□ 單愛芬

錯(cuò)題整合，拓展周長(zhǎng)教學(xué)的深度空間

□ 單愛芬

周長(zhǎng)的教學(xué)是幾何教學(xué)的一個(gè)起點(diǎn)，是今后學(xué)習(xí)各種圖形周長(zhǎng)和面積的一個(gè)開始，因此在這一單元中培養(yǎng)學(xué)生的周長(zhǎng)概念和空間觀念就顯得尤為重要?？墒敲鎸?duì)學(xué)生在作業(yè)當(dāng)中出現(xiàn)的一些錯(cuò)誤，我們是就題論題去解決問題呢，還是去思考錯(cuò)誤背后的根源呢？一個(gè)錯(cuò)題體現(xiàn)的是某一個(gè)知識(shí)體系的缺失，如果我們能將錯(cuò)題整合，深度分析原因，改進(jìn)教學(xué)的策略，或許就能提升學(xué)生對(duì)周長(zhǎng)的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)。

錯(cuò)題整合 拓展 周長(zhǎng) 數(shù)學(xué)活動(dòng)

周長(zhǎng)的教學(xué)是學(xué)生學(xué)習(xí)幾何類圖形的開始，是學(xué)生學(xué)習(xí)的重點(diǎn)。當(dāng)學(xué)生進(jìn)行單獨(dú)的周長(zhǎng)學(xué)習(xí)時(shí)，學(xué)生總覺得非常簡(jiǎn)單易學(xué)，而一旦進(jìn)入深度學(xué)習(xí)之后，各種各樣的錯(cuò)誤便暴露出來(lái)了。筆者根據(jù)自己的教學(xué)實(shí)踐，對(duì)長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的深度拓展來(lái)談一些自己的思考和改進(jìn)方法。

一、直面錯(cuò)題——在錯(cuò)題的困惑中起步

下面是教材中的一道練習(xí)題：一張長(zhǎng)方形的紙，長(zhǎng)30厘米，寬21厘米。從這張紙上剪下一個(gè)最大的正方形，正方形的周長(zhǎng)是多少厘米？剩下的圖形周長(zhǎng)是多少厘米？

求剩下圖形的周長(zhǎng)，學(xué)生的錯(cuò)解：

在學(xué)生的錯(cuò)解中我們不難發(fā)現(xiàn)：第一種情況學(xué)生是在用大周長(zhǎng)減小周長(zhǎng)的方法，曲解了對(duì)周長(zhǎng)本質(zhì)的理解；第二種情況是學(xué)生算成正方形的面積了；第三種情況是根本不理解題意，對(duì)題目本身的要求不清楚。

周長(zhǎng)的教學(xué)是我們幾何教學(xué)的一個(gè)起點(diǎn)，是今后學(xué)習(xí)各種圖形周長(zhǎng)和面積的一個(gè)開始，因此在這一單元中讓學(xué)生掌握周長(zhǎng)概念和培養(yǎng)空間觀念就顯得尤為重要。可是面對(duì)學(xué)生在作業(yè)當(dāng)中出現(xiàn)的一些錯(cuò)誤，我們是就題論題去解決問題呢，還是去思考錯(cuò)誤背后的根源呢？一個(gè)錯(cuò)題體現(xiàn)的是某一個(gè)知識(shí)體系的缺失，如果我們能將錯(cuò)題進(jìn)行整合，深度分析原因，改進(jìn)教學(xué)策略，或許就能提升學(xué)生對(duì)周長(zhǎng)的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)。

二、深度解讀——在錯(cuò)題的類聚中提煉

一般情況下，作為教師首先想到的是對(duì)題目進(jìn)行詳細(xì)講解，然后進(jìn)行一定題量的訓(xùn)練?？墒窃谝院蟮木毩?xí)中我們不難發(fā)現(xiàn)，學(xué)生還是會(huì)錯(cuò)，要么拼錯(cuò)圖形，要么不知道怎么拼、怎么剪，要么用減法來(lái)求剩余圖形的周長(zhǎng)、用加法來(lái)求合并后圖形的周長(zhǎng)。從有些學(xué)生的解答上來(lái)看，好像是學(xué)生由于審題不清導(dǎo)致的解答錯(cuò)誤，但是在粗心的背后，也反映出了學(xué)生認(rèn)知上的某些缺失和障礙。即使有些學(xué)生會(huì)解題了，但題目本身所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想學(xué)生就沒有想得那么多了，因?yàn)樗麄儧]有從根本上理解圖形拼剪后周長(zhǎng)的變化規(guī)律，所以這不僅僅是因?yàn)轭}目偏難學(xué)生不會(huì)做，也不僅僅是因?yàn)閷W(xué)生審題不清。其實(shí)任何知識(shí)的偏漏，都有它基礎(chǔ)構(gòu)建的缺失，筆者認(rèn)為主要的原因不外乎以下三點(diǎn)。

1.對(duì)周長(zhǎng)概念的建立不夠透徹，即周長(zhǎng)教學(xué)時(shí)概念的外延不夠豐富，特別是變式呈現(xiàn)缺失。錯(cuò)誤的解答通常不是由于錯(cuò)誤的審題所致，也不是教師沒有教過這方面的內(nèi)容，錯(cuò)誤的解答常常有著理論的支撐，如果要理解題目，那么了解學(xué)生的理解就顯得非常重要。學(xué)生為什么會(huì)用減法來(lái)求剩余圖形的周長(zhǎng)、用加法來(lái)求合并后圖形的周長(zhǎng)，就是沒能很好地理解“封閉圖形一周的長(zhǎng)度”這個(gè)概念。對(duì)于這種組合圖形，當(dāng)周長(zhǎng)以變化的方式呈現(xiàn)以后，學(xué)生就更加找不到周長(zhǎng)了。因此，“周長(zhǎng)”概念的建立是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)重點(diǎn)，很多錯(cuò)誤都與周長(zhǎng)概念建立的不扎實(shí)有關(guān)。

2.學(xué)生由于缺乏動(dòng)手操作的機(jī)會(huì)，導(dǎo)致由形象到抽象的空間想象能力不夠。在課堂教學(xué)中，出現(xiàn)最多的就是就題論題，學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)無(wú)非就是用求周長(zhǎng)的方法來(lái)指導(dǎo)解題，因此學(xué)生的思維也就停留在較淺的思維層次，對(duì)于一些稍復(fù)雜的思維題學(xué)生就束手無(wú)策了。這是因?yàn)樵诿鎸?duì)文字表述的問題時(shí)，未能在大腦中形成相應(yīng)的空間圖形，由于在平時(shí)的課堂中缺乏相應(yīng)的操作建立的一種表象，故而也就無(wú)法抽象出剪拼后對(duì)圖形周長(zhǎng)的理解。即使有學(xué)生有意識(shí)地在大腦（草稿紙上或借助實(shí)物）中對(duì)圖形進(jìn)行拼割，也很難完成拼割的過程，可見學(xué)生對(duì)圖形的空間想象能力是相當(dāng)缺乏的。

3.學(xué)生數(shù)形結(jié)合意識(shí)的缺失。面對(duì)這些拼割問題，學(xué)生僅停留在數(shù)與數(shù)之間的運(yùn)算狀態(tài)，缺少形的指導(dǎo)并與形有效對(duì)接，學(xué)生就無(wú)法抽象出對(duì)題意的理解。即使學(xué)生有以形指導(dǎo)的意識(shí)但未能在形的基礎(chǔ)上找出相應(yīng)的數(shù)據(jù)，這樣的情況下解題還是有一定困難的。可見數(shù)形結(jié)合意識(shí)的缺失不但是學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)展上的一個(gè)障礙，也是我們教師在教學(xué)過程中的一個(gè)薄弱點(diǎn)。

三、活動(dòng)整改——在操作活動(dòng)中發(fā)展

（一）解讀題型

錯(cuò)例中的題目和教材中的題目都是通過剪拼來(lái)呈現(xiàn)的，這幾道題不僅是為了鞏固長(zhǎng)方形和正方形周長(zhǎng)的計(jì)算，更是為了發(fā)展學(xué)生的空間觀念，在剪拼過程中立體地感受周長(zhǎng)。如果單一地分析題目，學(xué)生很難從題目當(dāng)中立體地呈現(xiàn)周長(zhǎng)的變化，周長(zhǎng)的增加和周長(zhǎng)的減少其實(shí)是同一個(gè)系列的變化，它們同屬于對(duì)周長(zhǎng)知識(shí)的一次拓展和提升，鞏固和發(fā)展對(duì)周長(zhǎng)的理解有著舉足輕重的作用。

（二）活動(dòng)意圖

綜觀這些易錯(cuò)題，要想將里面所蘊(yùn)含的空間想象和數(shù)學(xué)思想在新課教學(xué)當(dāng)中馬上落實(shí)，這是有一定困難的，這需要學(xué)生有一個(gè)積累和成熟的過程。但是如果分解在不同的時(shí)段里教學(xué)，又會(huì)將題目本身所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想分解得支離破碎。本著對(duì)錯(cuò)誤資源的充分利用和對(duì)教材的整合，既減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，又能拓展學(xué)生對(duì)周長(zhǎng)的深度思考，所以本次教學(xué)改進(jìn)將在利用錯(cuò)題資源的基礎(chǔ)上整合教材，以數(shù)學(xué)活動(dòng)課的形式呈現(xiàn)。設(shè)想在教學(xué)中體現(xiàn)：①周長(zhǎng)概念外延的拓展和變式的呈現(xiàn)，在活動(dòng)課中重點(diǎn)突破“加減法意義”的負(fù)遷移，拓展學(xué)生對(duì)周長(zhǎng)的立體思考。②通過實(shí)物操作、畫圖操作、想象操作三個(gè)層次的活動(dòng)培養(yǎng)學(xué)生的空間意識(shí)。③在數(shù)學(xué)教學(xué)中有意識(shí)地進(jìn)行數(shù)形結(jié)合思想的滲透和培養(yǎng)。力求在資源的整合中，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的空間想象能力和空間觀念。

（三）活動(dòng)方案

1.復(fù)習(xí)引入。

師：同學(xué)們，這是一張長(zhǎng)方形紙，它的周長(zhǎng)在哪里，你能描出來(lái)嗎？（學(xué)生說，老師在黑板上描）

師：老師告訴你們這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是18厘米和12厘米，請(qǐng)你算出它的周長(zhǎng)。板書：（18+ 12）×2=60（cm）。

2.探究。

（1）探究大圖形變成幾個(gè)小圖形后周長(zhǎng)的變化規(guī)律。

①取最大的正方形。

猜：你能在這個(gè)長(zhǎng)方形中剪出一個(gè)最大的正方形嗎？你覺得最大的正方形邊長(zhǎng)應(yīng)是多少？為什么？

折：這個(gè)最大的正方形你能把它折好并撕下來(lái)嗎？（用同樣的方法描到黑板上）

算：請(qǐng)算一算這個(gè)最大正方形的周長(zhǎng)。板書：12×4=48（cm）。

②求剩下小長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)。

你能根據(jù)前面的計(jì)算結(jié)果直接口算出這個(gè)小長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是多少嗎？你是怎樣想的？

Schmuhl等[6]采用微波加熱預(yù)處理低品位銅礦考察對(duì)后續(xù)浸出銅的影響。結(jié)果表明，脈沖式微波加熱預(yù)處理后的銅浸出比連續(xù)式微波效果好，說明脈沖式微波比連續(xù)式微波加熱預(yù)處理后所產(chǎn)生的助磨效果更好。Omran等[7,8]研究微波功率、微波加熱時(shí)間對(duì)高磷鮞狀鐵礦助磨的影響。試驗(yàn)顯示，微波熱處理比傳統(tǒng)熱處理產(chǎn)生更多的裂隙、裂紋，并且微波熱處理所消耗的能量也比傳統(tǒng)熱處理消耗的能量少。

學(xué)生可能的答案：60-48=12（總周長(zhǎng)—正方形周長(zhǎng)）還有沒有不同意見呢？讓學(xué)生充分表達(dá)自己的想法。

（這是教學(xué)的關(guān)鍵處，可充分讓學(xué)生思辨。在此關(guān)注學(xué)生的錯(cuò)誤，暴露學(xué)生的思維，并適時(shí)進(jìn)行教學(xué)改進(jìn)。）

驗(yàn)證學(xué)生的想法：量或算剩下小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬并得出結(jié)果。

③重點(diǎn)討論為什么不是12而變成36呢？（這和學(xué)生的生活及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，求剩下只要直接相減的原有認(rèn)知產(chǎn)生強(qiáng)烈的沖突）

教師順勢(shì)用課件展示周長(zhǎng)的變化過程，讓學(xué)生清晰看到剪下后多出兩條邊。

小結(jié)：大長(zhǎng)方形變成一正一長(zhǎng)后，雖然它們的大小沒變，但周長(zhǎng)卻變化了，增加了兩條邊，這就是本節(jié)課共同討論的內(nèi)容。（板書課題：周長(zhǎng)的變化）

④提升認(rèn)識(shí)：（課件展示繼續(xù)剪的情況）從大長(zhǎng)方形圖中每剪一次多出了兩條邊。

（2）探究幾個(gè)小圖形變成大圖形后周長(zhǎng)的變化規(guī)律。

①拼兩個(gè)小長(zhǎng)方形。

現(xiàn)在大家的手中都有一個(gè)小長(zhǎng)方形。請(qǐng)同桌的兩個(gè)小長(zhǎng)方形拼一拼，你能拼成什么圖形？

學(xué)生討論拼的情況，先猜想周長(zhǎng)是多少再計(jì)算。（請(qǐng)學(xué)生在黑板上畫示意圖，試拼并計(jì)算）

橫拼或疊加兩種。根據(jù)學(xué)生回答板書。

重點(diǎn)交流：周長(zhǎng)為何從2個(gè)36減少到了60或48了呢？?jī)煞N拼法的周長(zhǎng)為何又不一樣呢？

深化認(rèn)識(shí)：如果我們把四個(gè)同學(xué)的小長(zhǎng)方形拼起來(lái)，周長(zhǎng)又是多少呢？五個(gè)呢？借助課件幫助學(xué)生深化認(rèn)識(shí)。

②拼正方形。

那個(gè)撕下的正方形，你也會(huì)拼嗎？（小組合作）

把拼后的示意圖畫下來(lái)，描出所求圖形的周長(zhǎng)，并說說會(huì)出現(xiàn)怎樣的情況。

（這樣做既可以使學(xué)生獲得豐富的表象，發(fā)展空間觀念，又可使學(xué)生學(xué)好抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)，把抽象思維與形象思維緊密結(jié)合起來(lái)，利于發(fā)展學(xué)生的思維能力。）

你能用不同的方法來(lái)計(jì)算周長(zhǎng)嗎？

a.數(shù)邊計(jì)算 b.套用公式計(jì)算 c.周長(zhǎng)總和減減少的邊

③提升。

在拼的時(shí)候，我們不管用怎樣的方法計(jì)算，最后周長(zhǎng)總會(huì)比單個(gè)周長(zhǎng)總和要減少。

得出結(jié)論：每拼一次，隱去兩條邊。

（3）每課一得：這節(jié)課你有什么新的收獲？

結(jié)論：合拼周長(zhǎng)減兩邊；分拆周長(zhǎng)增兩邊。

（4）在練習(xí)中深化學(xué)生對(duì)周長(zhǎng)變化規(guī)律的認(rèn)識(shí)。

剛才我們?cè)诖箝L(zhǎng)方形中剪了一個(gè)最大的正方形，如果我們只要求剪出剩下的那個(gè)小長(zhǎng)方形，只有一種剪法嗎？試著剪一剪，并比較剩下圖形的周長(zhǎng)和原圖形周長(zhǎng)的大小變化。

通過練習(xí)，讓學(xué)生明白圖2周長(zhǎng)變小，圖3周長(zhǎng)相等，圖4至圖6周長(zhǎng)變大。

圖1

圖2

圖3

圖4

圖5

圖6

總之，在操作過程中，各種拼剪后的圖形在學(xué)生腦中建立了表象，有效提升了學(xué)生的空間想象能力，可以說能夠?yàn)榻窈筮M(jìn)一步學(xué)習(xí)幾何圖形打下了一定空間想象基礎(chǔ)。學(xué)生通過拼剪，感受到了周長(zhǎng)的變化規(guī)律，為今后的面積學(xué)習(xí)在變和不變的規(guī)律中尋求知識(shí)的支點(diǎn)。盡管這一次的數(shù)學(xué)活動(dòng)的嘗試，對(duì)于部分學(xué)生來(lái)講加大了教學(xué)的難度，但是既要拓展學(xué)生的認(rèn)知空間又要處理好重點(diǎn)的把握和難度的跨越，這兩者之間也有一個(gè)矛盾的結(jié)合體，于是我們也只能在兩者之間尋找一個(gè)平衡的支點(diǎn)，即使戴著“鐐銬”也別忘自己是個(gè)舞者。

（浙江省紹興市柯橋區(qū)實(shí)驗(yàn)小學(xué) 312000）