李向正,王 飛,張金良

(河南科技大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院,河南 洛陽471023)

色散系數(shù)可調(diào)的球KdV方程精確衰減孤波解

李向正,王 飛,張金良

(河南科技大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院,河南 洛陽471023)

根據(jù)簡化齊次平衡原則，導出了一個由齊次方程的解到一個可變色散系數(shù)的球KdV方程解的非線性變換。該齊次方程容許有指數(shù)函數(shù)形式的解，通過非線性變換，獲得了可變色散系數(shù)的球KdV方程的精確衰減單孤波解和雙孤波解。

球KdV方程；簡化齊次平衡原則；精確衰減孤波解

0 引言

空間或等離子實驗室中的離子聲波,尤其是離子聲孤波的非線性傳播受到了較多的關(guān)注,并被廣泛研究[1]。 多種因素如離子溫度、離子梯度密度、外部穩(wěn)恒磁場、斜傳播等對離子聲孤波結(jié)構(gòu)的影響都被研究過，但這些研究限定于無界平面幾何中，不符合實驗室裝置或空間的現(xiàn)實。近年來，對離子聲波或塵埃離子聲波的理論研究表明，在有界的柱體/球體中孤波的性質(zhì)與無界平面幾何中有很大不同。文獻[1]利用標準的約化擾動法導出了耗散的柱/球KdV方程。文獻[2]導出了柱/球KdV方程，并利用坐標轉(zhuǎn)換將柱KdV方程轉(zhuǎn)化為普通KdV方程,得到了單孤波解，但沒有得到球KdV方程的解析解。文獻[3]利用齊次平衡原則得到了柱KdV方程的雙孤波解。等離子體中的朗繆爾(Langmuir)孤波受到強烈的朗道(Landau)阻尼作用后將衰減,而孤立子的形成、發(fā)展和衰減的過程，反映了等離子體中波和粒子能量的轉(zhuǎn)換作用,但一般認為衰減形式的孤立子無法給出解析表達式[4]。

衰減型孤波解是一個重要的研究領(lǐng)域,相關(guān)問題的研究將推進離子聲波，特別是離子聲孤波理論的進展。文獻[5]借助Backlund變換和Hirota方法獲得了柱KP方程的衰減型解。文獻[6]借助簡化齊次平衡原則得到非線性變換，得到了柱KP方程的衰減孤波解,參數(shù)取特殊值時，可以獲得柱KdV方程的衰減型孤波解。但利用文獻[6]的方法無法獲得球KdV方程

的解析解。文獻[7]無法給出上述球KdV方程的精確解，只給出了球KdV方程的近似解析解，并借助數(shù)值模擬來進行比較。文獻[8]提出了一種求解球KdV方程的解法，借助變量變換將球KdV方程轉(zhuǎn)換為變系數(shù)KdV方程，由于文獻[8]中方程(16)形式有誤，因而事實上并未解決球KdV方程求精確解的問題。而變系數(shù)KdV方程

ut+α(t)uux+β(t)uxxx=0

關(guān)于方程系數(shù)解析求解的限制條件[8-9]是：

由此可以看出,變系數(shù)非線性數(shù)學物理方程要獲得精確解析解，對方程的系數(shù)有一定的限定條件。文獻[10]指出：對于南海北部孤立子內(nèi)波的研究，可以通過參數(shù)調(diào)整來反演觀測得到的孤立子內(nèi)波,并據(jù)此探討孤立子內(nèi)波發(fā)生的動力機制和源地?？梢钥紤]通過調(diào)整參數(shù)來獲得球KdV方程的精確解析解。

本文考慮如下形式的球KdV方程：

(1)

其中：g=g(t)作為色散項uxxx的系數(shù)，是可以調(diào)整的函數(shù)。下面將用簡化齊次平衡原則[6,11-12]確定g=g(t)，并求出其精確解。

1 球KdV方程的非線性變換

考慮方程(1)中非線性項uux和色散項uxxx之間的齊次平衡[3,6,9,11-12](2m+1=m+3→m=2)，按照簡化齊次平衡原則(用對數(shù)函數(shù)A(lnφ)取代HB方法中的F(φ))[6,11-12]，可設(shè)球KdV方程(1)的解具有如下形式：

(2)

將式(2)代入方程(1)的左端得：

(3)

為了簡化式(3),令A(yù)(t)與g(t)滿足條件：

(4)

條件(4)有如下解：

(5)

其中：k為任意常數(shù)。

利用式(5),調(diào)整方程(1)中色散項的系數(shù)g(t)，則方程(1)成為如下形式的球KdV方程：

(6)

方程(6)的解具有如下形式：

(7)

式(3)可簡化為：

只要φ(x,t)滿足齊二次方程

(8)

根據(jù)式(6)、式(7)和式(8)可得：若φ(x,t)是齊二次方程(8)的一個解，將其代入式(7)就得到球KdV方程(6)的解。式(7)和齊二次方程(8)就構(gòu)成了球KdV方程(6)的一個非線性變換。

2 球KdV方程的精確衰減單孤波解

設(shè)齊二次方程(8)的一個解為：

φ(x,t)=1+eξ，ξ=λx+q(t)，

(9)

其中：λ為常數(shù)；q(t)為待定函數(shù)。

將式(9)代入齊二次方程(8)得：

由方程

可解出:

(10)

其中：λ,C為任意常數(shù)。將解(10)代入式(9)得齊二次方程(8)的一個解為：

(11)

從而可得球KdV方程(6)的一個精確衰減單孤波解為：

(12)

圖1 k=1,λ=2,α=1時解(12)的圖形

k=1,λ=2,α=1時，解(12)的圖形見圖1。從圖1中可以看出：解(12)的振幅隨時間t的增大而衰減。

3 球KdV方程的精確衰減雙孤波解

為了獲得球KdV方程(6)的更多解析解,需要找到齊二次方程(8)的更多解。設(shè)齊二次方程(8)的解具有如下形式：

φ(x,t)= 1+εφ(1)+ε2φ(2)+

ε3φ(3)+…，

(13)

其中：φ(i)(i=1,2,3,…)為待定函數(shù)；ε為小參數(shù)(為了簡化可取ε=1)。將式(13)代入齊二次方程(8)，合并ε(i)(i=1,2,3,…)的同類項，令ε(i)(i=1,2,3,…)的系數(shù)為零，得到關(guān)于φ(i)(i=1,2,3,…)的一族方程為：

(14)

注意到方程族(14)的左側(cè)均為線性方程,方程族(14)的第2式及以后的方程右側(cè)依賴于前面方程解出的φ(i)(i=1,2,3,…),只要解出φ(1),便能依序從同樣的線性方程中解出φ(i)(i=2,3,…)。由于方程族(14)的第1式為線性方程,φ(1)很容易解出。作為求解示例，取

(15)

易知，式(15)中的φ(1)滿足方程族(14)的第1式。將式(15)代入方程族(14)的第2式右側(cè)得：

(16)

方程(16)有如下解：

(17)

將式(15)、式(16)和式(17)代入方程族(14)的第3式，合并整理得：

取φ(3)=0，從而

φ(n)=0，n≥3。

(18)

由式(18)可知，式(13)被截斷。將式(15)、式(17)和式(18)代入式(13)，取ε=1，可得齊二次方程(8)的解：

φ(x,t)=1+eη1+eη2+a12eη1+η2。

(19)

將式(19)代入式(7)，得到球KdV方程(6)的精確衰減雙孤波解：

(20)

圖2 k=1,α=1，λ1=2,λ2=3時解(20)的圖形

4 結(jié)束語

對于通常的球KdV方程，至今尚無法求出其精確解。本文給出了一個變色散系數(shù)的球KdV方程，用簡化齊次平衡方法求出了該球KdV方程的精確衰減單孤波解和雙孤波解。

致謝:本文得到王明亮教授的指導，在此表示感謝。

[1] XUE J K.Cylindrical and spherical ion-acoustic solitary waves with dissipative effect[J].Physics letters a,2004,322:225-230.

[2] LIU H F,WANG S Q,WANG Z L,et al.Propagation of cylindrical and spherical dust-ion acoustic solitary waves in a relativistic dusty plasma[J].Advances in space research,2013,51:2368-2373.

[3] WANG M L,WANG Y M,ZHOU Y B.An auto-Backlund transformation and exact solutions to a generalized KdV equation with variable coefficients and their applications[J].Physics letters a,2002,303:45-51.

[4] 戴文龍,賀賢土,霍裕平,等.等離子體中Langmuir波、橫波和離子聲波相互作用過程的孤立子行為[J].物理學報,1987,36(1):67-73.

[5]DENGSF.ThedecaymodesolutionsforthecylindricalKPequation[J].Appliedmathematicsandcomputation,2012,218:5974-5981.

[6]WANGML,ZHANGJL,LIXZ.DecaymodesolutionstocylindricalKPequation[J].Appliedmathematicsandcomputation,2016,62:29-34.

[7] 石玉仁,楊紅娟,段文山,等.柱Burgers方程和球Burgers方程的解析解[J].西北師范大學學報(自然科學版),2007,43(4):37-40.

[8] 付遵濤,劉式達,劉式適,等.含變系數(shù)或強迫項的KdV方程的新解[J].應(yīng)用數(shù)學和力學,2004,25(1):67-73.

[9]WANGML,WANGYM.AnewBacklundtransformationandmulti-solitonsolutionstotheKdVequationwithgeneralvariablecoefficients[J].Physicslettersa,2001,287:211-216.

[10] 蔡樹群,甘子鈞.南海北部孤立子內(nèi)波的研究進展[J].地球科學進展,2001,16(2):215-219.

[11]WANGML,LIXZ.SimplifiedHomogeneousbalancemethodanditsapplicationstotheWhitham-Broer-Kaupmodelequations[J].Journalofappliedmathematicsandphysics,2014,2(8):823-827.

[12]WANGML,ZHANGJL,LIXZ.N-dimensionalauto-Backlundtransformationandexactsolutionston-dimensionalBurgerssystem[J].Appliedmathematicsletters,2017,63:46-52.

國家自然科學基金項目(11301153,11601225);河南科技大學校級科技創(chuàng)新平臺建設(shè)項目(2015XPT001)

李向正(1972-),男,河南偃師人,副教授,博士,主要研究方向為非線性數(shù)學物理方程.

2017-03-15

1672-6871(2017)06-0070-04

10.15926/j.cnki.issn1672-6871.2017.06.014

O175.2

A