于忠德，劉東升，王鋒，李兵

(1.沈陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院，沈陽 110000;2.軍械工程學(xué)院 四系，石家莊 050003)

軸承的振動信號中包含了豐富的運(yùn)行狀態(tài)信息，而且能夠在設(shè)備運(yùn)轉(zhuǎn)狀態(tài)下采集，因此廣泛采用振動信號對軸承進(jìn)行故障分析與診斷[1-3]。大量研究表明，機(jī)械系統(tǒng)的振動信號具有較強(qiáng)的非線性特性，研究振動信號的非線性特征提取技術(shù)是軸承故障診斷的關(guān)鍵[4-6]。近年來，分形理論在很多涉及非線性分析的領(lǐng)域獲得了廣泛應(yīng)用，在振動信號分析中的應(yīng)用研究也取得了大量成果[7-9]。

分形理論對分析對象的一個重要假設(shè)是其具有嚴(yán)格的自相似性，但該性質(zhì)在實(shí)際信號中很難滿足。這種非嚴(yán)格自相似性體現(xiàn)在2個層面：1)空間分布上的非嚴(yán)格自相似性(也叫非均勻性)，一般采用多重分形或廣義分形維數(shù)理論處理；2)尺度上的非嚴(yán)格自相似性，可采用多尺度分形理論處理。然而，廣義分形維數(shù)考慮了信號在空間分布上的非嚴(yán)格自相似性[8]，但沒有考慮信號在尺度上的非嚴(yán)格自相似性；多尺度分形考慮了信號在尺度上的非嚴(yán)格自相似性[10]，但沒有考慮信號在空間分布上的非均勻性。因此，提出采用多尺度廣義分形矩陣表征軸承振動信號，同時考慮信號的空間非嚴(yán)格自相似性和尺度非嚴(yán)格自相似性，以對軸承振動信號的非線性特性進(jìn)行更加全面和完整的表征。

目前，在信號分形維數(shù)估計中應(yīng)用最廣泛的方法是計盒法，但由于其采用了規(guī)則劃分網(wǎng)格的特性，估計的分形維數(shù)有很大的不穩(wěn)定性，因此，采用形態(tài)學(xué)覆蓋法[8-9]估計軸承振動信號的分形維數(shù)，并進(jìn)行對比驗(yàn)證。

1 形態(tài)學(xué)分形維數(shù)

1.1 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)基本運(yùn)算

腐蝕和膨脹是數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的基本運(yùn)算算子，其他數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)算子均以這2個基本算子為基礎(chǔ)。由于文中只涉及一維振動信號的處理，因此僅給出腐蝕和膨脹在一維函數(shù)上的定義。

假設(shè)f(n)為定義在F={0,1,2,…,N-1}上的待分析信號，g(m)為定義在G={0,1,2,…,M-1}上的結(jié)構(gòu)元素，其中N為信號點(diǎn)數(shù)，M為結(jié)構(gòu)元素的點(diǎn)數(shù)，一般情況下N>>M，則f(n)關(guān)于g(m)的腐蝕和膨脹分別為

(1)

(2)

由以上公式可以看出，腐蝕運(yùn)算相當(dāng)于信號在一個滑動濾波窗內(nèi)的最小值濾波，而膨脹運(yùn)算相當(dāng)于信號在滑動濾波窗內(nèi)的最大值濾波，滑動濾波窗等價于結(jié)構(gòu)元素[8-9]。

1.2 分形維數(shù)估計的形態(tài)學(xué)覆蓋法

形態(tài)學(xué)覆蓋法的基礎(chǔ)就是前述的多尺度腐蝕和膨脹算子。與計盒法不同，形態(tài)學(xué)覆蓋法計算的測度是腐蝕與膨脹之間的覆蓋面積。假設(shè)分析尺度為ε，則該尺度下信號的測度為

(3)

εg=g⊕g⊕…⊕g。

根據(jù)已有研究，單位結(jié)構(gòu)元素選為g={0,0,0}，即長度為3的扁平結(jié)構(gòu)元素，其優(yōu)點(diǎn)是計算速度更快且不影響分形維數(shù)估計的精度。

分析信號的尺度定義為ε=1,2,…,εmax，最大分析尺度滿足εmax≤N/2。根據(jù)分形測度理論，各尺度下的測度Ag(ε)應(yīng)滿足

(4)

對log(Ag(ε)/ε2)和log(1/ε)進(jìn)行最小二乘擬合，估計的斜率DM即信號的形態(tài)學(xué)分形維數(shù)。

2 形態(tài)學(xué)多尺度廣義分形矩陣

2.1 形態(tài)學(xué)廣義分形維數(shù)

在形態(tài)學(xué)覆蓋面積的基礎(chǔ)上，可定義一個計算局部度量的分布函數(shù)ui(ε)，即

(5)

(5)式中的f⊕εg(n)-fΘεg(n)反映的是信號膨脹與腐蝕間的差異，與計盒法相比，其作用相當(dāng)于單個網(wǎng)格上盒子數(shù)，根據(jù)(5)式的定義，ui(ε)計算了這種差異的分布。而信號在空間上的不均勻性則通過分布函數(shù)高階矩的奇異性得到了描述。

信號在尺度ε下的q階度量定義為

(6)

由(5)式可發(fā)現(xiàn)，形態(tài)學(xué)覆蓋法的網(wǎng)格劃分是固定的，與尺度無關(guān)，均為分析信號的采樣點(diǎn)數(shù)，即計盒法中尺度ε下的盒子個數(shù)N(ε)=N。與計盒法相比，形態(tài)學(xué)覆蓋法中的Ag(ε)相當(dāng)于盒數(shù)N(ε)與單位盒面積ε2的乘積，則

(7)

作為一個多重分形度量Kq(ε)，與尺度之間必定滿足的指數(shù)關(guān)系為

Kq(ε)∝ε-Dq；-∞

(8)

則基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的多重分形維數(shù)為

(9)

實(shí)際計算中，對Kq(ε)和lnε進(jìn)行最小二乘線性擬合得到對廣義分形維數(shù)Dq的估計?？梢宰C明:當(dāng)q=0時，K0(ε)=-ln[Ag(ε)/ε2]，則廣義分形維數(shù)Dq退化為基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的單一分形維數(shù)。

2.2 形態(tài)學(xué)多尺度分形維數(shù)

雖然廣義分形維數(shù)反映了信號在空間上的非嚴(yán)格自相似性，但卻不能反映信號在尺度上的非嚴(yán)格自相似性，而在現(xiàn)實(shí)中，在尺度上滿足嚴(yán)格自相似的信號是不存在的，存在的只是在統(tǒng)計意義上的自相似。

如果待分析信號是嚴(yán)格自相似的，即滿足尺度不變性，則在不同觀測尺度下信號的分形維數(shù)是不變的；然而，軸承振動信號只滿足統(tǒng)計意義的自相似，在不同觀測尺度下，其分形維數(shù)存在一定的差異。因此，在形態(tài)學(xué)單一分形維數(shù)基礎(chǔ)上，引入了形態(tài)學(xué)多尺度分形維數(shù)的計算方法[10]。

采用分段擬合的方式，其具體計算方法為：設(shè)分析信號的尺度為ε=[ε1,ε2,…,εL]，則定義在局部尺度εi下的局部分形維數(shù)為[εi,εi+1,…,εi+w-1]窗內(nèi)的最小二乘擬合值，其中w為窗的寬度值。從尺度ε1依次移動窗的位置，可以得到L-w+1個分形維數(shù)值。

2.3 多尺度廣義分形矩陣

軸承故障信號作為一種統(tǒng)計意義上的分形體，需要同時考慮其在空間和尺度上的非嚴(yán)格自相似性。因此，采用多尺度廣義分形矩陣表征軸承故障信號。其主要思想為：在估計信號的廣義分形維數(shù)時，在每一個參數(shù)q下，不再只估計其對應(yīng)的單一全局分形維數(shù)，而是估計信號在各個局部尺度范圍[εi,εi+1,…,εi+w-1]內(nèi)的多個分形維數(shù)，即將原來每個q下的單一分形維數(shù)用多尺度分形維數(shù)代替，從而包含更加全面的信息。

3 軸承故障信號分析

為驗(yàn)證提出的形態(tài)學(xué)多尺度廣義分形矩陣的有效性，采用實(shí)測的軸承故障信號計算各種分形維數(shù)并進(jìn)行對比，軸承故障信號數(shù)據(jù)來自于美國Case Western Reserve University軸承數(shù)據(jù)中心[11]。試驗(yàn)軸承為SKF 6205，電動機(jī)轉(zhuǎn)速為1 797 r/min，采樣頻率為12 kHz，采樣點(diǎn)數(shù)為6 000。選擇軸承正常狀態(tài)及鋼球、內(nèi)圈、外圈的輕微(損傷直徑0.178 mm)、嚴(yán)重(損傷直徑0.533 mm)損傷共7種狀態(tài)進(jìn)行分析，7種狀態(tài)下軸承振動信號的時域波形如圖1所示。

圖1 軸承7種狀態(tài)下振動信號時域波形

采用形態(tài)學(xué)覆蓋法計算各種分形維數(shù)，具體參數(shù)為：分析尺度ε=[1,2,4,8∶4∶72]，共20個尺度；單位結(jié)構(gòu)元素是長度為3的扁平結(jié)構(gòu)元素；廣義分形維數(shù)參數(shù)q選擇為q=[-20∶2∶20]；多尺度分形維數(shù)窗寬w選擇為5。

軸承在不同狀態(tài)下振動信號的形態(tài)學(xué)廣義分形維數(shù)、多尺度分形維數(shù)及多尺度廣義分形矩陣分別如圖2所示，從圖中可以看出：

圖2 軸承不同狀態(tài)下振動信號的形態(tài)學(xué)分布

1)在參數(shù)q<0時，形態(tài)學(xué)廣義分形維數(shù)的分布十分混亂，不具有可分性；而在q>0時，相同狀態(tài)下信號的形態(tài)學(xué)廣義分形維數(shù)比較相近，具有一定的可分性，但是部分狀態(tài)的形態(tài)學(xué)廣義分形維數(shù)依然存在著一定的重疊區(qū)域。

2)形態(tài)學(xué)多尺度分形維數(shù)能夠很好地區(qū)分軸承的7種狀態(tài)，但在某些尺度下，軸承的各種狀態(tài)之間依然存在部分的重疊。

3)形態(tài)學(xué)多尺度廣義分形矩陣克服了前2種分形維數(shù)存在部分狀態(tài)分形維數(shù)重疊的問題，能夠更有效地區(qū)分軸承的7種狀態(tài)。

為測試各種分形維數(shù)在軸承故障診斷中的效果，采用最近鄰分類器(KNNC)、樸素貝葉斯分類器(NBC)和支持向量機(jī)分類器(SVM)，采用上述的各種分形維數(shù)作為特征參數(shù)對軸承的7種狀態(tài)進(jìn)行分類。試驗(yàn)中，每種軸承狀態(tài)采集20個樣本(共140個樣本)，計算每個樣本的各種形態(tài)學(xué)分形維數(shù)。然后在每種狀態(tài)下隨機(jī)選擇10個樣本作為訓(xùn)練樣本，剩余樣本作為測試樣本。為保證結(jié)果的穩(wěn)定和有效性，重復(fù)此隨機(jī)選擇過程50次并取平均值作為最終結(jié)果。

不同形態(tài)學(xué)分形維數(shù)在軸承振動信號中的分類精度見表1，由表可知：形態(tài)學(xué)多尺度廣義分形矩陣在3種分類器上均獲得了最高的識別率，說明其能夠?qū)S承故障信號進(jìn)行更全面和完整的表征，從而有效區(qū)分軸承的故障狀態(tài)。

表1 各種分形維數(shù)的分類精度

4 結(jié)束語

針對軸承故障信號在空間分布與尺度分布上都具有非嚴(yán)格自相似性的特性，通過對形態(tài)學(xué)分形基本計算方法及廣義分形維數(shù)和多尺度分形維數(shù)形態(tài)學(xué)覆蓋計算方法的分析，引出了形態(tài)學(xué)多尺度廣義分形矩陣的概念，并采用實(shí)測軸承故障信號對各種分形維數(shù)的故障分類效果進(jìn)行了驗(yàn)證，試驗(yàn)結(jié)果表明，形態(tài)學(xué)多尺度廣義分形矩陣能夠?qū)S承振動信號進(jìn)行更加全面的表征，提供更加豐富的故障診斷信息，從而獲得較高的故障診斷精度。