周晶　郭力平

一、前言

2000年，美國數(shù)學教師理事會（NCTM）頒布了《美國學校數(shù)學教育的原則與標準》，提出了5條過程標準，每條標準描述的是一項數(shù)學過程性能力，分別是問題解決、數(shù)學推理與驗證、數(shù)學交流、數(shù)學關(guān)聯(lián)、數(shù)學表征。過程性能力一經(jīng)提出，其對兒童發(fā)展的重要性就得到了眾多研究的證實。很多研究指出，以問題解決為基礎(chǔ)的教育法能夠提高學生在任務中的表現(xiàn)（Serafino & Cicchelli， 2003； Maccini & Gangon， 2000； Bottge et al.， 2004），對學生的創(chuàng)造性和自我效能感也會產(chǎn)生積極影響（Chung & Ro， 2004）。一項長達五年的縱向研究表明，數(shù)學推理能力是學生數(shù)學成績最為有力的預測因子，學生的推理能力越強，在學校的數(shù)學成就越高（Nunes， Bryant， Barros， & Sylva， 2011； Nunes et al.， 2007）；幼兒園階段的推理能力能夠預測兒童在小學一年級的數(shù)學成績（van de Rijt， van Luit， & Pennings， 1999）。數(shù)學交流在促進兒童數(shù)學理解方面具有重要作用。關(guān)于合作學習的元分析指出學生可以通過合作學習獲益（Johnson & Johnson， 1989； Slavin， 1983）。學生在學業(yè)成績、批判性思維、學習動機、自尊和自信、創(chuàng)造性、概括化的能力、問題解決以及教學滿意度方面都有所提升；在焦慮、壓力、缺勤、拖拉等方面的表現(xiàn)有所下降（Lenning & Ebbers， 1999）。NCTM堅信當“學生在數(shù)學觀點之間建立聯(lián)系時，他們對這些觀點的理解會更深，更持久”。豪斯（House， 2004）分析了1999年TIMSS 研究的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)那些能夠利用日常生活中的知識經(jīng)驗去解決問題的學生在測驗中的得分更高。NCTM指出，數(shù)學觀點以何種方式表征是數(shù)學理解的基礎(chǔ)。萊仕等人（Lesh， Post， & Behr， 1987）指出，通過加強學生的表征能力，學生的概念理解也提高了。

數(shù)學過程性能力的獲得，對兒童來說至關(guān)重要。第一，過程性能力是支持兒童獲得數(shù)學學習內(nèi)容的有力支撐，它強調(diào)了獲得和運用知識的方法（NCTM， p37.）。從這一角度講，過程性能力的獲得能夠幫助兒童順利地在各個階段的數(shù)學教育之間過渡，是有效銜接各個階段數(shù)學教育的重要保證，也是一個人終身學習、終身發(fā)展的前提。第二，過程性能力是兒童學習與發(fā)展的重要目標。一直以來，在我國早期教育中，對數(shù)學教育的含義的理解有一定的偏差，常常把數(shù)學教育理解為算術(shù)教育或計算教育（趙振國，2009），在教育實踐中忽視了兒童在學習過程中表現(xiàn)出的一些能力，這導致了我國早期數(shù)學教育的小學化傾向比較嚴重。因此，從這一角度出發(fā)，數(shù)學過程性能力的提出，對于預防小學化傾向也具有重要意義。第三，從評價的角度來講，提出數(shù)學過程性能力，能夠幫助評價主體更好地從過程的角度來理解兒童的學習與發(fā)展，從而改變目前這種重內(nèi)容、輕能力的評價現(xiàn)狀。而評價是制定教育政策最為有力的依據(jù)，也是教育作出改變的一個重要依據(jù)（Broadfoot， 1996a）。從過程的角度評價兒童的數(shù)學學習，也是提高數(shù)學教育質(zhì)量的一個有效途徑。

2012年，《3-6歲兒童學習與發(fā)展指南》（以下簡稱《指南》）頒布，從學習與發(fā)展目標和教育建議兩個部分對兒童學習與發(fā)展的五個領(lǐng)域進行了描述。其中，學習與發(fā)展目標描述了3～6歲兒童應該知道什么、能做什么。但是，《指南》并沒有針對兒童應該具備哪些數(shù)學能力，特別是過程性能力做出說明?？梢哉f，《指南》更多地只是關(guān)于3～6歲兒童學習與發(fā)展的內(nèi)容標準。作為全國指導性的文件，《指南》對兒童數(shù)學過程性能力的重視不足，可能會向幼兒教師傳遞這樣一個信息：數(shù)學知識的學習比能力的獲得更重要。因此，會導致教師在實際教學過程中重視兒童數(shù)學知識內(nèi)容的學習與技能的獲得，而忽視數(shù)學過程性能力的培養(yǎng)。同時，也會導致對兒童的數(shù)學水平進行評價時，將數(shù)學知識內(nèi)容與技能的掌握作為唯一的內(nèi)容與標準，而忽視數(shù)學過程性能力的考量，從而導致評價的無效。

本研究試圖通過文獻梳理、專家咨詢、開放式調(diào)查、理論思考和統(tǒng)計分析等方法，構(gòu)建我國5～7歲兒童數(shù)學過程性能力的結(jié)構(gòu)體系，進而編制信度與效度較高的考查量表，以期為兒童的數(shù)學教育與評價以及進一步的研究提供理論上的參考和較為有效的研究工具。

二、方法與程序

（一）數(shù)學過程性能力的界定

從一般意義上來說，數(shù)學能力可以分為內(nèi)容性能力和過程性能力。其中，內(nèi)容性能力描述的是學生在學習應該知道的數(shù)學內(nèi)容時表現(xiàn)出的能力，而過程性能力描述的是學生應該如何學習、理解和應用數(shù)學（Graf， 2009）。美國國家研究理事會幼兒數(shù)學委員會在其《早期幼兒數(shù)學學習：通向卓越與公平》報告中將數(shù)學過程能力劃分為一般過程能力和特殊過程能力。其中一般過程能力是兒童在數(shù)學學習過程中時時處處發(fā)展著的數(shù)學過程能力，包括表征能力、問題解決能力、關(guān)聯(lián)能力、推理與證明能力、交流能力。而特殊能力則是指伴隨著某些數(shù)學知識的學習發(fā)展起來的數(shù)學能力，如發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造單位的能力、分解組合能力等（張凝，2010）。本研究主要考察兒童的一般過程能力。

我們認為，數(shù)學過程性能力是指兒童在數(shù)學學習過程中理解、獲得和應用數(shù)學知識內(nèi)容的能力。它應該具備以下的特征：1.數(shù)學過程性能力的獲得是兒童數(shù)學學習的重要目標。數(shù)學是一門相互聯(lián)系的學科，因此，數(shù)學學習的內(nèi)容和過程是相互聯(lián)系和重疊的。過程體現(xiàn)在內(nèi)容之中，同時內(nèi)容也體現(xiàn)在過程之中。數(shù)學教育不僅要向兒童傳遞數(shù)學知識和技能，還要發(fā)展兒童的過程性能力。2.數(shù)學過程性能力是兒童數(shù)學學習的重要支撐。兒童要深入理解數(shù)學知識概念并運用這些知識去解決問題，必須具備一定的過程性能力。如有研究指出，問題解決能力可以幫助兒童更好地理解數(shù)學概念，基于問題解決的數(shù)學教學對兒童的數(shù)學知識的學習非常重要（Hiebert et al.， 1997； Lester & Charles， 2003； Trafton & Thiessen， 1999； Van de Walle & Lovin， 2005）。3.數(shù)學過程性能力具有延伸性。無論是學前階段的非正式的數(shù)學學習，還是學齡階段的正式學習，它們都能夠?qū)和膶W習提供支持。也就是說，一旦兒童獲得了這些重要的能力，就可以在各種學習活動中加以運用，從而使自己的學習活動更為簡單、靈活。

（二）數(shù)學過程性能力結(jié)構(gòu)的初步構(gòu)建

數(shù)學能力是順利完成數(shù)學活動所具備的而且直接影響其活動效率的一種個性心理特征，是數(shù)學活動中形成和發(fā)展起來的，并在這類活動中表現(xiàn)出來的比較穩(wěn)定的心理特征。因此，考查兒童數(shù)學過程性能力的發(fā)展，必須要以分析兒童在數(shù)學活動中的表現(xiàn)為基礎(chǔ)。數(shù)學活動的選擇要根據(jù)以下原則：1. 適宜性，即任務選擇要符合兒童的發(fā)展水平；2. 條件限制，如活動的時長，要充分考慮各年齡段兒童的特點。在以上原則和標準指導下，本研究深入研究了《指南》《全日制義務教育數(shù)學課程標準（修改稿）》（以下簡稱《課程標準》）中有關(guān)數(shù)學的內(nèi)容，《指南》中兒童要學習的數(shù)學內(nèi)容包括計算、測量、空間幾何、統(tǒng)計和模式?！墩n程標準》中1～3年級小學生需要學習的數(shù)學內(nèi)容有3塊內(nèi)容，分別是數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率，其中模式包含在數(shù)與代數(shù)中，測量則包含在圖形與幾何中。本研究綜合了兩份指導文件有關(guān)數(shù)學知識內(nèi)容，設(shè)計了3個數(shù)學活動，分別包括計算（分解與組合）、空間幾何、統(tǒng)計。

根據(jù)數(shù)學過程性能力的概念，通過查閱文獻、開放式調(diào)查、專家咨詢等方式，初步確定兒童在學習與運用數(shù)學知識內(nèi)容的過程中所表現(xiàn)出的各種能力，從而編寫出5～7歲兒童數(shù)學過程性能力考察量表的維度及題項。

對初步提出的數(shù)學過程性能力的一階4個能力要素及相關(guān)題項，向國內(nèi)知名專家、一線幼兒園教師征詢建議。根據(jù)多方意見，并參考國內(nèi)外相關(guān)研究結(jié)果，對初步提出的能力要素及題項進行了修改，從中分析、歸納出可反映兒童數(shù)學過程性能力的34個題項，采用他評3點式的方法記分。

（三 ）正式量表的編制

1. 被試

樣本數(shù)的多少直接影響因素分析的可靠性。為了保證探索性因素分析的精確效度，樣本數(shù)不宜過少；為使驗證性因素分析時模型適配度的卡方值不宜達到顯著水平而拒絕虛無假設(shè)，樣本數(shù)也不能太多。一般認為，因素分析中樣本數(shù)與問卷題項數(shù)的比例要介于1：5和1：10之間為宜。

本研究前期編制的量表有34題，根據(jù)上述原則，本研究共選取200名兒童作為預試的樣本。樣本的選擇遵循方便取樣原則。從吉林省四平市選取了兩所比較熟悉的幼兒園，從中隨機抽取五個大班共100名兒童，男女各半。從四平市選取了兩所小學，從中隨機抽取一年級六個班共100名兒童，男女各半。

2.數(shù)據(jù)收集與處理

采用本研究自行編制的預測量表對兒童的數(shù)學過程性能力進行測量。采用小組活動形式，4～6名兒童組成活動小組參加數(shù)學活動分解與組合，對整個活動過程進行錄像。活動過程分為三個環(huán)節(jié)，即教師提問環(huán)節(jié)、兒童操作環(huán)節(jié)和集體討論環(huán)節(jié)。兒童表現(xiàn)數(shù)據(jù)來自教師提問、兒童作品以及錄像編碼。

在編制與測量表的過程中，只對兒童在分解與組合活動中的表現(xiàn)進行分析。采用SPSS 17.0軟件錄入數(shù)據(jù)并進行項目分析、探索性因素分析和信效度檢驗。兒童在空間、統(tǒng)計活動中的表現(xiàn)進行驗證性因素分析，以探討兒童在不同數(shù)學活動中的能力表現(xiàn)是否具有一致性，本文將不呈現(xiàn)這一部分研究結(jié)果。

三、結(jié)果與分析

（一）項目分析

項目分析（Item analysis）是指通過選擇、替代或修改每一個題項而提高問卷的鑒別度和同質(zhì)性，從而使測驗具有較高的信度和效度。即在求出每一個題項的“臨界比率”（critical ratio， 簡稱CR值）。其測量原理與獨立樣本t檢驗相同。它以測驗總分的前25%～33%為高分組，得分后25%～33%為低分組，求出高分組和低分組被試在每題得分平均數(shù)差異的顯著性。當被試數(shù)量較多，則以測驗總分的前后27%為高、低分組的臨界點。一般來說，t值越高，表示題項的鑒別度越好。

經(jīng)項目分析篩選后，在“數(shù)學過程性能力考察表”中刪除未達標準的題項，結(jié)果如表1所示。根據(jù)結(jié)果，刪除CR值不顯著（p>0.05）的題項，包括第8、17、21、22、30、33題。

（二）量表的信度

本研究采用內(nèi)部一致性和重測進行信度檢驗，因素劃分以探索性因素分析的結(jié)果為準。內(nèi)部一致性信度采用克倫巴赫α系數(shù)，重測信度采取間隔2個月對40名兒童進行重測。檢驗后的內(nèi)部一致性信度及重測信度見表2。

由表可知，兒童數(shù)學過程性能力考察量表各因素的α值在0.546～0.775之間（>0.500），重測信度的皮爾遜相關(guān)系數(shù)在0.417～0.484之間（p<0.05），這說明該考察量表及各因素具有較強的穩(wěn)定性和較高的可靠性。

（三）量表的效度

1. 內(nèi)容效度

確定內(nèi)容效度最常用的方法是請相關(guān)專家對量表的題項與原定內(nèi)容范圍的符合性作出判斷。本研究的各個題項來自對一線教師、專家的開放性調(diào)查結(jié)果，結(jié)合相關(guān)文獻綜述，在此基礎(chǔ)上形成考察量表，并請專家、一線教師以及學前教育專業(yè)研究生對形成的量表進行審查和修改。這些舉措保證了本量表的內(nèi)容效度。

2. 構(gòu)想效度

本研究采用探索性因素分析的方法檢驗量表的構(gòu)想效度，從而對5～7歲兒童數(shù)學過程性能力考察量表的理論構(gòu)想作進一步的探討。

將200名被試在剩余28個題項上的表現(xiàn)進行一階因素分析，采用主成分分析法，結(jié)合陡坡檢驗準則提取因子，抽取特征值大于1的因素4個，能解釋的總變異量為51.895%。旋轉(zhuǎn)后的因子符合情況見表3。由表可知，抽取出的4個因素共包括16個題項。因素1主要考查兒童能夠運用語言去理解、獲得和運用數(shù)學知識，如發(fā)起數(shù)學談話、向同伴提問等，命名為“數(shù)學交流”能力。因素2主要考察兒童能否使用動作、圖畫、通用符號等形式來理解和表達數(shù)學觀念，命名為“數(shù)學表征”能力。因素3主要考察兒童能否提出并驗證自己的數(shù)學猜想以及使用不同的方法來進行推理和驗證，命名為“數(shù)學推理和驗證”能力。因素4主要考察兒童能否在解決問題的過程中運用原有知識和經(jīng)驗，命名為“數(shù)學關(guān)聯(lián)”能力。

四、討論

心理學認為，能力是在實踐活動中直接影響活動效率，使活動順利完成的心理特征。從這個定義可以看出，能力這種個性心理特征與人們所從事的活動緊密相連，這表現(xiàn)在一種能力常常能在多種活動發(fā)揮作用，而并非只對一種活動起作用；另外，要順利完成任何一種活動，又要求多種能力的參與與配合才能實現(xiàn)。數(shù)學過程性能力的作用也如此。為了更好地獲得和使用數(shù)學知識，保證數(shù)學活動的順利進行，必須獲得數(shù)學過程性能力。

對數(shù)學過程性能力的研究比較具有代表性的是美國。1989年，美國數(shù)學教師理事會（NCTM）在眾多研究結(jié)果的支持下，總結(jié)美國數(shù)學教育的經(jīng)驗教訓，在《學校數(shù)

學課程與評價標準》中，提出要在以下五個方面反映新時代所要求的變革（NCTM， 1989）：第一，認識數(shù)學的重要性；第二，對自身的數(shù)學能力充滿信心；第三，成為數(shù)學問題解決者；第四，學會數(shù)學交流；第五，學會數(shù)學推理。為了保證數(shù)學標準能夠保持對數(shù)學教育的適用性，NCTM對1989年版本的數(shù)學標準進行了修訂，于2000年頒布了《學校數(shù)學教育的原則和標準》，將兒童的年級向下延伸至學前階段，指出學前階段到12年級的兒童都應該具備以下五條過程性能力：問題解決、數(shù)學交流、數(shù)學推理與驗證、數(shù)學表征和數(shù)學關(guān)聯(lián)。在英國，數(shù)學應用能力是幼兒數(shù)學教育的一個重點。其他一些國家和地區(qū)也在數(shù)學教育標準中提出要培養(yǎng)兒童的數(shù)學能力，其中包括了過程性能力。如2003年英國政府頒發(fā)了《學習型社會：基礎(chǔ)階段——3～7歲》指導文件，指出基礎(chǔ)階段的數(shù)學教育要引導學前兒童使用知識和對數(shù)學的理解來解決問題，與別人進行數(shù)學問題的交流并發(fā)展數(shù)學推理（崔玉芹，楊曉萍，2008）。加拿大學前教育較發(fā)達的省份安大略省在2010年頒布的《全日制幼兒園大綱（草案）》（The Full-Day Early Learning Kindergarten Program（Draft Version））也提出了問題解決、推理證明、反思、選擇工具和策略、聯(lián)系、呈現(xiàn)、交流七個數(shù)學學習過程（張亭亭，武欣和胥興春，2012）。我國的數(shù)學教育一直不乏對學生數(shù)學知識的學習和數(shù)學能力培養(yǎng)的關(guān)注。比如，2002年《全日制普通高級中學教學大綱》指出，要“在數(shù)學教學過程中培養(yǎng)數(shù)學數(shù)學地提出問題、分析問題和解決問題的能力，發(fā)展學生的創(chuàng)新意識和應用意識，提高學生數(shù)學探究能力、數(shù)學建模能力和數(shù)學交流能力，進一步發(fā)展學生的數(shù)學實踐能力。同時還指出要努力培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力”（中華人民共和國教育部，2002）。

通過文獻梳理我們發(fā)現(xiàn)，盡管各個國家和地區(qū)均認識到了數(shù)學過程性能力的重要作用，在各個國家和地區(qū)的早期數(shù)學學習標準中對數(shù)學過程性能力也均有一定描述，但對于數(shù)學過程性能力的維度及結(jié)構(gòu)要素并沒有統(tǒng)一的認識。雖然諸多國家的數(shù)學標準中均提到了要培養(yǎng)兒童的數(shù)學能力，但明確地將能力標準寫入學校數(shù)學教育標準，美國是第一個也是唯一一個國家。NCTM將過程標準寫入課程標準，一方面表明課程內(nèi)容與數(shù)學能力培養(yǎng)之間高度的相關(guān)性，另一方面?zhèn)鬟f了這樣的信息：我們不應該將數(shù)學能力的培養(yǎng)僅僅看成是執(zhí)行數(shù)學內(nèi)容知識的結(jié)果，更不應該看成是數(shù)學內(nèi)容知識學習的“副產(chǎn)品”，它們是平行的，是我們在數(shù)學教與學的過程中必須同時思考、設(shè)計、執(zhí)行的兩個方面。因此，本研究將美國的五因素理論作為編制考察量表的一個重要的參考。

但是，美國的五因素理論是在長期的數(shù)學教育實踐與理論研究基礎(chǔ)上形成的，從方法上講，是基于理論上和經(jīng)驗上的建構(gòu)。這種建構(gòu)的方法有時會因為地區(qū)、文化的差異而存在合理性和適宜性的問題。因此，在方法上，本研究在參考相關(guān)理論基礎(chǔ)上，采用了因素分析的方法對考查量表的結(jié)構(gòu)進行檢驗。這種數(shù)據(jù)驅(qū)動下的建構(gòu)可以彌補純理論建構(gòu)的不足。而前期基于理論的建構(gòu)又排除了因素分析中個別因子無法命名或理論上無法解釋的可能性。

從理論建構(gòu)的角度看，本研究建構(gòu)的數(shù)學過程性能力維度結(jié)構(gòu)具有一定的理論支持和實踐證據(jù)。首先，本研究理論建構(gòu)和量表編制過程比較嚴格。通過開放式調(diào)查、文獻查閱、專家咨詢等形式形成初步的維度與題項，并以此編制了考察量表。其次，本研究采用多種方法檢驗了理論構(gòu)想的合理性。通過專家鑒定，保證了量表的內(nèi)容效度；探索性因素分析表明因素結(jié)構(gòu)與理論構(gòu)想具有一致性。

但是，本研究也存在一些不足。首先，由于樣本數(shù)的限制本研究在探索性因素分析后沒有進行驗證性因素分析，因此將美國的五因素模型和本研究的四因素模型進行比較，從而驗證模型的適當性。其次，量表的內(nèi)在一致性系數(shù)在某些因素上還達不到通行的0.60的基本標準，其中兩個因素的α系數(shù)在0.50～0.60之間，這顯然不能令人滿意。根據(jù)對量表和研究過程的分析，這些因素的α系數(shù)不高的原因可能有二：一是因素所包含的題項較少，這可能導致α系數(shù)偏低，以后在進一步研究中需要增加各維度的題項，以提高內(nèi)部一致性；二是樣本數(shù)量、被試年齡差異可能造成表現(xiàn)的差異，以后還需在進一步研究時增加被適量。因此，將本研究的量表作為正式施測工具，還需在在研究實踐中作進一步的修改和完善。

此外，今后在研究中還需要增加被試的數(shù)量，以滿足對模型進行驗證的需要。同時，本研究析出的四因素模型，是基于單一數(shù)學活動的分析，是否適用于其他數(shù)學活動，也需要進一步的驗證分析。

（作者單位：寧波大學教師教育學院學前教育系，華東師范大學學前教育與特殊教育學院）