葉九龍, 張杰

(1.成都工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 汽車工程系，成都 610061；2.西南交通大學(xué) 牽引動(dòng)力國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，成都 610031)

滾動(dòng)軸承在航空航天、機(jī)械裝備等領(lǐng)域廣泛應(yīng)用[1]。在交變載荷下，軸承套圈易出現(xiàn)表面裂紋和內(nèi)部裂紋[2]。當(dāng)出現(xiàn)表面裂紋和內(nèi)部裂紋時(shí)，套圈局部剛度改變，會(huì)影響其結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)和振動(dòng)特征[2],故可通過監(jiān)測(cè)結(jié)構(gòu)剛度的變化實(shí)現(xiàn)對(duì)軸承套圈損傷的檢測(cè)。

通過開展裂紋引起的軸承套圈振動(dòng)特征變化的研究，可診斷和識(shí)別套圈的裂紋失效形式。國(guó)內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了大量研究，文獻(xiàn)[1]推導(dǎo)了圓環(huán)彎扭振動(dòng)的表達(dá)式，計(jì)算了不同邊界條件的圓環(huán)特征值；文獻(xiàn)[3]研究了軸對(duì)稱圓環(huán)的平面彎曲振動(dòng)特征，得到圓環(huán)面內(nèi)彎曲振動(dòng)的固有表達(dá)式。若選取合適的軸承套圈參數(shù)時(shí)，軸承套圈存在頻率接近為0的近似正交模態(tài)；文獻(xiàn)[4]研究了軸向極化壓電陶瓷薄圓環(huán)的徑向振動(dòng)特征，推導(dǎo)了其機(jī)電等效電路，獲得了圓環(huán)振子的共振與反共振頻率方程，并對(duì)其結(jié)果進(jìn)行了試驗(yàn)驗(yàn)證；文獻(xiàn)[5]采用有限元法對(duì)系列均質(zhì)平面圓環(huán)的振動(dòng)特征進(jìn)行了分析，研究了疊層平面圓環(huán)的振動(dòng)特征以及疊層對(duì)其振動(dòng)的影響，并進(jìn)行試驗(yàn)研究；文獻(xiàn)[6]基于有限元法仿真分析了圓環(huán)的諧振頻率；文獻(xiàn)[7]研究了正常圓環(huán)和圓環(huán)梁結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)特征。

大多數(shù)研究主要集中在正常軸承套圈的振動(dòng)特征[1-12]，而對(duì)裂紋引起的軸承外圈的振動(dòng)特征變化研究較少，尤其是內(nèi)部裂紋引起的振動(dòng)特征變化。鑒于此，以含內(nèi)部裂紋的軸承外圈為研究對(duì)象，基于有限元法建立正常軸承外圈和含內(nèi)部裂紋軸承外圈的有限元模型，仿真分析內(nèi)部裂紋對(duì)外圈固有頻率、模態(tài)振型及模態(tài)振型曲率的影響。

1 理論分析

1.1 球軸承外圈的振動(dòng)特征

自由支承條件下，軸承外圈存在徑向和軸向彎曲振動(dòng)，徑向彎曲振動(dòng)的n-1階固有頻率為[12]

(1)

式中：n為固有頻率的階次；E為彈性模量；ρ為密度；S為橫截面積；Ia為截面慣性矩；R為中徑半徑。

基于有限元法的軸承外圈自由模態(tài)仿真分析，首先采用有限元法對(duì)外圈進(jìn)行單元離散，再構(gòu)建外圈的數(shù)學(xué)模型，求解外圈的特征值與特征向量，得到的特征值為外圈的固有頻率，特征向量為外圈的振型。

以廣義坐標(biāo)x描述n個(gè)自由度的受迫振動(dòng)系統(tǒng)，在外載荷的作用下，通過動(dòng)力學(xué)理論得到外圈的運(yùn)動(dòng)微分方程為[11]

(2)

模態(tài)分析為軸承外圈的固有特性，與所受外載荷無關(guān)，且在求解外圈的固有特性時(shí)，阻尼對(duì)外圈的固有特性影響較小。故(2)式轉(zhuǎn)化為[11]

(3)

令

x=Asinω(t-t0)，

(4)

式中：A為第n階位移向量x的幅值向量，即振型；ω為與向量A對(duì)應(yīng)的自然頻率；t為時(shí)間；t0為初始條件確定的時(shí)間常數(shù)。

將(4)式代入(3)式得系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)方程為

(K-ω2M)A=0，

(5)

1.2 球軸承外圈模態(tài)振型曲率[13-14]

假設(shè)通過有限元法得到軸承外圈的模態(tài)振型矢量為φ，根據(jù)差分原理，計(jì)算外圈的曲率模態(tài)矩陣，令Sij為矩陣φ的元素，則外圈的曲率模態(tài)矩陣為

(6)

式中：i為外圈有限元模型的節(jié)點(diǎn)號(hào)，i= 1，2，…，n；j為模態(tài)頻率的階次,j=1，2，…，6 ；li為外圈有限元模型的單元長(zhǎng)度。

2 模型建立

正常軸承外圈如圖1所示，R1為外圈內(nèi)半徑，R2為外圈外半徑，T為厚度。含內(nèi)部裂紋的軸承結(jié)構(gòu)如圖2所示，L為裂紋的長(zhǎng)度，H2為寬度，H1為裂紋下表面距離軸承外圈內(nèi)表面的距離，該裂紋為軸向內(nèi)部裂紋。裂紋尖端區(qū)域有限元模型如圖3所示。為準(zhǔn)確描述裂紋特性，對(duì)裂紋尖端區(qū)域采用奇異單元進(jìn)行離散。為簡(jiǎn)化有限元模型，假設(shè)軸承外圈為理想圓環(huán)結(jié)構(gòu)，但要保證其彈性模量、密度、橫截面積、截面慣性矩和中徑半徑與理論模型一致。為減少計(jì)算和提高計(jì)算精度，對(duì)正常外圈和含內(nèi)部裂紋外圈的有限元模型采用高質(zhì)量的四邊形殼平面應(yīng)變單元進(jìn)行網(wǎng)格劃分，以滿足計(jì)算精度要求。軸承外圈整體有限元的單元總數(shù)為10 560，節(jié)點(diǎn)總數(shù)為11 220。球軸承外圈的兩端面為自由端面或被剛性光滑面所固定，不發(fā)生縱向位移，采用二維平面應(yīng)變單元對(duì)外圈建模[15]。

圖1 正常軸承外圈

圖2 含裂紋軸承外圈

圖3 裂紋尖端模型

選取R1為62.5 mm，R2為72 mm，T為19 mm，L為8 mm，H2為0.3 mm，H1為1 mm。軸承外圈材料為GCr15鋼，彈性模量為210 GPa，密度為7 800 kg/m3，泊松比為0.3。

3 結(jié)果與分析

通過有限元法對(duì)正常軸承外圈和含內(nèi)部裂紋的軸承外圈進(jìn)行自由模態(tài)分析[16]，提取前6階固有頻率和模態(tài)振型及其曲率進(jìn)行分析。正常和含內(nèi)部裂紋的軸承外圈固有頻率見表1。通過(1)式得到軸承外圈的前6階頻率分別為2 610，7 300，13 230，20 670，29 896，39 670 Hz。由表1可以看出，有限元法和理論計(jì)算法計(jì)算基本一致，說明有限元法的模型正確。

由表1可知，內(nèi)部裂紋使軸承外圈的前6階固有頻率減小，但減小幅度降低，僅通過固有頻率的變化對(duì)外圈的內(nèi)部裂紋進(jìn)行診斷和識(shí)別比較困難。

表1 有限元分析結(jié)果

正常和含內(nèi)部裂紋軸承外圈的前6階模態(tài)振型分別如圖4和圖5所示。由圖可知，內(nèi)部裂紋對(duì)外圈模態(tài)振型的整體形態(tài)影響較小，由于裂紋區(qū)域局部剛度變化，在裂紋區(qū)域引起的局部模態(tài)變化較為明顯。前6階模態(tài)中，裂紋存在閉合和張開2種模態(tài)振型；第1，2和3階，裂紋區(qū)域?yàn)殚]合模態(tài)振型；第4，5和6階，存在閉合和張開2種模態(tài)振型。

圖4 正常軸承外圈模態(tài)振型

含內(nèi)部裂紋軸承外圈前6階模態(tài)振型曲率如圖6所示,由圖可知，正常軸承外圈模態(tài)振型曲率(曲線1)為光滑曲線，而含內(nèi)部裂紋的軸承外圈模態(tài)振型曲率(曲線2)在裂紋區(qū)域存在明顯的突變現(xiàn)象。內(nèi)部裂紋會(huì)對(duì)外圈模態(tài)振型曲率產(chǎn)生較大的影響，且其影響區(qū)域即為裂紋所在的區(qū)域，故可通過診斷和識(shí)別外圈模態(tài)振型的曲率得到內(nèi)部裂紋所在位置。

由于模態(tài)振型存在特殊節(jié)點(diǎn)，即振幅為0的節(jié)點(diǎn)，模態(tài)振型曲率可能出現(xiàn)對(duì)于特殊節(jié)點(diǎn)或其他影響而導(dǎo)致無突變的情況。內(nèi)部裂紋長(zhǎng)度對(duì)軸承外圈第4階模態(tài)振動(dòng)曲率的影響如圖7所示。3種裂紋工況的高度和深度分別為0.3，1 mm。由圖7可知，對(duì)于不同長(zhǎng)度尺寸的內(nèi)部裂紋，模態(tài)曲率方法也同樣適用。

圖5 含內(nèi)部裂紋軸承外圈模態(tài)振型

圖6 軸承外圈模態(tài)振型曲率

圖7 內(nèi)部裂紋長(zhǎng)度對(duì)軸承外圈第4階模態(tài)振型曲率的影響

4 結(jié)論

1)內(nèi)部裂紋會(huì)使軸承外圈固有頻率減小，但減小幅度較小；只采用固有頻率的變化對(duì)外圈的內(nèi)部裂紋進(jìn)行診斷和識(shí)別比較困難。

2)內(nèi)部裂紋對(duì)軸承外圈模態(tài)振型的整體形態(tài)影響較小，但在裂紋存在的區(qū)域引起的局部模態(tài)變化較為明顯。

3)內(nèi)部裂紋對(duì)外圈模態(tài)振型曲率有較大影響，影響區(qū)域即為裂紋所在區(qū)域，可通過分析外圈模態(tài)振型的曲率來診斷和識(shí)別內(nèi)部裂紋所在位置。