劉文章，何景武，嚴斌，吳文偉

（1.中國船舶科學研究中心，江蘇無錫214082；2.北京航空航天大學航空科學與工程學院，北京100191）

提高軸孔連接結構承載能力的設計方法

劉文章1，何景武2，嚴斌1，吳文偉1

（1.中國船舶科學研究中心，江蘇無錫214082；2.北京航空航天大學航空科學與工程學院，北京100191）

文章針對軸孔連接結構提出了一種改善軸孔接觸特性來提高承載能力的方法。以工程中通用的螺栓連接結構為例，建立接觸分析模型，應用Persson接觸理論和優(yōu)化分析方法，通過優(yōu)化耳片孔接觸面的曲面形狀和曲面參數(shù)實現(xiàn)了降低軸孔接觸區(qū)最大接觸應力及改善其分布梯度的目的。針對優(yōu)化后的耳片孔接觸曲面設計結果，利用有限元素法建立了螺栓耳片連接結構模型，分析驗算了接觸應力。結果表明，優(yōu)化分析的解析法和有限元素法的計算結果基本一致。連接結構優(yōu)化設計后，接觸區(qū)最大應力降低50%以上，應力分布梯度明顯改善，提高了其承載能力。

軸孔連接結構；Persson接觸理論；接觸應力；結構優(yōu)化；承載能力

0 引言

軸孔連接在船舶等工程結構設計中應用非常普遍，是機械結構中重要的傳力部件，比如螺栓與耳片。由于其本身的結構特點，承力時往往是外力通過軸直接施加在孔邊上，孔邊會因為擠壓而出現(xiàn)接觸應力分布集中的現(xiàn)象，導致其承載能力不高，而且在動態(tài)載荷作用下，容易造成局部點的接觸受損。因此孔邊接觸區(qū)域往往會成為影響整個連接結構承載能力的關鍵部位。

但是，到目前為止，國內(nèi)外大部分的研究主要集中在接觸應力的求解方法上，對改善接觸應力分布的措施與方法研究不多。參考文獻[1]提出了一種利用能量守恒來計算接觸應力的方法。參考文獻[2-3]主要針對連接件接觸應力分布的求解領域。參考文獻[4-5]利用有限元方法來模擬計算接觸應力。參考文獻[6-7]提出了一種通過改變物體形狀來降低接觸應力的構想，但是沒有形成系統(tǒng)條理的改進方法。

本文建立了一種系統(tǒng)地改善軸孔連接結構接觸區(qū)應力分布的方法。建立連接結構的平面接觸模型，確定接觸應力的理論求解方法，通過改變耳片孔接觸面的曲面形狀并優(yōu)化曲面參數(shù)，使耳片孔邊接觸區(qū)的最大應力及應力分布梯度得到降低，如圖1所示，接觸區(qū)應力分布由初始圖線1變?yōu)槟繕藞D線2。計算軸孔連接結構接觸應力的有限元解，與理論解誤差對比，驗證優(yōu)化設計的準確性。通過上述過程來探究耳片孔接觸面幾何構型對接觸區(qū)應力分布的影響，達到提高承載能力的目的。

圖1 優(yōu)化設計目標示意圖Fig.1 Schematic diagram of optimal target

圖2 軸孔連接結構的接觸示意圖Fig.2 Schematic diagram of contact progress

1 平面接觸模型的建立

1.1 接觸過程分析

通常在使用中，按照配合精度要求，螺栓軸和耳片孔是間隙配合，但是配合間隙很小，配合表面在無變形時已經(jīng)相當接近地貼合在一起。外力載荷P一般通過螺栓軸直接擠壓耳片而傳遞載荷，隨著外部載荷的逐步增加，軸孔接觸由線接觸（圖2虛線所示）迅速擴展到面接觸，使其與軸孔本身的有效幾何尺寸相當。這一邊界非線性的協(xié)調(diào)接觸過程，不適合彈性半空間的假設，不滿足Hertz接觸理論的適用條件[8-9]，需要用Persson接觸理論求解。

1.2 平面接觸模型

圖3 平面接觸模型Fig.3 Model of plane contact

圖4 實例幾何模型示意圖Fig.4 Geometric model

在載荷作用下的接觸過程，沿軸孔連接結構的軸向基本不變，連接結構軸向尺寸相對較大且受力沿軸向變化較小，因此假定軸與孔的應力狀態(tài)為平面應變狀態(tài)，建立如圖3的平面接觸模型，A為螺栓軸截面，B為耳片截面。以某結構物設計中所應用的螺栓耳片結構為例，如圖4所示。

假定螺栓軸與耳片孔的配合精度為H8/f7[10]，平面接觸模型中的幾何參數(shù)為：孔基本尺寸17，孔上偏差ES=0.027，軸下偏差ei=0.034，最大間隙△R=ES-ei=0.061 0，計算中設定螺栓軸半徑rA=16.939，耳片孔半徑rB=17.000。材料參數(shù)為：彈性模量EA=210 GPa，EB=195 GPa，泊松比νA=νB=0.3。外部載荷為：P=285.3 kN。

2 接觸應力的理論求解

應用改進的Persson接觸理論[11-12]，求解軸孔連接結構的接觸應力分布規(guī)律。改進的Persson接觸理論，有以下兩個假設：（1）忽略接觸區(qū)徑向位移和切向位移間的耦合作用；（2）接觸區(qū)法向最大變形與徑向位移之間的關系滿足剛體接觸的幾何剛度條件。忽略接觸區(qū)域的摩擦作用[4]，軸孔連接結構接觸應力的計算，符合Persson理論的兩個假設。

軸A與孔B在點1處配合接觸，在A的軸心Oe處作用一外部集中力P，接觸區(qū)圓弧對應弧度為2ε，接觸區(qū)圓弧關于外力作用線對稱分布，如圖5所示。

載荷P與接觸半弧度ε之間的關系[11-12]如下：

圖5 Persson理論模型示意圖Fig.5 Schematic diagram of Persson model

接觸壓力分布p（y）與變量角φ關系[11-12]如下：

圖6 初始模型的接觸應力分布圖Fig.6 Contact stress distribution of initial model

（1）式是關于ε的非線性方程，在外部載荷P已知的情況下，通過數(shù)值分析方法求得。代入（2）式即可計算得到接觸應力理論解。未優(yōu)化的初始模型接觸區(qū)應力p（y）隨角度φ的變化規(guī)律，如圖6所示。

接觸弧度參數(shù)b=tan（ ε/2）=0.163 0，接觸應力最大值pmax=33 292.0 kPa。

3 耳片孔的優(yōu)化設計

3.1 優(yōu)化設計模型

接觸應力大小與兩個因素有關：（1）接觸點的曲率；（2）接觸點的數(shù)目。

（1）接觸點曲率：如表1所示，rA不變，rB變小，接觸區(qū)域弧度變大，最大接觸應力變小，符合優(yōu)化方向。

（2）接觸點數(shù)目：接觸點越多，承載區(qū)域會越大，接觸應力就會越分散，最大接觸應力也會越小，符合優(yōu)化方向。

螺栓一般為標準件，選擇耳片孔為優(yōu)化對象。設計中選擇耳片孔邊接觸曲面為便于精加工的橢圓形狀，符合上述兩點優(yōu)化方向要求。建立優(yōu)化設計模型，通過優(yōu)化耳片孔的曲面參數(shù)，使接觸區(qū)的接觸應力最大值pmax最小。

優(yōu)化設計模型表述為：

表1 接觸曲率變化對pmax影響表Tab.1 Effect of contact curvature on pmax

如圖7所示，軸A圓的方程為：

耳片孔B橢圓的方程為：

式中：R為圓的半徑，c為圓心到X軸的距離，a為橢圓的短半軸，b1為橢圓的長半軸。

軸A半徑尺寸R=16.939。根據(jù)配合精度，橢圓孔短軸a=17.00固定，選擇長軸b1為優(yōu)化設計變量，b1不同，對應接觸點的曲率就會變化。

3.2 優(yōu)化設計方法

圓與橢圓接觸，如圖7所示，最初接觸點為C和D。外部載荷P平均分配到兩個接觸點上。

圖7 圓與橢圓接觸示意圖Fig.7 Schematic diagram of contact between circle and ellipse

便于計算方便，設計變量由變量b1換算為接觸點和Y軸的角度θ。

圓與橢圓在C點切線斜率相等，

C點位于橢圓上，

（7）式和方程（8）得到θ與b1關系式：

接觸點處的橢圓曲率半徑為

設計變量θ值變化，最初接觸點C和D都會變化，C和D處相應的曲率隨之變化，計算得到C和D處各自的接觸應力分布。

θ值不同，C和D各自接觸區(qū)大小不同，分為C和D接觸區(qū)域是否重合兩種情況。

（1）接觸區(qū)未重疊情況的接觸應力求解：

初始接觸角θ大于等于各接觸點接觸弧度ε，即θ≥ε，如圖8所示。此時兩個接觸點的應力分布沒有重疊。

兩個接觸區(qū)各自的應力分布分別為：

θ=30°時的接觸應力分布圖，如圖9所示。

圖8 未重疊接觸角度示意圖Fig.8 Schematic diagram of contact angle without overlap

圖10 重疊接觸角度示意圖Fig.10 Schematic diagram of contact angle with overlap

圖11 θ=22°時接觸應力分布圖Fig.11 θ=22°:Contact stress distribution

忽略兩個接觸點接觸區(qū)的相互影響，計算兩個接觸區(qū)的應力分布。重疊部分，兩個區(qū)域接觸應力相加；未重疊部分，接觸應力保持不變。

接觸區(qū)應力分布為：

θ=22°時的接觸應力分布圖，如圖11。

（3）優(yōu)化設計過程：

隨著θ值變化，接觸區(qū)應力首先在兩側單獨存在，然后在中間部分重疊。最大應力由大變小，再變大，存在最小值。變化趨勢如圖12中箭頭方向所示。最大接觸應力最小情況發(fā)生在兩個接觸區(qū)域重疊的情況下。

當x=0時的疊加應力p（0）與以C、D點為中心的單側最大應力相等時，最大接觸應力最小，滿足設計目標，即：p（0）=max p（y），計算可得最優(yōu)解θ值和最優(yōu)橢圓曲線參數(shù)b1。

圖12 θ=22°-15°變化時接觸應力變化圖Fig.12 Change of contact stress when θ=22°-15°

3.3 最優(yōu)結果

如表2所示，最優(yōu)解θ=21.096 3°，最優(yōu)橢圓曲線參數(shù)b1=17.070 3，最大接觸應力值降低了58.7%，優(yōu)化效果非常顯著。

表2 優(yōu)化設計結果Tab.2 The optimization design results

4 有限元解和理論解誤差對比

4.1 有限元建模[13-14]

接觸問題是一種極度不連續(xù)的高度邊界非線性問題。兩個面接觸，必須施加相應的約束關系，并判斷接觸面積和接觸壓力。兩個面分開，則沒有接觸存在，就必須移走相應的約束。接觸問題的特點決定了其通常采用增量法求解，采用罰函數(shù)法將界面條件引入到求解方程。本文應用Abaqus軟件，采用Newton-Raphson法求解非線性方程。

對初始未優(yōu)化模型（圓與圓接觸）和優(yōu)化后模型（圓與優(yōu)化設計得到最優(yōu)參數(shù)解的橢圓接觸）兩種情況進行建模。采用平面應變簡化，忽略接觸面摩擦[4]，建立1/2對稱模型，對稱面上施加對稱邊界條件，即U1=UR2= UR3=0，其他周邊邊界為固支。

統(tǒng)一采用CPE4R單元，結構性網(wǎng)格劃分。在接觸面附近對網(wǎng)格進行加密，以獲得良好的計算結果。選擇面面接觸，A為主面，B為從面，小滑移，無摩擦。加載方式為圓A圓心位置豎直外力P0=283.5 kN。圖13左圖未優(yōu)化模型中Circle A為圓A，單元類型為quad，單元數(shù)為526；Circle B為圓B，單元類型為quad，單元數(shù)為2 411。圖13右圖優(yōu)化模型中Circle A為圓A，單元類型為quad，單元數(shù)為848；Ellipse為橢圓B，單元類型為quad，單元數(shù)為3 308。

圖13 有限元模型（左圖為未優(yōu)化，右圖為優(yōu)化）Fig.13 FEM models(left:not optimal,right:optimal)

4.2 有限元計算結果

計算分析得出兩種模型的接觸應力云圖，如圖14所示。計算得出兩種模型的接觸應力曲線圖，如圖15所示，p為接觸應力值，X為從圓最下端位置起沿圓弧向上的距離值。

圖14 接觸應力云圖（左圖：未優(yōu)化，右圖：優(yōu)化）Fig.14 Contact stress contours(left:not optimal,right:optimal)

圖15 接觸應力分布曲線圖Fig.15 Curve gragh of contact stress distribution

圖14和圖15分析得出，圓與圓接觸區(qū)的最大應力發(fā)生在中間最下端位置，接觸圓弧較?。粓A與橢圓接觸區(qū)的最大應力也發(fā)生在中間最下端位置，接觸圓弧較大；圓與橢圓接觸情況下的接觸應力比圓與圓接觸情況下的接觸應力變化更加平緩，接觸區(qū)域面積更大，應力分布梯度更小，最大應力減小了54.8%。

4.3 有限元解與理論解對比分析

表3分別列出了初始模型和優(yōu)化模型的理論解析解和有限元解結果，有限元解和理論解基本吻合，數(shù)據(jù)誤差基本在5%左右，符合計算精度要求。兩方面都驗證了優(yōu)化分析與設計的準確性。

表3 優(yōu)化前后最大接觸應力變化表/104kPaTab.3 Changes of maximum contact stress before and after optimization

5 結論

通過上述理論計算和數(shù)值分析的對比，可以得到如下幾點結論：

（1）本文提出的優(yōu)化設計方法，適用于軸孔連接結構中軸的受力方向為單向受力且具備對孔進行精加工而間隙能夠精確控制的情況。對初始模型結構進行優(yōu)化設計后，軸孔接觸區(qū)的最大接觸應力降低50%以上，因此本文中的優(yōu)化設計方法可以用于提高軸孔連接結構承載能力的工程研究。

（2）該方法從影響軸孔接觸區(qū)接觸應力大小的主要因素（接觸點數(shù)目及接觸點處的接觸曲率）出發(fā)，通過改變孔接觸面的曲面形狀并優(yōu)化其曲面參數(shù)，使得最初接觸點數(shù)目增多、接觸曲率得到優(yōu)化，從而使得外部載荷增加時軸孔的接觸順序從兩側逐步向中部擴展，增加了軸孔接觸面的分布范圍，降低了最大接觸應力。

（3）與傳統(tǒng)的連接結構設計方法相比，本方法將接觸應力考慮到連接件的結構設計中，從連接件承載能力較低的根本原因出發(fā)來設計結構。利用此方法指導連接件設計，結構的利用率更高，對結構的設計工作有一定的推動作用。該設計思想也可以進一步推廣應用到其他有關連接結構中，具有廣泛的工程價值和應用前景。

[1]楊東升,胡偉平,呂來清.銷釘耳片連接件接觸應力分析的能量解法[J].應用力學學報,2011,28(3):304-307. Yang Dongsheng,Hu Weiping,Lü Laiqing.The energy approach to contact stress analysis of pinned connections[J].Chinese Journal of Applied Mechanics,2011,28(3):304-307.(in Chinese)

[2]Iyer K.Solutions for contact in pinned connections[J].International Journal of Solids and Structures,2001,38(50):9133-9148.

[3]Yavari V,Rajabi I,Daneshvar F,et al.On the stress distribution around the hole in mechanically fastened joints[J].Mechanics Research Communications,2009,36(3):373-380.

[4]顏東煌,劉雪鋒,田仲初,等.銷軸連接結構的接觸應力分析[J].工程力學,2008,25(1):229-234. Yan Donghuang,Liu Xuefeng,Tian Zhongchu,et al.Contact stress analysis of pinned connection[J].Engineering Mechanics,2008,25(1):229-234.(in Chinese)

[5]楊生華.齒輪接觸有限元分析[J].計算力學學報,2003,20(2):189-193. Yang Shenghua.Finite element analysis of gear contact[J].Chinese Journal of Computational Mechanics,2003,20(2): 189-193.(in Chinese)

[6]竇鵬,李友國,梁開明,汪長安.CVC熱軋機支承輥接觸應力有限元分析[J].清華大學學報,2005,45(12):1668-1671. Dou Peng,Li Youguo,Liang Kaiming,Wang Changan.Finite element analysis of contact stresses on the backup roll of CVC hot rolling mills[J].Journal of Tsinghua University,2005,45(12):1668-1671.(in Chinese)

[7]魏大盛,王延榮.榫連結構接觸面幾何構形對接觸區(qū)應力分布的影響[J].航空動力學報,2010,25(2):407-411. Wei Dasheng,Wang Yanrong.Effects of profile of contact surfaces on the stress distribution for tenon jointing in blade disk assemblies[J].Journal of Aerospace Power,2010,25(2):407-411.(in Chinese)

[8]Johnson K L.Contact mechanics[M].Cambridge:Cambridge University Press,1987.

[9]Wriggers P,Zavarise G.Computational contact mechanics[M].John Wiley&Sons,Ltd,2002.

[10]王寶忠.飛機設計手冊第10冊:結構設計[M].北京:航空工業(yè)出版社,1994:328-329. Wang Baozhong.Aircraft design manual vol10-structure design[M].Beijing:Aviation Industry Press,2000:410-411.(in Chinese)

[11]Ciavarella M,Decuzzi P.The state of stress induced by the plane frictionless cylindrical contact.I.The case of elastic similarity[J].International Journal of Solids and Structures,2001,38(26):4507-4523.

[12]Ciavarella M,Decuzzi P.The state of stress induced by the plane frictionless cylindrical contact.II.The general case(elastic dissimilarity)[J].International Journal of Solids and Structures,2001,38(26):4525-4533.

[13]Sinclair G B,Cormier N G.Contact stresses in dovetail attachments:Physical modeling[J].Journal of Engineering for Gas Turbines and Power,2002,124(2):325-331.

[14]Belytschko T,Liu W K,Moran B,et al.Nonlinear finite elements for continua and structures[M].John Wiley&Sons, 2013.

Optimal design of improving the carrying capacity of shaft and hole connection structure

LIU Wen-zhang1,HE Jing-Wu2,YAN Bin1,WU Wen-wei1
(1.China Ship Scientific Research Center,Wuxi 214082,China;2.School of Aeronautic Science and Engineering,BeiHang University,Beijing 100191,China)

In order to improve the contact characteristics of shaft and hole connection structure and improve its carrying capacity,one method was proposed.For a typical bolt and lug connection structure,the contact analysis model was established.By Persson contact theory and optimization method,the surface shape and its parameters of the contact surface of shaft and hole were optimized to lower the maximum contact stress and improve its distribution gradient.For the optimized design results of contact surface,using finite element analysis,the FEA model of bolt and lug connection structure was created to calculate the contact stress and verify the optimization results.The results show that the calculated results of analytical method and finite element method are basically the same.Through optimization,the maximum stress of the contact area is reduced by more than 50 percent and the stress distribution gradient is improved significantly.So the carrying capacity of shaft and hole connection structure is increased.

shaft and hole connection structure;Persson contact theory;contact stress; structure optimization;carrying capacity

O343.3

A

10.3969/j.issn.1007-7294.2017.08.009

1007-7294（2017）08-1001-08

2017-02-25

劉文章（1987-），男，工程師，E-mail:articleliu@163.com；何景武（1961-），男，教授。