何敏

[摘 要] 數(shù)學(xué)教學(xué)必須循序漸進(jìn)，這符合最近發(fā)展區(qū)教育理論，循序漸進(jìn)意味著在概念課教學(xué)的過(guò)程中注重新、舊知識(shí)的有效銜接，在概念的應(yīng)用過(guò)程中應(yīng)該重視循序漸進(jìn)地設(shè)問(wèn)和變式.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；概念；變式

隨著新課程改革的深化，我們?cè)絹?lái)越多地意識(shí)到學(xué)生的認(rèn)知是連續(xù)的，必須從最近發(fā)展區(qū)向潛在發(fā)展區(qū)延展，而不可突兀地進(jìn)行灌輸，對(duì)于高中數(shù)學(xué)教學(xué)而言我們?nèi)绾我龑?dǎo)學(xué)生從最近發(fā)展區(qū)走向潛在發(fā)展區(qū)呢？本文結(jié)合具體的教學(xué)案例就該話題進(jìn)行探討.

[?] 概念教學(xué)注重新、舊知識(shí)的有效銜接

很多學(xué)生到了高中覺(jué)得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難以適應(yīng)，什么原因？知識(shí)難度的增加、學(xué)習(xí)壓力變大這是一個(gè)方面，但是我們教師有沒(méi)有想過(guò)學(xué)生認(rèn)知的基礎(chǔ)在哪里？我們的教學(xué)是否存在問(wèn)題？尤其在高中數(shù)學(xué)起始階段，教師不好講、學(xué)生難理解的問(wèn)題的根源大多是教師沒(méi)有很好地備好學(xué)生和教材，初高中知識(shí)之間的聯(lián)系沒(méi)有找準(zhǔn). 怎么辦？筆者認(rèn)為，我們高中教師應(yīng)該細(xì)致地分析待學(xué)內(nèi)容與初中（或高中前階段）知識(shí)之間“微觀化”的關(guān)系，找到這個(gè)關(guān)系就找到了促進(jìn)學(xué)生理解概念的法門.

例如，“函數(shù)”這個(gè)概念的教學(xué)，我們可以從學(xué)生初中階段學(xué)習(xí)的一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式作為教學(xué)的切入點(diǎn)，再到函數(shù)圖像和圖像上的點(diǎn)，由圖再轉(zhuǎn)向點(diǎn)的代數(shù)形式坐標(biāo)的研究；從圖像的變化趨勢(shì)去分析點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的變化范圍，繼而引入數(shù)集及其對(duì)應(yīng)方式，形成對(duì)函數(shù)概念新的認(rèn)識(shí)即對(duì)應(yīng)于高中的函數(shù)“f”、定義域、值域，具體的教學(xué)可以順著如圖1所示的關(guān)系圖開(kāi)展.

這種新、舊知識(shí)之間的銜接式教學(xué)符合最近發(fā)展區(qū)教育理念，能夠很好地幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)認(rèn)知水平、思維水平的有效延展式發(fā)展.

[?] 搭好腳手架促進(jìn)概念的有效學(xué)習(xí)

基于最近發(fā)展區(qū)的數(shù)學(xué)教學(xué)必定是引導(dǎo)學(xué)生從已知走向未知的自然過(guò)程，這個(gè)過(guò)程中如何深化學(xué)生的理解呢？筆者認(rèn)為，應(yīng)該對(duì)學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)有一個(gè)很好的分析與定位，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行問(wèn)題的設(shè)計(jì)，旨在給學(xué)生搭好腳手架.

例如，“直線與平面垂直的判定”教學(xué)，我們分析學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，可以從學(xué)生的日常生活中出發(fā)，生活中線面垂直的情形很普遍，因此學(xué)生的頭腦中是有“線面垂直”的形象化認(rèn)知的，所以課堂上只要稍加指引學(xué)生便可以輕松地舉出“線面垂直”的實(shí)例，不過(guò)他們站在數(shù)學(xué)學(xué)科視角對(duì)“線面垂直”的理解卻不是十分準(zhǔn)確的. 從教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)來(lái)看，很多學(xué)生的思維是直接從“實(shí)物”跳轉(zhuǎn)到“空間直觀圖”的，這里其實(shí)就忽略了對(duì)“幾何模型”的關(guān)注. 導(dǎo)入環(huán)節(jié)需要我們通過(guò)情境的創(chuàng)設(shè)來(lái)搭好腳手架，幫助學(xué)生從現(xiàn)有的發(fā)展水平向潛在發(fā)展水平過(guò)渡. 教師提供3幅圖（圖片中有如下的信息：電線桿與地面的位置；門軸和地面；打開(kāi)的書(shū)立在桌上）引導(dǎo)學(xué)生觀察并回答問(wèn)題：直線和平面有哪些關(guān)系？對(duì)于這個(gè)問(wèn)題的回答，學(xué)生能夠找到實(shí)物和空間直觀圖，我們教師要從旁指引，確保學(xué)生的思維經(jīng)歷從“實(shí)物→幾何模型→空間直觀圖”的完整過(guò)程，繼而得到“線面垂直”的概念名稱，完成新課的導(dǎo)入.

在給出“定義”的環(huán)節(jié)上分析學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，學(xué)生已經(jīng)具備了如下兩個(gè)方面的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)：①此前，“線面平行的判定和性質(zhì)”學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)，從學(xué)生的思維能力來(lái)看，邏輯思維能力和空間想象能力已經(jīng)初具規(guī)模；②學(xué)生具備了“線線垂直”的認(rèn)知，無(wú)論是“平面內(nèi)直線與直線垂直”，還是“異面直線垂直”均有所理解. 那么，學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)課內(nèi)容時(shí)還有怎樣的困難呢？將“空間垂直問(wèn)題”轉(zhuǎn)化為“平面中的垂直問(wèn)題”是本節(jié)課的難點(diǎn)所在. 這部分內(nèi)容的處理，有相當(dāng)多的教師常常采用灌輸?shù)姆绞街苯訏伣o學(xué)生“一個(gè)定義三個(gè)注意”，緊接著就提供例題給學(xué)生講解如何應(yīng)用，最后再提供習(xí)題放手讓學(xué)生自己去訓(xùn)練. 這樣的處理看似緊湊，其實(shí)忽略了學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展，也缺乏對(duì)概念本身的解構(gòu)，學(xué)生學(xué)到的僅僅是孤立的知識(shí)，沒(méi)有能夠幫助學(xué)生建立起概念間的聯(lián)系. 從學(xué)生的思維來(lái)看，這樣的教學(xué)學(xué)生的思維勢(shì)必僅停留在淺層，學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)僅僅是模仿，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)沒(méi)有得到充分的發(fā)展. 教學(xué)從“線面平行”的知識(shí)與數(shù)學(xué)方法出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行類比和遷移，這樣的教學(xué)方式符合最近發(fā)展區(qū)的教育理念. 本來(lái)研究的“空間問(wèn)題”有效降維成為“平面問(wèn)題”，促進(jìn)了學(xué)生的理解，而對(duì)于定義中出現(xiàn)的“所有直線”這個(gè)難點(diǎn)如何理解呢？我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中可以圍繞這個(gè)難點(diǎn)進(jìn)行一系列設(shè)問(wèn)與追問(wèn)，使學(xué)生的認(rèn)知沿著“與一條直線垂直”→“與無(wú)數(shù)條直線垂直”→“與所有直線垂直”這樣的路徑螺旋式地提升.

[?] 習(xí)題教學(xué)注重變式訓(xùn)練

如果說(shuō)我們把概念教學(xué)比作給數(shù)學(xué)知識(shí)大廈搭建框架的話，那么我們的習(xí)題教學(xué)則是精裝修. 借助于習(xí)題課教學(xué)，我們可以讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、方法有更為深刻的認(rèn)識(shí)，促進(jìn)知識(shí)、概念的內(nèi)化. 同樣，習(xí)題教學(xué)也應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生從最近發(fā)展區(qū)不斷向潛在發(fā)展區(qū)跨越. 如何實(shí)現(xiàn)？變式教學(xué)不失為一良策.

1. 同一道題的循序設(shè)問(wèn)

變式教學(xué)的變式首先體現(xiàn)在同一道題多問(wèn)的設(shè)置上有思維梯度，我們來(lái)看下面一道例題：

已知函數(shù)f（x）=ex+e-x，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）證明：f（x）是R上的偶函數(shù)；

（2）若關(guān)于x的不等式mf（x）≤e-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

（3）已知正數(shù)a滿足：存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）

設(shè)計(jì)意圖：這道題的三個(gè)問(wèn)題設(shè)計(jì)是有難度上的變化的. 第一問(wèn)很基礎(chǔ)，直接從偶函數(shù)的定義出發(fā)即可完成證明，但是對(duì)于基礎(chǔ)較為薄弱的學(xué)生而言也有易錯(cuò)的地方. 易錯(cuò)點(diǎn)在于學(xué)生如果沒(méi)有考慮函數(shù)定義域的對(duì)稱性，那么就容易出現(xiàn)解題誤區(qū)，要引導(dǎo)學(xué)生回歸解決此類問(wèn)題的本質(zhì)：定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的討論是奇偶性的必要條件. 第二問(wèn)難度中檔，需要學(xué)生努力思考，發(fā)散思維才能找到解決問(wèn)題的辦法，引導(dǎo)學(xué)生使用分離參數(shù)法、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值的問(wèn)題. 那么這個(gè)小問(wèn)的易錯(cuò)點(diǎn)在哪里呢？有部分學(xué)生在代換t=ex后，沒(méi)有考慮t的取值范圍從而導(dǎo)致錯(cuò)誤，還有學(xué)生不會(huì)將-湊成-導(dǎo)致無(wú)法求解. 第三問(wèn)則對(duì)學(xué)生有了更高的要求，需要學(xué)生能夠?qū)⒋蟮膯?wèn)題進(jìn)行拆解，拆解為自己可以解決的小問(wèn)題來(lái)各個(gè)擊破. 如第三問(wèn)可以拆解為如下兩個(gè)小問(wèn)題：①如何求參數(shù)a的范圍？②求了參數(shù)a的范圍后能否比較ea-1與ae-1的大??？當(dāng)然在具體的問(wèn)題解決過(guò)程中還可以引導(dǎo)學(xué)生選擇不同的方法解決問(wèn)題，提高思維的發(fā)散度.

2. 異題變式發(fā)展思維

如果說(shuō)同一道題進(jìn)行梯度設(shè)計(jì)能夠促進(jìn)學(xué)生的思維有序發(fā)展，那么我們?cè)趩?wèn)題解決后及時(shí)地進(jìn)行異題變式則能夠很好地幫助學(xué)生進(jìn)行思維訓(xùn)練.

如例1的第一問(wèn)我們可以變式為：已知函數(shù)f（x）=ex-e-x，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，證明f（x）是R上的奇函數(shù). 第二問(wèn)可以變式為：當(dāng)x∈[-2，1]時(shí)，不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的范圍. 第三問(wèn)的變式就更為靈活了，而且有三道高考題與之就有聯(lián)系，比如（2001年全國(guó)卷壓軸題）：已知i，m，n是正整數(shù)，且1（1+n）m. 此外，還有2013年江蘇高考理科卷壓軸題和2014年湖北高考?jí)狠S題.

當(dāng)然，變式處理不僅僅是正向的發(fā)展，也可以是螺旋式的發(fā)展，尤其是我們?cè)谶M(jìn)行習(xí)題課講評(píng)時(shí)，變式處理既可以向著知識(shí)、方法深入的方向進(jìn)行拓展，也可以向著學(xué)生前面容易出錯(cuò)的地方回望，使變式訓(xùn)練符合最近發(fā)展區(qū)教育理念；同時(shí)，我們也應(yīng)該意識(shí)到僅僅對(duì)例題、習(xí)題進(jìn)行講解不僅與新課程理念相違背，也會(huì)使得學(xué)生課堂參與度下降，所以教師要精心準(zhǔn)備好如何做到借題發(fā)揮，把變式處理轉(zhuǎn)變成教學(xué)情境這個(gè)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)好，使得學(xué)生的探究欲望得到進(jìn)一步激發(fā)，學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力得到進(jìn)一步提升. 數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的核心與動(dòng)力還包括反思，教師要及時(shí)檢驗(yàn)學(xué)生反思的效果，使得變式處理對(duì)于學(xué)生反思環(huán)節(jié)起到最大的作用，學(xué)生思維水平更高. 變式訓(xùn)練的過(guò)程中很多都是多向互動(dòng)的設(shè)置，實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)表明，對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容的理解起關(guān)鍵性作用的還有學(xué)生和環(huán)境的交互作用. 學(xué)生不僅要關(guān)注自己應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的情況，一些做對(duì)了的學(xué)生還應(yīng)該關(guān)注其他同學(xué)的錯(cuò)誤并且體會(huì)變式練習(xí)，使得學(xué)生之間、師生之間建立起一個(gè)討論交流的互動(dòng)平臺(tái). 在主動(dòng)提供變式和解決變式的體驗(yàn)活動(dòng)中，建立起主人翁意識(shí)，使得學(xué)習(xí)資料的收集和整理，解題方法的討論和交流，題目的補(bǔ)充和修正等過(guò)程都有學(xué)生的主動(dòng)參與，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)在這些活動(dòng)中也將得到更大的發(fā)展和提高.