劉時(shí)

[摘要]數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，是解題的航標(biāo)燈?；瘹w與轉(zhuǎn)化思想是解決數(shù)學(xué)問題的一種基本思想，即把要解決的問題通過一系列的轉(zhuǎn)化與化歸，使其成為已解決的或較易解決的問題?；瘹w與轉(zhuǎn)化這種思維策略在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著廣泛的應(yīng)用，在具體的解題過程中發(fā)揮著重要的作用，教師要指導(dǎo)學(xué)和掌握好化歸轉(zhuǎn)化原則并在解題中靈活應(yīng)用。

[關(guān)鍵詞]高中數(shù)學(xué)；化歸；轉(zhuǎn)化；應(yīng)用

數(shù)學(xué)中的化歸與轉(zhuǎn)化思想方法，指在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時(shí)，通過某種轉(zhuǎn)化過程，歸結(jié)到一類已經(jīng)解決或比較容易解決的問題，最終求得問題的解答的一種手段和方法。在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，掌握好化歸與轉(zhuǎn)化思想的特點(diǎn)，學(xué)會(huì)在解題時(shí)注意依據(jù)問題本身所提供的信息，利用動(dòng)態(tài)思維，去尋求有利于問題解決的化歸與轉(zhuǎn)化的途徑和方法，對(duì)學(xué)好數(shù)學(xué)很有幫助。

一、化歸轉(zhuǎn)化的概念分析

化歸轉(zhuǎn)化法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一種分析問題解決問題的基本思想方法。化歸轉(zhuǎn)化的原則是以已知的、簡(jiǎn)單的、具體的、特殊的、基本的知識(shí)為基礎(chǔ)，將未知的化為已知的，復(fù)雜的化為簡(jiǎn)單的，抽象的化為具體的，一般的化為特殊的，非基本的化為基本的，從而得出正確的解答。它是將一個(gè)非基本的問題通過分解、變形、代換，或運(yùn)用平移、旋轉(zhuǎn)和伸縮等多種方式，化歸為一個(gè)熟悉的基本的問題，從而求出解答。簡(jiǎn)而言之，化歸是一種目的性的轉(zhuǎn)化?；瘹w思想，是將一個(gè)問題由難化易，由繁化簡(jiǎn)，由復(fù)雜化簡(jiǎn)單的過程，它是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的簡(jiǎn)稱。

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，總會(huì)出現(xiàn)各種各樣的數(shù)學(xué)問題，掌握解題方法從而高效解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目標(biāo)。只有把握精準(zhǔn)的數(shù)學(xué)解題方法，才能解決多樣的數(shù)學(xué)問題。在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段，學(xué)生必須掌握化歸轉(zhuǎn)化思想，如數(shù)形結(jié)合、等價(jià)代換等，熟練運(yùn)用化歸思想解題是學(xué)好數(shù)學(xué)的良好途徑。實(shí)施等價(jià)轉(zhuǎn)化這一化歸思想的時(shí)候，教師要在教材中挖掘化歸與轉(zhuǎn)化的思想，在教學(xué)設(shè)計(jì)中進(jìn)行滲透，在實(shí)際教學(xué)過程中辯證地對(duì)待這一思想方法，把難解決、抽象的問題化歸與轉(zhuǎn)化成比較直觀的問題。

二、化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用策略

事實(shí)上，數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化比比皆是，如未知向已知轉(zhuǎn)化，復(fù)雜問題向簡(jiǎn)單問題轉(zhuǎn)化，新知識(shí)向舊知識(shí)的轉(zhuǎn)化，命題之間的轉(zhuǎn)化，數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，空間向平面的轉(zhuǎn)化，高維向低維轉(zhuǎn)化，多元向一元轉(zhuǎn)化，高次向低次轉(zhuǎn)化等，這些都是轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn)。對(duì)于數(shù)學(xué)習(xí)題的解答，關(guān)鍵是如何順藤摸瓜，順利實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化。熟練、扎實(shí)地掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本方法是轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ)；豐富的聯(lián)想、機(jī)敏細(xì)微的觀察、比較、類比是實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的橋梁。

1.熟悉化策略

當(dāng)學(xué)生面臨的是一道以前沒有接觸過的陌生題目時(shí)，要設(shè)法把它化為曾經(jīng)解過的或比較熟悉的題目，以便使學(xué)生充分利用已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)或解題模式，順利地解出原題。學(xué)生對(duì)于題目的熟悉程度，取決于對(duì)題目自身結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)和理解。從結(jié)構(gòu)上來分析，任何一道解答題，都包含條件和結(jié)論（或問題）兩個(gè)方面。因此，要把陌生的題目轉(zhuǎn)化為熟悉的題目，教師可指導(dǎo)學(xué)生變換題目的條件、結(jié)論（或問題），從而順利完成解答。充分聯(lián)想回憶基本知識(shí)和題型，可以幫助學(xué)生熟悉更好地進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。按照波利亞的觀點(diǎn)，在解決問題之前，我們應(yīng)充分聯(lián)想和回憶與原有問題相同或相似的知識(shí)點(diǎn)和題型，充分利用相似問題中的方式、方法和結(jié)論，從而解決現(xiàn)有的問題。對(duì)于同一道數(shù)學(xué)題，可以指導(dǎo)學(xué)生從不同的側(cè)面、不同的角度去認(rèn)識(shí)，全方位、多角度分析題意。學(xué)生根據(jù)自己的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，適時(shí)調(diào)整分析問題的視角，有助于更好地把握題意，找到自己熟悉的解題方向。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，同一素材的題目，常?？梢杂胁煌谋憩F(xiàn)形式，條件與結(jié)論（或問題）之間，也存在著多種聯(lián)系方式。因此，構(gòu)造輔助元素，有助于改變題目的形式，溝通條件與結(jié)論（或條件與問題）的內(nèi)在聯(lián)系，把陌生題轉(zhuǎn)化為熟悉題。數(shù)學(xué)解題中，構(gòu)造的輔助元素多種多樣，常見的有構(gòu)造圖形（點(diǎn)、線、面、體），構(gòu)造算法，構(gòu)造多項(xiàng)式，構(gòu)造方程（組），構(gòu)造坐標(biāo)系，構(gòu)造數(shù)列，構(gòu)造行列式，構(gòu)造等價(jià)性命題，構(gòu)造反例，構(gòu)造模型等。

2.簡(jiǎn)單化策略

當(dāng)學(xué)生面臨的是一道結(jié)構(gòu)復(fù)雜、難以入手的題目時(shí)，教師要設(shè)法引導(dǎo)學(xué)生把它轉(zhuǎn)化為一道或幾道比較簡(jiǎn)單、易于解答的新題，以便通過對(duì)新題的考查，啟迪解題思路，以簡(jiǎn)馭繁，解出原題。簡(jiǎn)單化是熟悉化的補(bǔ)充和發(fā)揮。一般說來，我們對(duì)于簡(jiǎn)單問題往往比較熟悉或容易熟悉。因此，在實(shí)際解題時(shí)，這兩種策略常常是結(jié)合在一起進(jìn)行的，只是著眼點(diǎn)有所不同而已。解題中，實(shí)施簡(jiǎn)單化策略的途徑是多方面的，常用的有 尋求中間環(huán)節(jié)、分類考察討論、簡(jiǎn)化已知條件、恰當(dāng)分解結(jié)論等。具體進(jìn)行解題時(shí)，可尋求中間環(huán)節(jié)，挖掘隱含條件。一些結(jié)構(gòu)復(fù)雜的綜合題，就其生成背景而論，大多是由若干比較簡(jiǎn)單的基本題，經(jīng)過適當(dāng)組合抽去中間環(huán)節(jié)而構(gòu)成的。因此，從題目的因果關(guān)系入手，尋求可能的中間環(huán)節(jié)和隱含條件，把原題分解成一組相互聯(lián)系的系列題，是實(shí)現(xiàn)復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化的一條重要途徑。數(shù)學(xué)題解題的復(fù)雜性，主要在于它的條件、結(jié)論（或問題）包含多種不易識(shí)別的可能情形。對(duì)于這類問題，選擇恰當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，把原題分解成一組并列的簡(jiǎn)單題，有助于實(shí)現(xiàn)復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化。有些數(shù)學(xué)題，條件比較抽象、復(fù)雜，不太容易入手。這時(shí)，不妨簡(jiǎn)化題中某些已知條件，甚至?xí)簳r(shí)撇開不顧，先考慮一個(gè)簡(jiǎn)化問題。這樣簡(jiǎn)單化了的問題，對(duì)于解答原題，常常能起到穿針引線的作用。有些問題，解題的主要困難，來自結(jié)論的抽象概括，難以直接和條件聯(lián)系起來，這時(shí)，不妨猜想一下，能否把結(jié)論分解為幾個(gè)比較簡(jiǎn)單的部分，以便各個(gè)擊破，解出原題。

3.直觀化策略

當(dāng)學(xué)生面對(duì)的是一道內(nèi)容抽象、不易捉摸的題目時(shí)，要設(shè)法把它轉(zhuǎn)化為形象鮮明、直觀具體的問題，以便憑借事物的形象把握題中所提及的各對(duì)象之間的聯(lián)系，找到原題的解題思路。有些數(shù)學(xué)題，內(nèi)容抽象，關(guān)系復(fù)雜，給學(xué)生理解題意增添了困難，常常會(huì)由于題目的抽象性和復(fù)雜性，使正常的思維難以進(jìn)行到底。對(duì)于這類題目，教師可以引導(dǎo)學(xué)生借助圖表的直觀性，利用示意圖或表格分析題意，使抽象內(nèi)容形象化，復(fù)雜關(guān)系條理化，思維有相對(duì)具體的依托，便于學(xué)生深入思考，發(fā)現(xiàn)解題線索。有些涉及數(shù)量關(guān)系的題目，如果用代數(shù)方法求解，計(jì)算量偏大，可以讓學(xué)生借助圖形，給題中有關(guān)數(shù)量以恰當(dāng)?shù)膸缀畏治?，拓寬解題思路，找出簡(jiǎn)捷、合理的解題途徑。不少涉及數(shù)量關(guān)系的題目，與函數(shù)的圖象密切相關(guān)，靈活運(yùn)用圖象的直觀性，常常能以簡(jiǎn)馭繁，獲取簡(jiǎn)便、巧妙的解法。

4.正難則反原則

當(dāng)數(shù)學(xué)問題的正面討論遇到困難時(shí)，可考慮問題的反面，設(shè)法從問題的反面去探討，使問題獲解。（1）直接轉(zhuǎn)化法：把原問題直接轉(zhuǎn)化為基本定理、基本公式或基本圖形問題。（2）換元法：運(yùn)用“換元”把式子轉(zhuǎn)化為有理式或使整式降冪等，把較復(fù)雜的函數(shù)、方程、不等式問題轉(zhuǎn)化為易于解決的基本問題。（3）數(shù)形結(jié)合法：研究原問題中數(shù)量關(guān)系（解析式）與空間形式（圖形）關(guān)系，通過互相變換獲得轉(zhuǎn)化途徑。（4）等價(jià)轉(zhuǎn)化法：把原問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)易于解決的等價(jià)命題，從而達(dá)到化歸的目的。（5）特殊化方法：把原問題的形式向特殊化形式轉(zhuǎn)化，并證明特殊化后的問題、結(jié)論適合原問題。

掌握化歸轉(zhuǎn)化方法對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有著重要的意義。平時(shí)學(xué)習(xí)中，教師應(yīng)努力培養(yǎng)訓(xùn)練學(xué)生的化歸與轉(zhuǎn)化意識(shí)，讓學(xué)生對(duì)定理、公式、法則有本質(zhì)的深刻理解，對(duì)典型習(xí)題進(jìn)行總結(jié)和提煉，有意識(shí)地去發(fā)現(xiàn)事物之間的本質(zhì)聯(lián)系，從而更好地學(xué)好數(shù)學(xué)。

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（責(zé)任編輯 史玉英）