常需要確定物體的位置。比如，確定學(xué)校的位置，對(duì)弈時(shí)確定棋子的位置。海戰(zhàn)中確定艦艇的位置等。在平面內(nèi)確定物體的位置，一個(gè)數(shù)據(jù)肯定是不夠的。比如。在電影院找座位。不僅需要知道第幾排。還需要知道第幾個(gè)座位。

利用方位角和距離，可以確定物體的位置。蜘蛛就是如此。一只蜘蛛想要抓住粘在蜘蛛網(wǎng)上的獵物，在實(shí)施抓捕前，它必須確定兩個(gè)數(shù)據(jù)：一個(gè)是獵物到自己的距離，另一個(gè)是獵物相對(duì)于自己的方位角。

與蜘蛛相似。炮兵對(duì)目標(biāo)進(jìn)行射擊時(shí)。需要確定方位角和距離。如下頁(yè)圖2所示。此時(shí)，炮兵就是憑借距離和方位角兩個(gè)數(shù)據(jù)對(duì)敵方陣地進(jìn)行精準(zhǔn)射擊的。

同樣地，我們可以用經(jīng)度和緯度確定位置。例如，2016年11月18日下午?？傦w行時(shí)間長(zhǎng)達(dá)33天的神舟十一號(hào)載人飛船順利返回著陸。人們利用“全球定位系統(tǒng)”——GPS，在茫茫草原上，很快找到了著陸的返回艙（如圖3所示）。這是因?yàn)槿蛉魏我粋€(gè)地方都存在唯一的經(jīng)度和緯度，可以通過(guò)目標(biāo)物（如神舟十一號(hào)飛船的返回艙）發(fā)出的信號(hào)，利用GPS測(cè)得它所在位置的經(jīng)度和緯度，就能順利找到返回艙。

雖然用來(lái)確定平面位置的方法多種多樣，但是，它們都有一個(gè)共同的特征，這就是需要兩個(gè)基本數(shù)據(jù)。亦即，在平面內(nèi)，確定點(diǎn)的位置需要兩個(gè)（彼此獨(dú)立的）數(shù)據(jù)。

三、積累幾何經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)一步發(fā)展數(shù)形結(jié)合意識(shí)

在生活中。平面直角坐標(biāo)系最重要的作用就是利用有序數(shù)對(duì)定位。

在象棋中，馬3進(jìn)4（第三列的馬進(jìn)到第四列）和馬4進(jìn)3（第四列的馬進(jìn)到第三列）中的3代表的含義是完全不同的。

在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于平面上的任意一點(diǎn)P，都有唯一的一個(gè)有序數(shù)對(duì)（a，b）與它對(duì)應(yīng)；反過(guò)來(lái)，對(duì)于任意一個(gè)有序數(shù)對(duì)（a，b），都有平面上唯一的一點(diǎn)P與它對(duì)應(yīng)。

下面是一道密碼題。如圖4。有兩組有序數(shù)對(duì)（2，5）（1，3）（4，6）（1，6）和（5，2）（3，1）（6，4）（6，1），你能根據(jù)這兩組有序數(shù)對(duì)分別找到所對(duì)應(yīng)的成語(yǔ)嗎？[注：（2，5）對(duì)應(yīng)的漢字是“天”]

那么，成語(yǔ)“破釜沉舟”對(duì)應(yīng)的密碼是什么？你還能找到哪些成語(yǔ)？請(qǐng)寫(xiě)出它們的密碼。

四、中考通關(guān)

例題（2016年呼和浩特）已知平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A在第三象限。對(duì)角線AC的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，一邊AB與戈軸平行且AB=2。若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，b），則點(diǎn)D的坐標(biāo)為_(kāi)___。

分析：這道題考查的是平行四邊形的性質(zhì)，用有序數(shù)對(duì)表示點(diǎn)的位置，坐標(biāo)圖形變換（對(duì)稱(chēng)）等知識(shí)，難度較大。根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到CD=AB=2。由已知條件得到點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2+a，b）或（a-2，6），再根據(jù)點(diǎn)D與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。即可得到結(jié)論。

解：如圖5所示。

∵四邊形ABCD是平行四邊形。

∴CD=AB=2。

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，b），AB與x軸平行。

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2+a，b）。

∵點(diǎn)D與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-2-a，-b）。

如圖6所示。

同理可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（a-2，b），而點(diǎn)D與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。故點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2-a，-6）。

綜上所述：點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-2-a，-b）或（2-a。-b）。