李永樂

（中國人民大學(xué)附屬中學(xué)，北京 100080）

對2017年高考北京卷理綜“干涉導(dǎo)航”問題的討論

李永樂

（中國人民大學(xué)附屬中學(xué)，北京 100080）

本文討論了2017年高考北京卷理綜第20題：干涉在飛機(jī)降落導(dǎo)航中的應(yīng)用，詳細(xì)分析了該題目所考察的“波的干涉”原理，并對題目的一些表述提出修改建議.

波的干涉；飛機(jī)降落導(dǎo)航；2017年高考北京卷

2017年北京高考理綜物理部分整體難度不大，其中第20題涉及到波的干涉在航空領(lǐng)域的應(yīng)用，考察了學(xué)生對干涉條件和干涉位置的理解，新穎而深刻，實(shí)在是一個不可多得的好題.但是，題目中省略了很多重要條件，這可能造成一部分學(xué)生對題目的理解出現(xiàn)偏差.

原題.物理學(xué)原理在現(xiàn)代科技中有許多重要應(yīng)用.例如，利用波的干涉，可將無線電波的干涉信號用于飛機(jī)降落的導(dǎo)航.

如圖1所示，兩個可發(fā)射無線電波的天線對稱地固定于飛機(jī)跑道兩側(cè)，它們類似于楊氏干涉實(shí)驗(yàn)中的雙縫.兩天線同時都發(fā)出波長λ1和λ2的無線電波.飛機(jī)降落過程中，當(dāng)接收到λ1和λ2的信號都保持最強(qiáng)時，表明飛機(jī)已對準(zhǔn)跑道.下列說法正確的是

（A）天線發(fā)出的兩種無線電波必須一樣強(qiáng).

（B）導(dǎo)航利用了λ1和λ2兩種無線電波之間的干涉.（C）兩種無線電波在空間的強(qiáng)弱分布穩(wěn)定.（D）兩種無線電波各自在空間的強(qiáng)弱分布完全重合.

圖1 飛機(jī)降落

1 題目解析

1.1 兩套波各自干涉

兩列波在空間中疊加并且發(fā)生穩(wěn)定干涉的條件是頻率相同、相位差恒定、振動方向相同.題目中隱含了λ1≠λ2的條件，波長λ1和λ2的無線電之間不能發(fā)生穩(wěn)定干涉，而是兩個發(fā)射器發(fā)出的兩列波長為λ1的波之間發(fā)生干涉、兩列波長為λ2的波之間也發(fā)生干涉，空間中形成了兩套穩(wěn)定干涉.

由于兩種無線電之間不發(fā)生干涉，因此不需要兩種無線電波的強(qiáng)度（或稱振幅）相同.（A）選項“天線發(fā)出的兩種無線電波必須一樣強(qiáng)”、（B）選項“導(dǎo)航利用了λ1與λ2兩種無線電波之間的干涉”都是錯誤的.

1.2 兩套干涉的加強(qiáng)和減弱位置固定

設(shè)兩個波源分別位于A、B位置，并且為同相波源.若空間中某點(diǎn)P到兩波源A和B的距離差等于波長整數(shù)倍，兩列波在P點(diǎn)干涉加強(qiáng)；若距離差等于半波長奇數(shù)倍，兩列波在P點(diǎn)干涉減弱，即

其中，k＝0，±1，±2，…空間中滿足k＝0的零級干涉加強(qiáng)位置是到A和B距離相等的點(diǎn)的集合，根據(jù)數(shù)學(xué)結(jié)論，這是A和B的中垂面上.

空間中k≠0的干涉加強(qiáng)位置到兩個波源的距離差為定值，根據(jù)數(shù)學(xué)結(jié)論，這些位置是以兩個波源為焦點(diǎn)的雙曲面組.

為簡單起見，首先只考慮地面上加強(qiáng)和減弱的位置.將地面上λ1的干涉加強(qiáng)位置畫出，如圖2所示.

圖2 波長為λ1的兩列波干涉加強(qiáng)區(qū)域

同樣的，將地面上波長為λ2的干涉加強(qiáng)區(qū)域畫出，它也是A和B的中垂線和以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線組.

不過，由于λ1≠λ2，除了波源的中垂線外，兩列波干涉加強(qiáng)和減弱區(qū)域一般是不同的.例如，若λ2＞λ1，則λ1的干涉加強(qiáng)區(qū)域較多，λ2干涉加強(qiáng)區(qū)域較少.

如圖3所示.實(shí)線表示地面上兩列波長為λ1的干涉加強(qiáng)區(qū)域，虛線表示波長為λ2的兩列波干涉加強(qiáng)區(qū)域.

圖3 兩套干涉加強(qiáng)區(qū)域除零級外一般不重合

綜上所述，兩列λ1波和兩列λ2波的干涉區(qū)域分別固定，但是在λ1≠λ2時，二者不能完全重合.只有零級加強(qiáng)區(qū)域——即到達(dá)兩個波源距離相等的點(diǎn)才是公共的重合區(qū)域.因此（C）選項正確，（D）選項錯誤.

在地面上看，公共加強(qiáng)區(qū)域是波源的中垂線，在空間上看，這個區(qū)域是兩個波源的中垂面.如圖4所示，兩個波源的中垂面上是兩套干涉公共的加強(qiáng)區(qū)域.飛機(jī)在降落過程中，無論是沿著直線降落，還是沿著曲線降落，只要飛機(jī)始終保持在中垂面內(nèi)，那么飛機(jī)到兩個波源的距離始終相等，因此收到的λ1和λ2信號始終加強(qiáng)，這便是題目中“對準(zhǔn)跑道”的含義.

圖4 飛機(jī)沿著波源中垂面飛行時收到兩套干涉加強(qiáng)信號

2 對題目的修改建議

本題是一道精彩的物理原理在實(shí)際中的應(yīng)用問題，但是題目在描述和條件上依然存在一些問題，如以下所述.

2.1 隱含條件沒有明確指出

首先，穩(wěn)定干涉條件是：兩列波頻率相同、相位差恒定、振動方向相同.題目設(shè)計意圖考察考生對波長不同的電磁波不能發(fā)生干涉的理解，但是又沒有明確指出λ1≠λ2.

其次，只有兩個波源是同相波源時，才有（1）式的結(jié)論.若兩個波源是反相波源——即A波源發(fā)出波峰時，B波源發(fā)射波谷，那么（1）式的結(jié)論剛好相反，

其中k＝0，±1，±2，…此時如果飛機(jī)剛好對準(zhǔn)跑道，則會收到兩套減弱信號，不滿足題目中所說“當(dāng)接收到λ1和λ2的信號都保持最強(qiáng)時，表明飛機(jī)已對準(zhǔn)跑道”的結(jié)論.

若波源的相位差為其他值，則結(jié)論又會有所不同.

因此，為了保證飛機(jī)對準(zhǔn)跑道時收到兩套加強(qiáng)信號，題目應(yīng)該指出兩個波源對于兩種電磁波都是同相波源.

2.2 λ1與λ2之比不能等于兩個較小的整數(shù)的比

兩套不同波長的電磁波干涉，加強(qiáng)和減弱區(qū)域不能完全重合.但并非所有加強(qiáng)區(qū)域和減弱區(qū)域都不重合.例如，在同相波源的前提下，兩套干涉的零級加強(qiáng)區(qū)域就是相同的.

除零級干涉外，是否還有其他干涉加強(qiáng)區(qū)域重合呢？

若P點(diǎn)處于兩套干涉的公共加強(qiáng)區(qū)域，則P到A和B的距離差需要滿足

其中k、k′都是整數(shù).此時可以得到如果兩種電磁波的波長比為簡單整數(shù)比，二者除零級加強(qiáng)外依然存在其他加強(qiáng)區(qū)域重合.

例如：λ1＝2λ2時，λ1的第一級干涉加強(qiáng)區(qū)域就和λ2的第二級干涉加強(qiáng)區(qū)域重合；λ1的第二級干涉加強(qiáng)區(qū)域也和λ2的第四級干涉加強(qiáng)區(qū)域重合……這些此區(qū)域都是雙曲面.若飛機(jī)接收到兩套干涉加強(qiáng)，既可能位于零級加強(qiáng)區(qū)域（中垂面）上，也可能位于以上任何一個雙曲面上.飛機(jī)若在雙曲面上飛行，就沒有對準(zhǔn)跑道，因此會發(fā)生危險.

若兩種電磁波波長之比不是整數(shù)比，或?yàn)閮蓚€較大的整數(shù)比，那么這個問題就不會出現(xiàn)了，這是因?yàn)閮蓚€波源之間干涉加強(qiáng)的級數(shù)是有限的.

例如：兩個波源相距40m，電磁波的波長為λ1＝5m和λ2＝5.1m，二者之比為50∶51，于是λ1的第51級干涉加強(qiáng)區(qū)域與λ2的第50級干涉加強(qiáng)區(qū)域重合.但是飛機(jī)到兩波源之間的距離差小于40m，因此至多存在8級干涉加強(qiáng)區(qū)域，兩套干涉加強(qiáng)區(qū)域除了零級外都不會重合.

綜上所述，為了保證題目的嚴(yán)謹(jǐn)性，應(yīng)該添加“λ1與λ2之比不為兩個較小的整數(shù)之比”的條件.

3 結(jié)語

在美國的一本物理教材中討論了利用雙縫干涉原理指導(dǎo)飛機(jī)降落的方式，［1］本題可能借鑒了這本教材，并做了適當(dāng)簡化.為了保證試題的嚴(yán)謹(jǐn)性，筆者依然建議補(bǔ)充“波源發(fā)射同相位電磁波”“兩種波長不同”“波長之比不等于較小的整數(shù)比”三個條件.

縱然如此，此題依然非常精彩.在未來的高考中，依然期待出現(xiàn)更多類似的理論聯(lián)系實(shí)際問題，以考察學(xué)生對知識熟練運(yùn)用的能力.

1 R A Serway，J W Jewett.Physics for scientists and engineers with modern physics［M］.6thed.United States of America：Thomson，2004：1179－1198.

2017－06－10）