侯樂毅，唐俊星

(1.中航工業(yè)金城南京機(jī)電液壓研究中心，南京211106；2.西北工業(yè)大學(xué)動力與能源學(xué)院，西安710072)

三維裂紋前緣參數(shù)化網(wǎng)格模型研究

侯樂毅1，唐俊星2

(1.中航工業(yè)金城南京機(jī)電液壓研究中心，南京211106；2.西北工業(yè)大學(xué)動力與能源學(xué)院，西安710072)

為實現(xiàn)三維疲勞裂紋擴(kuò)展自動模擬及獲得更高精度的應(yīng)力強(qiáng)度因子，在實體參數(shù)化建模的基礎(chǔ)上，自編程開發(fā)了兩種參數(shù)化裂尖網(wǎng)格模型，分別對應(yīng)奇異元法和虛擬裂紋擴(kuò)展法(VCCT法)計算應(yīng)力強(qiáng)度因子，且兩種參數(shù)化網(wǎng)格可互換以便相互驗證。兩種裂紋模型均精心設(shè)計，裂紋前緣網(wǎng)格正交，過渡均勻，疏密可調(diào)。與解析解的對比結(jié)果表明，兩種參數(shù)化網(wǎng)格模型均有很高的計算精度，可為一般工程結(jié)構(gòu)獲得較高精度的應(yīng)力強(qiáng)度因子結(jié)果提供技術(shù)支持。

三維疲勞裂紋；裂紋擴(kuò)展；虛擬裂紋擴(kuò)展法；應(yīng)力強(qiáng)度因子；參數(shù)化網(wǎng)格模型；奇異元法

stress intensity factor；parametric gridmodel；singular elementmethod

1 引言

應(yīng)用有限元法計算三維裂紋強(qiáng)度因子及模擬裂紋擴(kuò)展已有大量原創(chuàng)性成果，涌現(xiàn)出多種裂紋建模思路及相應(yīng)裂紋模型，在眾多領(lǐng)域有效地解決了大量的工程斷裂問題。國外具有代表意義的成果有德國的ADAPCRACK3D[1]、英國的ZENCRACK[2]及美國的Franc3D[3]軟件等。與其他兩個軟件不同的是，ADAPCRACK3D裂尖附近網(wǎng)格沒有采用奇異單元，而是用低階常規(guī)單元所應(yīng)用的虛擬裂紋閉合法(VCCT法)獲得應(yīng)力強(qiáng)度因子。國內(nèi)研究工作主要是基于通用有限元軟件(如ANSYS或ABAQUS軟件)進(jìn)行二次開發(fā)，編制程序包，并部分程序已做到裂紋擴(kuò)展自動模擬。如徐杰[4]基于ABAQUS平臺與Hy?perMesh軟件，研究了三維平片裂紋擴(kuò)展模擬技術(shù)，并開發(fā)了AxDPFlow程序，裂紋建模效率得到提高，但其應(yīng)力強(qiáng)度因子沿裂紋前緣變化還不夠光順，精度還可進(jìn)一步提升；唐俊星等[5]基于ANSYS平臺用APDL語言進(jìn)行二次開發(fā)，實現(xiàn)了三維裂紋平片擴(kuò)展自動模擬通用技術(shù)，但在裂尖網(wǎng)格模型方面采用了相對較簡單的網(wǎng)格，裂紋前緣也沒有采用正交網(wǎng)格；于培師[6]通過預(yù)先開發(fā)典型裂紋參數(shù)化子模型數(shù)據(jù)庫的思路，將子模型嵌入到實體模型中或有限元模型中，實現(xiàn)了平片裂紋的自動模擬；賈旭等[7]為避應(yīng)力狀態(tài)假設(shè)，應(yīng)用應(yīng)力擬合法計算應(yīng)力強(qiáng)度因子。陳景杰等[8]比較了20節(jié)點(diǎn)和12節(jié)點(diǎn)奇異元這兩種有限元模型，研究了應(yīng)力強(qiáng)度因子對裂尖網(wǎng)格參數(shù)的敏感性。俞樹榮等[9]通過奇異元法建立表面裂紋模型，研究了應(yīng)力強(qiáng)度因子對表面裂紋擴(kuò)展的影響。齊桂營[10]進(jìn)行了具有傾斜裂紋的CTS試樣三維斷裂行為的研究，其裂紋前緣過渡網(wǎng)格具有特色，亦是采用的VCCT法計算應(yīng)力強(qiáng)度因子；此外，林曉斌[11-12]、Shivakumar[13]、Rybicki[14]、樊鴻[15]等也對疲勞裂紋和應(yīng)力強(qiáng)度因子進(jìn)行了大量研究，獲得了豐碩成果。由于這些研究成果各自的三維裂紋建模方法及相關(guān)細(xì)節(jié)不同，這些方法和程序在繁雜度、工程通用性、掌握的難易程度、效率與計算精度方面各有差別。

進(jìn)行裂紋擴(kuò)展模擬常常遇到的難點(diǎn)有：①含裂結(jié)構(gòu)有限元建模過程比較繁雜，往往需人工干預(yù)，重復(fù)性工作量大，有時還需要與外圍前處理軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)交換，工程應(yīng)用效率低。②部分裂紋模型幾何類型通用性較差，針對具體幾何尺度的特定結(jié)構(gòu)相對容易實現(xiàn)裂紋建模和擴(kuò)展模擬，但編制適用程序比較難，能普遍適用于各種復(fù)雜工程結(jié)構(gòu)或各種不同類型的裂紋問題的模型較少。③裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子計算精度不穩(wěn)定，這主要由兩方面原因產(chǎn)生，一方面是各模型裂紋前緣網(wǎng)格劃分方式不同，且各種裂紋參量的獲取方法對裂紋尖端附近網(wǎng)格質(zhì)量的敏感性不一；另一方面是裂紋參量的計算精度需設(shè)計者具有一定的技巧和數(shù)值計算經(jīng)驗。因此，工程中需要一種建模相對簡單、通用性強(qiáng)、精度好、掌握復(fù)雜度低、自動化程度高的裂紋擴(kuò)展模擬方法。應(yīng)力強(qiáng)度因子計算作為疲勞裂紋擴(kuò)展模擬中最基本最核心問題，本文將著重探討三維平片裂紋尖端的局部網(wǎng)格模型，并比較位移法和VCCT法獲取應(yīng)力強(qiáng)度因子的精度。

2 三維裂紋實體參數(shù)化模型

裂紋建模采用文獻(xiàn)[5]提出的實體參數(shù)化建模，其基本建模思路是將完整塊分割成裂紋塊(由6個子塊構(gòu)成)和非裂塊，裂紋塊包裹著裂紋面，然后裂紋塊與非裂塊進(jìn)行無縫組裝，整個組裝體仍可以是整個零件或其局部子塊。這種組裝技術(shù)可稱為實體局部鑲嵌技術(shù)，其組裝過程如圖1所示。

圖1 含裂塊的無縫組裝Fig.1 Geometric subdivision of cracked structure

裂紋實體參數(shù)化建模的關(guān)鍵在于裂紋塊的形成過程。裂紋塊的幾何形狀受裂紋前緣線形狀控制。首先以控制裂紋前緣的點(diǎn)列作為參數(shù)，創(chuàng)建描述裂紋的B樣條曲線，并在首尾端部按斜率適當(dāng)延長(以適應(yīng)曲面表面)；再在裂紋前緣擴(kuò)展的正、反方向形成2條間距為d的等間距線，并將d設(shè)為與裂紋前緣曲線長度L相關(guān)聯(lián)的參數(shù)。針對不同類型裂紋，d與L的比值可不同，一般表面裂紋d/L可在0.025～0.050范圍之間，如圖2所示。然后以此3條曲線為中心，裂紋面正、反法向各復(fù)制3條間距為d的等間距線，以這9條曲線為框架，按自下而上完成6個子塊建模，并通過部分關(guān)鍵點(diǎn)合并的方法將重合的上下裂紋面包裹入其中，如圖3所示。最后將這6個子塊與完整塊進(jìn)行布爾運(yùn)算，形成6個裂子紋塊和非裂塊[5]。

圖2 裂紋前緣等間距曲線Fig.2 Equidistantcurve on crack front

圖3 包裹著的裂紋面Fig.3 Embodied crack surfacesof cracked block

這種實體的劃分方式的突出優(yōu)點(diǎn)是與裂紋相連的4個小子塊為拓?fù)湫螤钜?guī)則的長方體，其截面為“田”字形，裂紋前緣網(wǎng)格劃分容易自編程實現(xiàn)。

本文采用的實體局部鑲嵌技術(shù)特點(diǎn)是，同一套參數(shù)可控制局部外形不同但拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)等價的不同零件裂紋建模，其幾何結(jié)構(gòu)通用性強(qiáng)。除解決結(jié)構(gòu)幾何適應(yīng)性方面問題外，為更方便于工程應(yīng)用，避免出現(xiàn)過多參數(shù)，降低程序復(fù)雜度，針對不同類型的裂紋，開發(fā)了相應(yīng)典型裂紋程序庫。不同的裂紋類型對應(yīng)不同的一套參數(shù)，如將裂紋程序庫類型分為表面裂紋、角裂紋、內(nèi)埋裂紋、穿透裂紋、雙裂紋、非平片裂紋等。各種類型裂紋擴(kuò)展的模擬都將在AN?SYS環(huán)境中進(jìn)行，不需再借用其他前后處理軟件。

3 裂尖網(wǎng)格參數(shù)化模型

3.1 奇異元參數(shù)化網(wǎng)格模型

裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子計算主要分為直接法和間接法。直接法中，將有限元軟件獲得的裂紋尖端節(jié)點(diǎn)位移或應(yīng)力代入裂紋尖端位移漸近式可獲得應(yīng)力強(qiáng)度因子(SIF)，或由大型有限元軟件內(nèi)嵌程序直接輸出裂紋尖端的SIF。直接法中主要有位移外推法、1/4邊單(雙重)中節(jié)點(diǎn)位移法、應(yīng)力法等。節(jié)點(diǎn)位移為有限元計算后直接輸出量，因而位移法最簡單，但要獲得較好精度必須要求裂紋尖端附近具有較高的網(wǎng)格質(zhì)量。因此，當(dāng)采用位移法求解應(yīng)力強(qiáng)度因子時，常常需要配合使用1/4邊中節(jié)點(diǎn)奇異元，以降低在裂尖附近布置大量常規(guī)單元的要求。

盡管國內(nèi)外相關(guān)文獻(xiàn)及軟件出現(xiàn)的三維裂紋尖端網(wǎng)格模型各式各樣，但當(dāng)采用奇異元法計算裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子時，其核心點(diǎn)基本相同：即圍繞裂尖，網(wǎng)格通常被設(shè)計成蜘蛛網(wǎng)狀的放射式，最靠近裂尖的一圈單元為三菱柱形，且與裂尖相連的單元邊中節(jié)點(diǎn)被移置到邊長的1/4處，形成奇異楔形單元，如圖4所示。

圖4 裂尖通用網(wǎng)格模型Fig.4 Generalmeshmodelof cracked block

雖然各種文獻(xiàn)在裂紋尖端附近網(wǎng)格劃分思路上取得了統(tǒng)一，但具體劃分時有關(guān)參數(shù)取值不同。如圍繞裂紋雖然均是按蜘蛛網(wǎng)式一圈圈地布置節(jié)點(diǎn)，單元按一層一層如洋蔥片一樣有規(guī)律排列，但生成單元的層數(shù)往往不同，且圍繞裂尖周向單元分割的份數(shù)也相異，常見份數(shù)有6、8、12、16、24、32、40等幾種，還有各層單元之間尺寸相對比值或與裂紋尺寸的絕對比值也不盡然相同。因此，裂紋尖端附近網(wǎng)格劃分受人為因素影響的成分較大，應(yīng)力強(qiáng)度因子計算精度從而受之影響，給工程應(yīng)用帶來一定困惑。

結(jié)合本文裂紋實體模型特點(diǎn)及大量數(shù)值試探實驗的結(jié)果，本文推薦的裂紋塊參數(shù)化網(wǎng)格模型如圖5所示。圖中，與裂紋尖端相連的4個核心子塊采用自編程序生成放射式網(wǎng)格，另2個子塊ANSYS程序可采用Sweep方式自由劃分，單元類型選擇Solid95或Solid186。在該裂紋模型中，圍繞裂紋尖端周向均勻布置24個楔形單元，相當(dāng)于每個單元的楔角為15°，為ANSYS軟件推薦單元形狀最小角度的下限。再進(jìn)一步綜合考慮計算精度和計算效率的平衡，在田字形截面中，劃分層數(shù)6～10層單元，各層單元尺寸大致均勻，沿著裂紋曲線方向劃分50～200個單元。這樣布置的單元數(shù)量適中、網(wǎng)格過渡均勻、單元形狀比一般不超過4，既可用1/4雙節(jié)點(diǎn)位移計算應(yīng)力強(qiáng)度因子，又有足夠多的節(jié)點(diǎn)適用于位移外推法。

圖5 裂紋塊參數(shù)化網(wǎng)格模型Fig.5 Parametricmeshmodelof cracked block

為保證裂紋塊與非裂塊在邊界上網(wǎng)格劃分完全一致，先用Mesh200單元采用MAPPED方式劃分兩者的公共面，這些公共面上的節(jié)點(diǎn)即為裂紋塊的邊界節(jié)點(diǎn)。自編程序中，保留這些邊界節(jié)點(diǎn)不再重新生成，使得裂紋塊與非裂塊的邊界上具有公共節(jié)點(diǎn)，保證了兩者的位移協(xié)調(diào)。

3.2 VCCT法參數(shù)化網(wǎng)格模型

VCCT法可采用低階的實體單元來計算復(fù)雜的三維斷裂問題[13]，其基本原理是將新開裂的裂紋面所增加的表面能等效為減少的外力勢能。或者相反，新閉合的裂紋面表面能等于增加的外力勢能。當(dāng)然，這一新開裂(或閉合)微小尺寸的裂紋面是人為假定，因此最初的虛擬裂紋擴(kuò)展法需要兩步計算，計算開裂前后的外力勢能差即為裂紋界面能。由于假定開裂尺寸不可能無限小，因此理論上講VCCT法為近似間接法估算應(yīng)力強(qiáng)度因子方法。

介于虛擬裂紋擴(kuò)展法進(jìn)行二次有限元分析的不便，Rybicki等[14]提出了修正的裂紋閉合積分方法，僅一次有限元計算，簡稱MVCCI方法。但MVCCI法需對裂紋前緣網(wǎng)格進(jìn)行精心劃分，使得虛擬裂紋擴(kuò)展前后裂紋前緣位移場或節(jié)點(diǎn)力近似相等。

文獻(xiàn)[10]的研究結(jié)果表明，VCCT法求解應(yīng)力強(qiáng)度因子的精度，關(guān)鍵在于裂紋前緣網(wǎng)格尺寸及劃分方式。通常，裂紋前緣網(wǎng)格在裂紋擴(kuò)展正、負(fù)方向單元分布均勻、大小一致。同時，與二維裂紋不同，三維裂紋前緣局部可能曲率較大(圖6)，造成裂紋前緣上相鄰兩單元邊夾角 β較大程度地偏離180°(偏離越嚴(yán)重，擴(kuò)展前后位移場相似性越難以保證)，裂紋擴(kuò)展方向與單元夾角α對裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子的計算精度也有一定影響。減少總體自由度數(shù)。

圖6 曲線三維裂紋前緣局部Fig.6 Curve on local three-dimensional crack front

本文的VCCT法網(wǎng)格與奇異元網(wǎng)格通過參數(shù)控制可相互切換，而可維持非裂紋塊網(wǎng)格相同，方便于選擇不同的計算應(yīng)力強(qiáng)度因子方法，以便相互驗證。

圖7 VCCT法裂紋尖端參數(shù)化網(wǎng)格Fig.7 Virtual Crack Closure Technique for parametricmesh modelof crack tip

三維裂紋實體參數(shù)化模型在裂紋前緣附近形成4個截面大小相等的規(guī)則六面體，容易生成大小一致的網(wǎng)格，與VCCT法要求的均勻網(wǎng)格劃分要求自然匹配。圖7為設(shè)計的裂紋前緣網(wǎng)格，整個網(wǎng)格分為中心部位單元和外圍單元兩部分。中心部位被均勻劃分成6×6共36個單元，且單元在裂紋擴(kuò)展方向和裂紋面法向均等距，外圍單元為放射式過渡單元，且中心單元的尺寸及過渡單元的圈數(shù)均設(shè)計成可調(diào)參數(shù)。而在田字邊界與奇異單元邊界網(wǎng)格劃分?jǐn)?shù)一致，可保持兩種網(wǎng)格的互換性。中心單元與外圍單元均采用低階Solid45單元。為減小α與 β的影響，除在裂紋前緣形成正交網(wǎng)格外，還可采用局部松弛網(wǎng)格。采用松弛網(wǎng)格目的是在裂紋塊邊界網(wǎng)格與中心的36個裂尖單元間形成適當(dāng)?shù)倪^渡網(wǎng)格，有利于

4 算例

4.1 受傾斜的均勻拉伸應(yīng)力作用的內(nèi)埋圓裂紋算例

分別用奇異元法和VCCT法對有理論解的內(nèi)埋圓形裂紋進(jìn)行應(yīng)力強(qiáng)度因子計算，以驗證裂紋模型計算應(yīng)力強(qiáng)度因子的精度。

如圖8所示，一半徑為a的圓形裂紋受傾斜拉伸作用，傾斜角為γ，其投影與 X軸的夾角為ω。文獻(xiàn)[16]給出了該問題應(yīng)力強(qiáng)度因子的解析解，文獻(xiàn)[15]也對該問題應(yīng)用有限元進(jìn)行了裂紋建模分析(其計算最大相對誤差為2.3%)。為便于比較，本文所取幾何參數(shù)與文獻(xiàn)[15]的一致，即內(nèi)埋圓形裂紋半徑為1mm，圓柱半徑為20mm，圓柱高40mm。材料彈性模量為2×105MPa，泊松比為0.3，均勻拉伸載荷為100MPa。

對于該內(nèi)埋裂紋，由于存在對稱性，取半個圓柱體進(jìn)行有限元建模(裂紋模型取γ=45°，ω=0)。采用奇異單元模型計算裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子，其有限元網(wǎng)格見圖9。奇異單元網(wǎng)格模型裂紋尖端采用圖5所示的參數(shù)化網(wǎng)格，圍繞裂紋周向分為24個單元，沿著裂紋前緣分100個單元。VCCT法采用圖7(b)中的低階松弛網(wǎng)格過渡網(wǎng)格，中心36個單元，過渡單元為6圈。

圖8 內(nèi)埋圓形裂紋受傾斜均勻拉伸作用力示意圖Fig.8 Uniform slope tension effectson an internal circular crack

圖9 有限元計算網(wǎng)格劃分Fig.9 Computationalmesh generation using finite elementmethod

圖10為奇異元法應(yīng)力強(qiáng)度因子計算結(jié)果與解析解的比較。圖中：KⅠ、KⅡ、KⅢ分別為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ型應(yīng)力強(qiáng)度因子。可看出，其計算結(jié)果與解析解十分吻合。無論是Ⅰ型應(yīng)力強(qiáng)度因子，還是其他兩個分量(對應(yīng)Ⅱ、Ⅲ型)，其結(jié)果與解析解的差別從圖中已無法分辨。

圖10 奇異元法計算結(jié)果與解析解的比較Fig.10 Comparison between FEM solution and theoretical result

對于Ⅰ型應(yīng)力強(qiáng)度因子，奇異元法最大相對誤差小于0.05%；對于Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子，其最大相對誤差小于0.10%；對于Ⅲ型應(yīng)力強(qiáng)度因子，其最大相對誤差為0.51%(101個節(jié)點(diǎn)中，95個計算點(diǎn)相對誤差小于0.10%，4個節(jié)點(diǎn)的相對誤差在0.10%～0.51%之間，2個理論值為0)。

圖11示出了VCCT法計算結(jié)果與解析解的相對誤差。對于Ⅰ型應(yīng)力強(qiáng)度因子，VCCT法最大相對誤差介于0.20%～0.25%之間；對于Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子，其最大相對誤差介于0.05%～0.15%之間；對于Ⅲ型應(yīng)力強(qiáng)度因子，其最大相對誤差介于0.15%～0.30%之間。

圖11 VCCT法計算應(yīng)力強(qiáng)度因子與解析解的相對誤差Fig.11 Comparison between VCCT and theoretical resultbased on relative error of stress intensity factor

從計算結(jié)果與解析解的對比分析可以看出，無論是本文建立的奇異元法網(wǎng)格模型還是VCCT法網(wǎng)格模型，獲得的應(yīng)力強(qiáng)度因子精度都很高。雖然VCCT法平均誤差略大，但其誤差趨于均勻化，相對誤差的分散性反而小于奇異單元法，顯示出很好的數(shù)值穩(wěn)定性。

4.2 渦輪葉片疲勞裂紋擴(kuò)展算例

某渦輪葉片按前述方法建立的具有裂尖的計算網(wǎng)格如圖12所示，在離心和氣動力共同作用下渦輪葉片發(fā)生疲勞破壞。通過模擬分析該葉片疲勞破壞形貌，其結(jié)果與實際渦輪葉片疲勞裂紋擴(kuò)展的對比如圖13所示，可見其形貌吻合良好。

圖12 渦輪葉片裂紋塊計算網(wǎng)格Fig.12 Computationalmesh generation of the turbinewith the cracked block

圖13 渦輪葉片裂紋擴(kuò)展軌跡數(shù)值模擬結(jié)果與實際開裂形貌的對比Fig.13 Comparison between calculation and reality for crack shape developmentofa turbine blade

5 結(jié)論

基于參數(shù)化設(shè)計思想，分別開發(fā)了奇異元法和VCCT法對應(yīng)的兩種裂尖參數(shù)化網(wǎng)格模型。這兩種模型首先通過實體分塊，將裂尖附近劃分出比較規(guī)則的實體模型，然后選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)進(jìn)行網(wǎng)格細(xì)化，并通過編程實現(xiàn)裂紋體與無裂體網(wǎng)格的無縫對接，并保證裂紋前緣網(wǎng)格正交。算例驗證表明，三維實體裂紋前緣參數(shù)化網(wǎng)格模型建模方法合理、可行，具有良好的計算精度。

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M esh param eterizationm odelsof three-dim ensional crack front

HOU Le-yi1，TANG Jun-xing2
(1.Nanjing Engineering Institute of AircraftSystems，Jincheng，AVIC，Nanjing 211106，China；2.Schoolof Power and Energy，Northwestern PolytechnicalUniversity，Xi’an 710072，China)

To realize the automatic 3D crack fatigue propagation simulation and obtain higher accuracy of stress intensity factor(SIF),on the basis of the parametric entitymodeling,two kinds of parametricmesh of near crack tip were developed,which corresponding to the singular elementmethod and virtual crack clo?sure technique(VCCT)to calculate the SIF,and both parametricmesh were interchangeable formutual au?thentication.Both crack models were carefully designed,using uniform transition orthogonal grid near the crack tip,and densitywas adjustable also along the crack front.Compared with analytical solution results,it shows that both kinds of parametric grid model have high calculation precision,thus can provide a techni?calsupport in achievingmore accurate resultof the SIF for a generalengineering structure.

three dimensional fatigue crack；crack propagation；virtual crack closure technique；

V231.9；O346.1

A

1672-2620(2017)03-0042-06

2017-04-11；

2017-05-12

侯樂毅(1977-)，男，山東濰坊人，高級工程師，主要從事輔助動力系統(tǒng)研究。