北京豐臺二中(100071) 甘志國

一類絕對值函數(shù)最值的求法

北京豐臺二中(100071) 甘志國

我們先看看兩個(gè)例題:

例1 求函數(shù)y=|x?1|+2|x?2|+···+100|x?100|(x∈R)的最小值.

解先將原函數(shù)寫成1+2+···+100=5050個(gè)絕對值之和的形式,再首尾配對,層層分組,得

當(dāng)且僅當(dāng)x∈[1,100]時(shí),以上等式右邊第一個(gè)括號取到最小值;當(dāng)且僅當(dāng)x∈[2,100]時(shí),以上等式右邊第二個(gè)括號取到最小值;···;當(dāng)且僅當(dāng)x=71時(shí),以上等式右邊最后一個(gè)括號取到最小值.所以,當(dāng)且僅當(dāng)x=71時(shí),f(x)取到最小值.可算得最小值是99080.

定理1 若函數(shù)

所以,當(dāng)且僅當(dāng)x∈[bk0,bk0+1]時(shí),f(x)取到最小值.

推論1 若函數(shù)

(1)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),f(x)取到最小值;

(2)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),f(x)取到最小值.

例1 (1)(2014年高考江西卷理科第11(1)題)對任意x,y∈R,|x?1|+|x|+|y?1|+|y+1|的最小值為( )

A.1 B.2 C.3 D.4

(2)(2014年高考江西卷文科第15題)x,y∈R,若|x|+|y|+|x?1|+|y?1|≤2,則x+y的取值范圍為____.

解(1)C.由推論1(1)可得,當(dāng)且僅當(dāng)x∈[0,1]時(shí),(|x|+|x?1|)min= 1;當(dāng)且僅當(dāng)y∈[?1,1]時(shí),(|y+1|+|y?1|)min=2.所以所求最小值為3.

(2)[0,2].由推論1(1)可得,當(dāng)且僅當(dāng)x∈[0,1]時(shí),(|x|+|x?1|)min=1;當(dāng)且僅當(dāng)y∈[0,1]時(shí),(|y|+|y?1|)min=1.所以(|x|+|y|+|x?1|+|y?1|)min=2.再由題設(shè)|x|+|y|+|x?1|+|y?1|≤2,可得|x|+|y|+|x?1|+|y?1|=2,且x∈[0,1],y∈[0,1].進(jìn)而可得x+y的取值范圍為[0,2].

例2 (2006年高考全國卷II理科第12題)函數(shù)的最小值為( )

A.190 B.171 C.90 D.45

解C.由推論1(1)可得,當(dāng)且僅當(dāng)x=10時(shí),f(x)取到最小值,且最小值是2(1+2+···+9)=90.

例3(1)(2009上海高考文科第14題)某地街道呈現(xiàn)東—西、南—北向的網(wǎng)絡(luò)狀,相鄰街距都為1,兩街道相交的點(diǎn)稱為格點(diǎn).若以相互垂直的兩條街道為軸建立直角坐標(biāo)系,現(xiàn)有下述格點(diǎn)(?2,2),(3,1),(3,4),(?2,3),(4,5)為報(bào)刊零售店,請確定一個(gè)格點(diǎn)____為發(fā)行站,使5個(gè)零售點(diǎn)沿街道發(fā)行站之間路程的和最短;

(2)(2009上海高考理科第13題)某地街道呈現(xiàn)東—西、南—北向的網(wǎng)格狀,相鄰街距都為1.兩街道相交的點(diǎn)稱為格點(diǎn).若以互相垂直的兩條街道為軸建立直角坐標(biāo)系,現(xiàn)有下述格點(diǎn) (?2,2),(3,1),(3,4),(4,5),(?2,3),(6,6),為報(bào)刊零售點(diǎn).請確定一個(gè)格點(diǎn)(除零售點(diǎn)外)____為發(fā)行站,使6個(gè)零售點(diǎn)沿街道到發(fā)行站之間路程的和最短.

解(1)(3,3).設(shè)所求的格點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y)(x,y∈Z),則它到5個(gè)零售點(diǎn)沿街道發(fā)行站之間路程的和為

圖1

再由定理1(1)可得答案.(2)(3,3).設(shè)所求的格點(diǎn)坐標(biāo)為

(x,y)(x,y∈Z,則它到6個(gè)零售點(diǎn)沿街道發(fā)行站之間路程的和為

再由定理1(1)可得答案(如圖1所示).

例4 (2011年北約自主招生數(shù)學(xué)試題第7題)求f(x)=|x?1|+|2x?1|+···+|2011x?1|(x∈R)的最小值.

定理2 對于函數(shù)

證明因?yàn)楹瘮?shù)②在分段點(diǎn)b1,b2,···,bn處均連續(xù),所以可把函數(shù)②改寫成如下分段函數(shù):

因?yàn)榉侄魏瘮?shù)的最小值、最大值(存在時(shí))分別就是各段函數(shù)最小值、最大值(存在時(shí))中的最小、最大者,又③中各段函數(shù)都是閉區(qū)間上的一次函數(shù)或常數(shù)函數(shù),其最小值、最大值一定是某個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值,所以函數(shù)②的最小值、最大值分別為

再由函數(shù)②在R上連續(xù),可立得函數(shù)②的值域是[m,M].

(4)同(3)可證.在定理2中,令a=0,可得

推論2 對于函數(shù)

例5 求函數(shù)f(x)=|x|?|x?1|?|x?2|+|x?3|(x∈R)的值域.

解f(0)=1,f(1)=f(2)=2,f(3)=0.由推論2(3),得[f(x)]min=min{f(0),f(1),f(2),f(3)}=0;[f(x)]max=max{f(0),f(1),f(2),f(3)}=2..再由函數(shù)f(x)的連續(xù)性可畫出f(x)的圖象,從而得當(dāng)且僅當(dāng)x≥3時(shí),f(x)取到最小值;當(dāng)且僅當(dāng)1≤x≤2時(shí),f(x)取到最大值.

定理3設(shè)(α＞1,b1,b2,···,bn是公差為的實(shí)數(shù)項(xiàng)等差數(shù)列),則函數(shù)f(x)的值域是[A,+∞),且有:

證明若d=0,要證結(jié)論顯然成立.下證d＞0時(shí)也成立,得b1＜b2＜···＜bn.可先用導(dǎo)數(shù)證得:設(shè)g(x)=xα(a＞1,x＞0),則g(x)是增函數(shù);且g′′(x)＞0,所以g(x)是下凸函數(shù),得

(2)同(1)可證.