楊潔??

[摘要]采用探究性學(xué)習(xí)的方式上高一下學(xué)期平面向量的習(xí)題課，通過(guò)“課前探源，課后延伸”，學(xué)生能主動(dòng)創(chuàng)新，自主解決新問(wèn)題，提高了復(fù)習(xí)效率.

[關(guān)鍵詞]平面向量；教學(xué)模式；習(xí)題課；探究

[中圖分類號(hào)]G633.6[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A[文章編號(hào)]16746058（2017）20000103

一、引言

平面向量的教學(xué)應(yīng)著眼于使學(xué)生掌握處理幾何問(wèn)題的代數(shù)方法，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想.

本節(jié)課作為高一下學(xué)期平面向量習(xí)題課，筆者采用了探究性學(xué)習(xí)的方式對(duì)一類向量問(wèn)題的解決方法進(jìn)行了探討.

題目1：如圖1，平面內(nèi)有三個(gè)向量OA、OB、OC，其中OA與OB的夾角為120°，OA與OC的夾角為30°，|OA|=OB=1，|OC|=

23，

若

OC=λOA+μO(píng)B（λ，μ∈R）

，則λ+μ的值為.

題目2：給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量OA和OB，它們的夾角為120°.點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上變動(dòng)，若OC=xOA+yOB

，其中x，y∈R，則x+y的最大值是.

針對(duì)這兩道經(jīng)典的高考題，我從“課前探源，課堂爭(zhēng)鳴，變式訓(xùn)練，課后延伸”幾個(gè)方面進(jìn)行了探究性學(xué)習(xí)的嘗試.

二、教學(xué)過(guò)程

1.課前探源

不論是知識(shí)還是方法，這兩題都與人教A版數(shù)學(xué)必修4的以下三方面內(nèi)容相關(guān).

一是第94頁(yè)的平面向量基本定理；二是第100頁(yè)例8的探究：當(dāng)

P1P=λPP2

時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是什么？（大家知道，其實(shí)這就是定比分點(diǎn)公式的向量表示形式）三是第141頁(yè)例4：已知OPQ是半徑為1，圓心角為π3的扇形，C是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)，ABCD是扇形的內(nèi)接矩形，記∠COP=α，問(wèn)：當(dāng)角α取何值時(shí)，矩形ABCD的面積最大？并求出這個(gè)最大面積.

在對(duì)所給題目進(jìn)行探究前，先讓學(xué)生回歸課本，對(duì)以上三方面內(nèi)容進(jìn)行探究，學(xué)生不論在知識(shí)方面還是方法方面都會(huì)有所啟發(fā).

2.課堂爭(zhēng)鳴

探究題目1的解法.

生1：根據(jù)平面向量基本定理，以O(shè)C為一條對(duì)角線，OA和OB上的線段為一組鄰邊構(gòu)建平行四邊形求解，具體如下.

通過(guò)幾何直觀，學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)這是個(gè)特殊的三角形，由三角形的邊的關(guān)系，不難得到λ=4，μ=2，從而λ+μ=6.

生2：以O(shè)為原點(diǎn)，OA所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系后利用坐標(biāo)求解，具體如下.

師：很好，OA、OB可以看作平面內(nèi)的兩個(gè)基向量.此方法又可簡(jiǎn)稱為“點(diǎn)乘基向量”法.剛剛大家說(shuō)到的三大方法：幾何作圖法、建系法和點(diǎn)乘基向量法都是平面向量習(xí)題中經(jīng)常用到的解題方法，大家要引起重視.

對(duì)于題目2，學(xué)生通過(guò)類似以上建系法得到結(jié)果.

師：有沒(méi)有同學(xué)是猜到答案的，怎么猜？

生5：畫(huà)圖猜出來(lái)的，感覺(jué)C在弧中間時(shí)最大.

師：畫(huà)圖？那么就是幾何作圖得到，很好.你的直覺(jué)非常正確.下面我們來(lái)給出幾何解釋.

從而x+y∈[12，52].

師：這位同學(xué)相當(dāng)厲害！他將點(diǎn)乘基向量法和向量的幾何意義結(jié)合起來(lái)，巧妙地解決了這個(gè)問(wèn)題，值得學(xué)習(xí).我們?cè)賮?lái)回顧一下這兩位同學(xué)的想法.其實(shí)兩位同學(xué)的想法在幾何意義上無(wú)非是一個(gè)把OA拉到兩倍的位置，一個(gè)縮到了原來(lái)的一半位置，但第一位同學(xué)遇到了困難，無(wú)法進(jìn)行下去.可見(jiàn)我們需要不斷地嘗試和發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，才能探究得到新的結(jié)果.

變式2：如圖2，AP=mAB+nAC，點(diǎn)P在陰影區(qū)域內(nèi)（不含邊界），

則m，n滿足的條件是.

師：當(dāng)P落在BC所在的直線上時(shí)，m與n滿足什么條件？

生（齊）：m+n=1.

師：當(dāng)P落在BC所在的線段上時(shí)，m與n滿足什么條件？

生（齊）：m+n=1，m>0，n>0.

由此，學(xué)生很容易得到“m+n>1，m>0，n>0”，即為本題答案.

師：我們改變陰影區(qū)域的位置，就會(huì)發(fā)現(xiàn)很多新的問(wèn)題，一起來(lái)看看一道改編的題目.

4.課后延伸

創(chuàng)編題1：如圖3，OM∥AB，點(diǎn)P在由射線OM，線段OB及AB的延長(zhǎng)線圍成的區(qū)域內(nèi)（不含邊界）運(yùn)動(dòng)，且OP

=xOA+yOB

，則x的取值范圍

是，當(dāng)x=-12時(shí)，y的取值范圍是.

分析：這道創(chuàng)編題其實(shí)是2006年湖南卷理科數(shù)學(xué)的一道填空題，這道題實(shí)際上是在前面變式的基礎(chǔ)上適當(dāng)改變過(guò)來(lái)的，通過(guò)幾何作圖可以得到答案.

解析：如圖4，OM∥AB，點(diǎn)P在由射線OM、線段OB以及AB的延長(zhǎng)線圍成的區(qū)域內(nèi)（不含邊界）運(yùn)動(dòng)，