趙自強, 李冬輝

(河南教育學院 數學與統(tǒng)計學院，河南 鄭州 450046)

柯西中值定理“中值點”的漸近性

趙自強, 李冬輝

(河南教育學院 數學與統(tǒng)計學院，河南 鄭州 450046)

在較弱條件下討論了柯西中值定理“中值點”的漸近性，得出了具有一般形式的結果.同時作為推論，得出拉格朗日中值定理“中值點”漸近性具有一般形式的結果.

柯西中值定理；拉格朗日中值定理；中值點；漸近性

0 引言

對于柯西中值定理“中值點”的漸近性，文獻[1-5]進行了研究.本文將文獻[1]中對具有高階導數的要求放寬，在較弱條件下研究柯西中值定理“中值點”的漸近性，得出了具有一般形式的結果.作為此結果的一個特例，得出拉格朗日中值定理“中值點”漸近性具有一般形式的結果.首先，引述拉格朗日中值定理和柯西中值定理.

拉格朗日中值定理設函數F(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內可導，則在(a,b)內至少存在一點ξ，使得等式

F(b)-F(a)=F′(ξ)·(b-a)

成立,其中ξ稱為拉格朗日中值定理的中值點.

柯西中值定理設函數F(x)和G(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內可導，且在(a,b)內G′(x)≠0，則在(a,b)內至少存在一點ξ，使得等式

(1)

成立，其中ξ稱柯西中值定理的中值點.

1 主要定理

證明構造輔助函數

由洛必達法則和定理條件，得

(2)

又由(1)式及拉格朗日中值定理，得

其中ξ和ζ分別為介于a與x之間的柯西和拉格朗日中值定理的中值點.

由于G′(x)在點a連續(xù)且G′(x)≠0，得

所以

再由定理的條件，得

(3)

所以，由(2)，(3)式，得

2 一些推論

推論1設函數F(x)在a的某鄰域U(a,δ)內具有直到n階導數，

F(i)(a)=0(i=1,2,…,n;n≥1)，

F(n+1)(a)存在，在U(a,δ)內G(x)可導且G′(x)≠0，G′(x)在a處連續(xù)，則當F(n+1)(a)≠0時，對于柯西中值定理確定的中值點ξ有

證明由推論的條件，連續(xù)應用洛必達法則，得

由定理，得

在定理中，取G(x)=x,則有

[1] 高國成.微分中值定理“中間點”的漸近性[J].工科數學，2001,17(5):102-104.

[2] 劉文武,嚴忠權.積分型Cauchy中值定理中間點的漸近性[J].數學的實踐與認識，2010,40(11):228-231.

[3] 王金花,孫蘭香,朱江紅.泰勞公式的拉格朗日型余項中值點的研究[J].數學的實踐與認識，2010,40(7):221-224.

[4] 戴立輝.劉龍章.積分型Cauchy中值定理中間點的漸近性[J].大學數學，2009,25(3):168-172.

[5] 李冬輝.具有Lagrange型余項的Taylor定理中值點的漸近性[J].河南教育學院學報(自然科學版)，2016,25(3):1-3.

AsymptoticPropertyofIntermediatePointonCauchyMeanValueTheoremforDifferentials

ZHAO Ziqiang， LI Donghui
(SchoolofMathematicsandStatistics,HenanInstituteofEducation,Zhengzhou450046,China)

Studied the asymptotic properties of intermediate point on the mean value theorem for differentials, and the results are obtained.

Cauchy mean-value theorem; Lagrange mean-value theorem; intermediate point; asymptotic property

2017-03-20

河南省教育廳科技項目(16B110056)

趙自強(1981—)，男，河南沈丘人，河南教育學院數學與統(tǒng)計學院講師.

10.3969/j.issn.1007-0834.2017.02.002

O172.2

：A

：1007-0834(2017)02-0005-03