程 麗

(金華職業(yè)技術(shù)學(xué)院師范學(xué)院，浙江金華 321017)

推廣KP方程的非奇異有理解

程 麗

(金華職業(yè)技術(shù)學(xué)院師范學(xué)院，浙江金華 321017)

借助Maple軟件的直接符號計算，得到推廣KP方程的非奇異有理解．在一定的條件下，（2+1）維推廣KP方程具有在空間所有方向都趨于零的lump解，其解涉及六個自由參數(shù)；而（3+1）維推廣KP方程有l(wèi)ump類型的一族非奇異有理解，其解涉及八個自由參數(shù)．

推廣KP方程；雙線性形式；非奇異有理解；Lump解

尋求非線性發(fā)展方程精確解是一項非常重要的工作，發(fā)展方程的精確解不但在理論上有助于進(jìn)一步了解方程的本質(zhì)屬性和代數(shù)結(jié)構(gòu)，而且在應(yīng)用上可以合理地解釋相關(guān)的自然現(xiàn)象．眾所周知，（2+1）維Kadomtsev-Petviashvili（KP）方程是數(shù)學(xué)物理中的基本方程，長期以來求其精確解一直受到物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家的關(guān)注．

馬文秀教授考慮了KP方程和Boussinesq方程的推廣形式[1]

其中M是自然數(shù)，aij是實常數(shù)且滿足在變換下，方程（1）轉(zhuǎn)化為雙線性形式

（2）式等價于

文獻(xiàn)[1]給出方程（3）三孤子解存在的條件，得到（2+1）維Boussinesq方程

和（3+1）維KP方程

是不可積的．但是通過變量的線性變換，方程（1）可以轉(zhuǎn)化為可積的（2+1）維KP方程和Boussinesq方程以及KP方程維數(shù)的退化——帶導(dǎo)數(shù)KdV方程

近些年，人們把注意力轉(zhuǎn)移到尋求非線性發(fā)展方程的非奇異有理解．目前已發(fā)現(xiàn)三種類型的非奇異有理解：代數(shù)孤子解[2]、lump解[3]和怪波解[4-5]．Lump解指的是在空間上所有方向都趨于零的解，在對非線性現(xiàn)象的研究中占有重要的地位．基于雙線性方程，利用長波極限法，Satsuma J.和Ablowitz M. J.構(gòu)建了（2+1）維KP-I的lump解[3]．最近馬文秀教授借助于直接符號計算方法得到（2+1）維KP-I更為一般形式的一族lump解[6]，包含以往文獻(xiàn)所得到的lump解．借助于Maple軟件，本文給出了幾種特殊形式的推廣KP方程lump解或lump類型的解．

1 （2+1）維推廣KP方程的lump解

討論（2+1）維推廣KP方程

通過變換

得到雙線性方程

由于方程（1）中的系數(shù)aij滿足為了計算和表示方便，考慮方程（6），令式（6）中utt項的系數(shù)為零．設(shè)

其中bi,1≤i≤9是待確定的實參數(shù)．

把f代入方程（9）中，由于b4,b8的取值對方程（9）沒有影響，計算時可忽略b4,b8，經(jīng)整理得到：

x2的系數(shù)：

y2的系數(shù)：

t2的系數(shù)：

xy的系數(shù)：

xt的系數(shù)：

yt的系數(shù)：

常數(shù)項：

令上述x2,y2,t2,xy,xt,yt的系數(shù)以及常數(shù)項為零，得到左邊為以上式子、右邊為零的7個方程所構(gòu)成的方程組，借助于Maple軟件，直接符號計算可得唯一一組解

也就是當(dāng)b9＞0時，方程（9）有一族正定二次函數(shù)解

再由變換（7）可得到（2+1）維推廣KP方程（6）的lump解：

從（15）式可以看到f在整個xy空間不是恒為正的，因此式（15）不是正定二次函數(shù)．但若取式（13）為

在條件（12）滿足的情況下，式（16）是正定二次函數(shù)，在整個xy空間恒為正，這時方程（6）具有l(wèi)ump解（14）．Lump解是非奇異有理解，它在空間上所有方向都趨于零，能合理地解釋相關(guān)的物理現(xiàn)象．其中，當(dāng)bi,1≤i≤9取特殊值時，lump解（14）的圖見圖1．

當(dāng)a11=a12=a23=0,a13=1,a22=-1時，方程（8）即為（2+1）維KP-I雙線性方程[6]，式（13）即為文獻(xiàn)[6]中的式（2.7）．這時各系數(shù)滿足條件（12），所以方程（6）具有l(wèi)ump解．

綜上所述，當(dāng)（2+1）維推廣KP方程（6）的系數(shù)滿足條件（12）時，其雙線性方程（8）有正定的二次函數(shù)解（13），其中，涉及b1,b2,b4,b5,b6,b8這6個自由參數(shù)，q1,q2,q3,g1,h1由（11a）-（11e）所定義．同時通過變換（7），方程（6）在條件（12）下具有空間上所有方向都趨于零的lump解．

2 （3+1）維推廣KP方程的lump類型解

考慮三個空間變量xy,z的推廣KP方程

由變換u=-2(lnf)xx有

圖1 方程（6）取a11=a23=0,a13=1,a22=-3,a12=3，（16）式取b1=b4=b5=b6=1,b2=b8=2,x=2，（a）：式（14）的三維圖，（b）：當(dāng)t=1時，式（14）的y-曲線圖Fig 1 Equation-6: Whena11=a23=0,a13=1,a22=-3,a12=3, When Equation-16:b1=b4=b5=b6=1,b2=b8=2,x=2,(a): Three-dimensional Diagram of Equation-14, (b): Whent=1, they-curve Graph of Equation-14

其中aij,1≤i,j≤3是任意常數(shù)．方程（18）等價于

若h2=-a22(b1b7-b2b6)2-a33(b1b8-b3b6)2＞0,b1b6≠0，即滿足b11＞0，則方程（17）有一族正定二次函數(shù)解

同樣由變換（7）可得到（3+1）維推廣KP方程的非奇異有理解，即lump類型解．

3 結(jié) 語

Lump解能描述海洋學(xué)、光學(xué)、力學(xué)等領(lǐng)域中的非線性波現(xiàn)象，而KP方程又是數(shù)學(xué)物理中的一個重要方程，這就使對KP方程lump解的尋求成為非常有意義的事．本文借助于Maple軟件的符號直接計算得到幾種特殊形式推廣KP方程的非奇異有理解．其中，（2+1）維推廣KP方程在一定條件下有在空間所有方向都局部有理化的lump解，而（3+1）維推廣KP方程在一定條件下有l(wèi)ump類型的非奇異有理解．對推廣KP方程的非奇異有理解，還有許多問題值得探究，比如，它的雙線性方程是否還有其它形式的二次正定函數(shù)解？是否還有更高次的正定函數(shù)解？這些都有待于今后的探討．

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Abstract:It turns out in this paper that the nonsingular rational solution as a class of generalized Kadomtsev-Petviashvili (KP) equation is obtained via the direct symbolic computation with Maple software.Under a certain condition, the (2+1)-dimensional generalized KP equation with a class of lump solutions,rationally localized in all directions in the space is presented, applying its Hirota bilinear form. The resulting lump solutions contain six free parameters. While the nonsingular rational solutions of the (3+1)-dimensional generalized KP equation with a class of lump-type solutions are involved in eight free parameters.

Key words:Generalized KP Equation; Hirota Bilinear Form; Nonsingular Rational Solution; Lump Solution

(編輯：封毅)

Nonsingular Rational Solutions to the Generalized KP Equation

CHENG Li
(Normal school, Jinhua Polytechnic , Jinhua, China 321017)

O175.24

A

1674-3563(2017)03-0001-07

10.3875/j.issn.1674-3563.2017.03.001 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

2016-06-26

程麗(1972-)，女，浙江永康人，副教授，碩士，研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)