管燕妮
摘 要:利用幾何畫板,可以給學(xué)生一個(gè)“操作數(shù)學(xué)”的環(huán)境,把抽象的數(shù)學(xué)教學(xué)變得形象、直觀動(dòng)態(tài)展示教學(xué)內(nèi)容或數(shù)學(xué)問題,達(dá)到“舉一反三”的效果,開拓學(xué)生視野。本文由一道數(shù)學(xué)題呈現(xiàn)出了兩圓的位置關(guān)系決定了軌跡的類型。體現(xiàn)了幾何畫板對(duì)于研究性學(xué)習(xí)的強(qiáng)大效果。
關(guān)鍵詞:幾何畫板;軌跡;研究
數(shù)學(xué)是一門抽象的學(xué)科,因而數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)注重揭示數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的全過程,拓寬解題思路,提高應(yīng)變能力。數(shù)學(xué)教學(xué)的最根本目標(biāo)是培養(yǎng)學(xué)生能夠獨(dú)立思考問題、分析問題和解決問題的能力,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)造性的邏輯思維方式。數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)局限于一個(gè)狹窄的課本知識(shí)領(lǐng)域里,更重要的讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中學(xué)會(huì)運(yùn)用課本的知識(shí)達(dá)到“舉一反三”的效果。
而利用幾何畫板,可以給學(xué)生一個(gè)“操作數(shù)學(xué)”的環(huán)境,把抽象的數(shù)學(xué)教學(xué)變得形象、直觀動(dòng)態(tài)展示教學(xué)內(nèi)容或數(shù)學(xué)問題,能夠化抽象為具體,化具體為形象,因而,使教學(xué)更加直觀、生動(dòng),有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,增強(qiáng)教學(xué)的趣味性。數(shù)形結(jié)合思想是一個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)思想。數(shù)學(xué)家華羅庚說:“數(shù)缺形時(shí)少直觀,形缺數(shù)時(shí)難入微?!睅缀萎嫲鍨椤皵?shù)形結(jié)合”創(chuàng)造了一條便捷的通道,它不僅對(duì)幾何模型的繪制提供信息,同時(shí),可以解決學(xué)生難以繪制的圖形,而且提供了圖形“變換”的動(dòng)感。高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容跨度大、抽象性強(qiáng),只有促進(jìn)高中學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的深刻理解,才能達(dá)到掌握和靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的目的。因此,只有在變化環(huán)境下反復(fù)理解,學(xué)生的認(rèn)識(shí)才能不斷深入。
例:一動(dòng)圓與圓[(x+5)2+y2=4]內(nèi)切,同時(shí)與圓[(x-5)2+y2=36]外切,求動(dòng)圓圓心的軌跡方程。
根據(jù)題意可求得其軌跡方程為[x26+y29=1],是雙曲線。此時(shí),我們會(huì)考慮,是不是只要是和兩個(gè)定圓一個(gè)內(nèi)切,一個(gè)外切,動(dòng)圓圓心的軌跡方程總是雙曲線呢?如果是用傳統(tǒng)教學(xué),這研究起來復(fù)雜,計(jì)算量大,且不生動(dòng)形象。而如果用了幾何畫板來進(jìn)行研究,就節(jié)約了不少時(shí)間,且容易讓學(xué)生總結(jié)出結(jié)論。
試想,此動(dòng)圓圓心的軌跡是否會(huì)和兩定圓的位置關(guān)系有關(guān)。發(fā)現(xiàn),題中所給的兩個(gè)動(dòng)圓是相離的關(guān)系,如果是相交,相切,內(nèi)含的關(guān)系,會(huì)是什么樣的結(jié)果。這時(shí)我們可利用幾何畫板作兩個(gè)可以變換位置關(guān)系的圓來進(jìn)行研究。具體做法如下:
(1)任意取兩定點(diǎn)[F1]、[F2]為圓心,使用左邊工具欄中的畫圓工具分別作出兩個(gè)圓,使得兩個(gè)圓的位置關(guān)系為相離;
(2)在其中一圓(如圓[F1])上任取一點(diǎn)[A],以[A]為圓心,另一圓半徑(如r2)為半徑作圓,構(gòu)造直線[AF1]與該圓的交點(diǎn)為[M],[N](假設(shè)[M]是距離點(diǎn)[A]較遠(yuǎn)的點(diǎn),點(diǎn)[N]是距離點(diǎn)[A]較近的點(diǎn));
(3)構(gòu)造線段[MF2],并作出線段[MF2]的垂直平分線與直線[AF1]的交點(diǎn)為[P],以[P]為圓心,[PA]為半徑作圓,并顯示為虛線,則圓[P]分別與圓[F1]內(nèi)切,與圓[F2]外切。
不難證明,因?yàn)閇PF2=PM];
所以[PF2-PF1=PM-PF1=r1+r2]為常數(shù),依次選中點(diǎn)[P]、[A],點(diǎn)擊菜單中構(gòu)造-軌跡,便可構(gòu)造出圓心P的軌跡,而該圓心軌跡就是以[F1]、[F2]為焦點(diǎn)、[r1+r2]為實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線(如圖)。
(4)美化界面,保留圓[F1]、圓[F2]的控制點(diǎn),其余不必要的都可以隱藏掉。
(5)拖動(dòng)圓[F1]或圓[F2]的控制點(diǎn),便可以得到當(dāng)兩圓相切、相交、內(nèi)含時(shí)圓心[P]的軌跡。部分效果圖如下:
從不斷改變兩圓的位置關(guān)系,可得出不同的軌跡,讓學(xué)生開拓了視野,也讓學(xué)生了解到此題中的軌跡并不是永遠(yuǎn)為雙曲線,會(huì)隨著兩圓的位置關(guān)系的改變而改變,使學(xué)生得到了舉一反三的效果。
運(yùn)用幾何畫板有效地拓展了學(xué)生學(xué)習(xí)的空間,培養(yǎng)了學(xué)生研究的興趣、解決問題的欲望及發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力。學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性、主動(dòng)性有明顯的增強(qiáng)。同時(shí)也能讓學(xué)生真正的動(dòng)手操作、觀察、研究、思考。
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不應(yīng)是一個(gè)被動(dòng)吸收知識(shí)、記憶、反復(fù)練習(xí)強(qiáng)化的過程。一個(gè)有意義的學(xué)習(xí)過程,是學(xué)生以一種積極的心態(tài),調(diào)動(dòng)原有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn),嘗試解決問題,同化新知識(shí)并建構(gòu)新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程。所有的新知識(shí)只有通過學(xué)生再創(chuàng)造的活動(dòng),使其納入原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中,才可能成為有效的知識(shí)。只有這樣,學(xué)生獲得的才是真正的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn),而不僅僅是一些抽象的數(shù)學(xué)結(jié)論。
參考文獻(xiàn):
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