江蘇省海門(mén)市四甲中學(xué) 陸叢林

剖析“解三角形”，解決相關(guān)問(wèn)題

江蘇省海門(mén)市四甲中學(xué) 陸叢林

解三角形試題往往與平面向量、三角恒等變換、數(shù)列等相連，通過(guò)全面了解有關(guān)三角形的知識(shí)，考查了許多創(chuàng)新題型。本文通過(guò)對(duì)這些熱點(diǎn)問(wèn)題的回顧和分析來(lái)了解命題人的命題思路，幫助學(xué)生們解決“解三角形”的問(wèn)題。

解三角形；三角恒等變換；平面向量；數(shù)列

“解三角形”考點(diǎn)既是初中解直角三角形的一個(gè)拓展，也是三角函數(shù)和平面向量知識(shí)考查的基礎(chǔ)，同時(shí)也是解決三角形的計(jì)算問(wèn)題以及生產(chǎn)、生活實(shí)際問(wèn)題的重要工具，具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值。因此，在對(duì)解三角形的學(xué)習(xí)過(guò)程中，除了要掌握最基本的知識(shí)，還要注意在學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，具有科學(xué)的方法、較強(qiáng)的觀察力以及綜合運(yùn)用能力等。

一、解三角形與三角函數(shù)交會(huì)

三角函數(shù)的類型看起來(lái)復(fù)雜，但只要掌握了三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)和內(nèi)部聯(lián)系，就會(huì)發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)各個(gè)公式之間有許多關(guān)聯(lián)的地方。因此將解三角形與三角函數(shù)聯(lián)系在一起，熟練掌握三角函數(shù)公式，對(duì)于我們解三角形有很大的幫助。

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了解三角形與三角恒等變換知識(shí)，要注意熟練應(yīng)用公式，對(duì)于sin2α=sin2β，在三角形中，不僅要考慮2α=2β，還要考慮到2α+2β=π，主要考察學(xué)生的運(yùn)算求解能力。

二、解三角形與平面向量交會(huì)

平面向量的應(yīng)用十分廣泛，它是高考中經(jīng)?？疾榈膬?nèi)容?？梢园讶切沃械木€段看作向量，用向量可以表示線段與線段之間的位置關(guān)系、大小關(guān)系以及邊角關(guān)系等，將三角形與向量結(jié)合在一起。用向量解題具有思路寬闊、方法靈活、綜合性強(qiáng)的特點(diǎn)。通過(guò)知識(shí)的梳理，深化平面向量與三角形相關(guān)基本知識(shí)的理解及掌握，并歸納相關(guān)題型的解決方法，并總結(jié)平面向量與三角形結(jié)合的常見(jiàn)題型及解題策略。

點(diǎn)評(píng)：三角形面積坐標(biāo)公式的形式與向量共線充要條件的坐標(biāo)形式特征極其相似，十分有益理解掌握，尤其在解析幾何中可以有效地解決與三角形面積相關(guān)的問(wèn)題。在高中數(shù)學(xué)中，“向量”也是不可或缺的一部分，因?yàn)樗写笮∮蟹较?，所以也?jīng)常被出題者所寵愛(ài)，其中“向量”與“三角”之間的聯(lián)系占比例較大。因此“三角”中的許多問(wèn)題都可以利用構(gòu)造“向量”的方法求解。

三、解三角形與數(shù)列交會(huì)

在解決數(shù)列的問(wèn)題時(shí)，會(huì)遇到等差數(shù)列與等比數(shù)列的問(wèn)題，在數(shù)列的應(yīng)用時(shí)，既可以考查等差數(shù)列，又可以考查等比數(shù)列，所以命題人一般會(huì)選擇此類綜合題型。將解三角形與數(shù)列結(jié)合也是命題人喜愛(ài)的方向，這類題型比較多，通過(guò)解題思路的多角度思考，探尋解題的切入點(diǎn)，通過(guò)一題多解，多題歸一，拓展解題思路，掌握解題方法，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)方法的選擇意識(shí)，將三角形與等差數(shù)列、等比數(shù)列更好地結(jié)合在一起。

例3 △ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a、b、c，若a、b、c成等差數(shù)列，證明：sinA+sinC=2sin（A+C）。

解析：因?yàn)閍、b、c成等差數(shù)列，所以a+c=2b，由正弦定理得sinA+sinC=2sinB,

又因?yàn)樵?△ABC中，A+B+C=π，所以sinB=sin（π-A-C）=sin（A+C），即sinA+sinC=2sin（A+C）得證。

點(diǎn)評(píng)：本題解題過(guò)程中不僅運(yùn)用了三角形的正弦定理，還有等差數(shù)列的知識(shí)，在做題時(shí)要保持清晰的思路，這類題主要考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握。

通過(guò)對(duì)以上例題的講解，雖然解三角形問(wèn)題在高中數(shù)學(xué)中頻繁出現(xiàn)，但是相信學(xué)生們只要掌握好解題技巧，巧用數(shù)學(xué)方法，就可以輕松上陣。當(dāng)學(xué)生們積累的越來(lái)越多，就會(huì)熟能生巧，慢慢提高學(xué)生對(duì)知識(shí)的綜合與遷移能力以及邏輯思維能力。