河南省平頂山市理工學(xué)校 楊天育 楊龍婷

向量在高考數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

河南省平頂山市理工學(xué)校 楊天育 楊龍婷

隨著高考改革的推進(jìn)，向量知識(shí)點(diǎn)得到了越來(lái)越多的重視，在近些年的高考中更是成為一大熱點(diǎn)，學(xué)生們通過(guò)學(xué)習(xí)向量知識(shí)，不僅僅能夠更從容地面對(duì)高考，還能利用向量的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行數(shù)學(xué)問(wèn)題的處理，向量思想可以幫助學(xué)生們構(gòu)建更立體的數(shù)學(xué)思維，進(jìn)而在做題過(guò)程中觸類(lèi)旁通，很好地處理幾何和代數(shù)題目。接下來(lái)，筆者從例題入手，簡(jiǎn)單介紹如何在高中數(shù)學(xué)解題過(guò)程中更好地運(yùn)用向量知識(shí)。

一、強(qiáng)化記憶向量概念，提升數(shù)學(xué)解題效率

在近年的高考中，對(duì)于向量相關(guān)知識(shí)的重視程度持續(xù)走高，高考《考綱》中明確要求學(xué)生們掌握平面向量基本概念及計(jì)算，其題型也偏向于概念化、平實(shí)化。學(xué)生們?cè)谶M(jìn)行解題的時(shí)候就需要對(duì)于向量相關(guān)概念有清晰的了解，進(jìn)而才能在解題的時(shí)候胸有成竹。學(xué)生們需要熟練掌握向量概念，明白向量在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中所代表的幾何意義，能夠進(jìn)行基本運(yùn)算，例如向量加法、減法以及乘法運(yùn)算，并可以利用坐標(biāo)系進(jìn)行平面向量運(yùn)算的表示。學(xué)生們還需要注意做題是對(duì)向量相關(guān)性質(zhì)的運(yùn)用，能夠在拿到題目的時(shí)候迅速判斷出向量之間的關(guān)系，是屬于相等向量、共線(xiàn)向量還是相反向量，進(jìn)而進(jìn)行向量問(wèn)題的求解。

例如，在2011年四川高考中，就出現(xiàn)了一道利用向量基本概念進(jìn)行解題的選擇題。如圖所示，在正六邊形ABCDEF中，

本題中的三個(gè)向量看似沒(méi)有關(guān)系，但是學(xué)生們要善于利用向量的基本概念進(jìn)行解題。因此，學(xué)生們?cè)诮忸}的時(shí)候，就需要從題目中給出的正六邊形入手，從學(xué)生們從前學(xué)習(xí)過(guò)的平面幾何知識(shí)可以很容易地知道，正六邊形的六條邊都相等并且對(duì)邊兩兩平行,然后學(xué)生們?cè)俳Y(jié)合題目中的問(wèn)題，由于要求的是三個(gè)向量之和，在圖中很難看出三個(gè)向量之間有何種關(guān)系，這時(shí)候就需要利用輔助線(xiàn)來(lái)進(jìn)行正六邊形的拆分，連接C、E兩點(diǎn)以及B、F兩點(diǎn)，得到向量CE和向量BF，然后利用向量的基本性質(zhì)找出連接輔助線(xiàn)以后的正六邊形ABCDEF中與所求向量互為相等向量以及相反向量的向量，用代替的值，得出結(jié)果為D選項(xiàng)。這道題目的難度并不高，學(xué)生們只需要在平時(shí)的學(xué)習(xí)與練習(xí)中掌握向量的相關(guān)性質(zhì)，就能夠比較輕松地完成解題。

二、重視基礎(chǔ)向量知識(shí)，提升數(shù)學(xué)解題效率

向量不僅僅是高中數(shù)學(xué)課程的某一部分章節(jié)，由于向量特殊的本質(zhì)特性，更是作為一項(xiàng)工具來(lái)進(jìn)行應(yīng)用，利用向量知識(shí)可以大大拓寬數(shù)學(xué)題目的運(yùn)算形式，從而更好地輔助數(shù)學(xué)解題。學(xué)生們要重視對(duì)于向量知識(shí)的掌握。在高考中進(jìn)行有關(guān)向量考查的時(shí)候，考題往往也脫胎于教材，這樣的出題方式可以從側(cè)面反映出學(xué)生們?cè)诟咧须A段學(xué)習(xí)中對(duì)于教材知識(shí)的掌握程度。學(xué)生們只有牢牢把握教材上的相關(guān)向量知識(shí)點(diǎn)，才能夠在以“立足教材”為核心思想的高考競(jìng)爭(zhēng)中脫穎而出。學(xué)生們?cè)谄綍r(shí)可以對(duì)于教材上的例題、課后習(xí)題等多加練習(xí)，在做題的時(shí)候深入體會(huì)向量基本知識(shí)在題目中的運(yùn)用實(shí)例，進(jìn)而打牢基礎(chǔ)，輕松解題。

例題：在平行四邊形ABCD中做兩條對(duì)角線(xiàn)，交點(diǎn)為M，在平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)任意找一點(diǎn)O，試求

這道題屬于基礎(chǔ)題型，并且就是人教A版教材中向量部分的復(fù)習(xí)題，學(xué)生們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)如果足夠重視教材并且經(jīng)過(guò)了大量的練習(xí)，在解題的時(shí)候就可以輕車(chē)熟路地進(jìn)行解題。在計(jì)算這道題的時(shí)候，我們可以先在草紙上畫(huà)出相應(yīng)的平行四邊形，并按照要求連接M點(diǎn)，由于平行四邊形ABCD屬于平面幾何問(wèn)題，在此題中就要利用到平面向量的有關(guān)知識(shí)，利用平面向量計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算。根據(jù)平行四邊形性質(zhì)可知，對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)平分兩條對(duì)角線(xiàn)，再將利用向量基本運(yùn)算以及平行四邊形幾何關(guān)系性質(zhì)進(jìn)行表示，經(jīng)過(guò)運(yùn)算即可得出結(jié)果

三、鍛煉數(shù)形結(jié)合能力，提升數(shù)學(xué)解題效率

數(shù)形結(jié)合是高中數(shù)學(xué)中很關(guān)鍵的一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，可以將比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題具象化，繼而學(xué)生們就可以比較形象地發(fā)現(xiàn)題目中各個(gè)變量與條件的關(guān)系，進(jìn)行高效解題，尤其是向量部分知識(shí)，本身就具備數(shù)形結(jié)合的特征，其表示方法就借助了圖象，學(xué)生們?cè)趯W(xué)習(xí)向量知識(shí)的時(shí)候就需要具備數(shù)形結(jié)合的能力，讓學(xué)生們?cè)谧灾髯鲱}的時(shí)候也能保證對(duì)于數(shù)學(xué)問(wèn)題的解析能力，可以在解題的時(shí)候把幾何問(wèn)題向量化，完成數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，提高了學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力。

例如，在等邊三角形ABC中，在BC上找一點(diǎn)設(shè)為D，如果等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為3，線(xiàn)段BD長(zhǎng)為1，試求的乘積。

總而言之，向量知識(shí)在高考中受到出題人越來(lái)越高的重視，在高考題目中往往會(huì)將向量的基本概念與性質(zhì)與其他部分的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行結(jié)合。因此在學(xué)習(xí)中，學(xué)生們應(yīng)當(dāng)重視向量部分知識(shí)點(diǎn)，回歸教材本身，熟記基礎(chǔ)知識(shí)，根據(jù)具體題目靈活運(yùn)用向量性質(zhì)進(jìn)行解題，并且在日常學(xué)習(xí)中構(gòu)建數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思維方式，從而大大提高學(xué)生們的做題效率。