江蘇常熟市星城小學(xué) 朱裕華

創(chuàng)生“學(xué)材”，讓思維富有張力

江蘇常熟市星城小學(xué) 朱裕華

學(xué)生學(xué)習(xí)的目的不單純是為了掌握知識(shí)，而是通過與學(xué)習(xí)材料的對(duì)話，去感受、經(jīng)歷、體驗(yàn)、思考，最終獲得屬于自己的認(rèn)知和思維。這就需要教師以兒童為中心，關(guān)注學(xué)生每一次文本質(zhì)疑、活動(dòng)體驗(yàn)、經(jīng)驗(yàn)積累、方法重塑的過程，由教材本位走向創(chuàng)生視野的學(xué)材建設(shè)，不斷提高學(xué)生的思維能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

創(chuàng)生 學(xué)材 思維

學(xué)生學(xué)習(xí)的目的不單純是為了掌握知識(shí)，而是通過與學(xué)習(xí)材料的對(duì)話，去感受、經(jīng)歷、體驗(yàn)、思考，才能最終獲得屬于自己的認(rèn)知和思維?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“創(chuàng)造性地使用教材，積極開發(fā)、利用各種教學(xué)資源，為學(xué)生提供豐富多彩的學(xué)習(xí)材料?！边@就需要教師以兒童為中心，關(guān)注學(xué)生每一次文本質(zhì)疑、活動(dòng)體驗(yàn)、經(jīng)驗(yàn)積累、方法重塑的過程，由教材本位走向創(chuàng)生視野的學(xué)材建設(shè)，不斷提高學(xué)生的思維能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

一、文本質(zhì)疑，突破思維的“?！?/h2>

教材是教學(xué)內(nèi)容的載體，在學(xué)習(xí)的過程中，受學(xué)生已有生活經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的影響，學(xué)生與教材的對(duì)話是精彩紛呈的、個(gè)性化的、有時(shí)甚至是批判性的。教師深度引領(lǐng)下的文本解讀，往往會(huì)收獲“意料之外”的學(xué)材生成。

學(xué)習(xí)“統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖”(蘇教版四年級(jí)上冊(cè))時(shí)，教材在例題后安排了一個(gè)現(xiàn)場調(diào)查，并給出了調(diào)查建議和填寫圖表（如下圖）。

上面幾類電視節(jié)目，你們班同學(xué)最喜歡哪一類？先利用下表在小組里調(diào)查，再在全班匯總，并完成統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖。

師：教材上建議我們先小組調(diào)查再全班匯總，你們覺得這個(gè)方法好嗎？

生1：挺好的，可是我還想了解每個(gè)同學(xué)的喜好情況。（大部分學(xué)生表示認(rèn)同）

師：哦，你們是想既要完成匯總又能了解到每個(gè)同學(xué)的情況。那你們想怎么調(diào)查？

生2：可以讓每個(gè)同學(xué)依次報(bào)出自己喜歡的節(jié)目，用剛學(xué)習(xí)的畫“正”字法記錄。

生3：還可以用舉手的方法，讓最喜歡科普類的先舉手，數(shù)出人數(shù)，再讓最喜歡綜藝類的舉手，以此類推。

生4：舉手的方法我補(bǔ)充一點(diǎn)，不能重復(fù)舉，不然就統(tǒng)計(jì)不準(zhǔn)了。

師：那大家商量一下，更愿意采取哪種方法？（學(xué)生大部分選擇畫“正”字的方法，覺得這個(gè)方法不容易出錯(cuò)）

我班共42人，最后統(tǒng)計(jì)結(jié)果是：科普類9人，綜藝類24人，動(dòng)畫類6人，體育類3人。要將這個(gè)結(jié)果繪制到條形統(tǒng)計(jì)圖中，意外出現(xiàn)了：

生（眾）：老師，這個(gè)統(tǒng)計(jì)圖的縱軸上最多20人，畫不下啊。

師：看來專家也沒料到我們班會(huì)出現(xiàn)這樣一個(gè)統(tǒng)計(jì)結(jié)果。那該怎么辦呢？

生1：可以在頂上添4格。

生2：不對(duì)，這里一格代表2人，綜藝類多出了4人，添2格就夠了。

師：添是一個(gè)不錯(cuò)的辦法！可書上也沒預(yù)留空位給大家添啊，不添能解決這個(gè)問題嗎？

生陷入了沉思。

生3（猛地舉起了手）：可以把縱軸上的每格改為表示3人，那這樣就畫得下了。（受到他的啟發(fā)，其他同學(xué)頓時(shí)眼前一亮，繼而發(fā)出了熱烈的掌聲）

……

調(diào)查不僅只是為了得到統(tǒng)計(jì)結(jié)果，還應(yīng)分享統(tǒng)計(jì)過程所反映的信息，學(xué)生一開始就給我以沖擊。他們大膽提出自己收集數(shù)據(jù)的方法，棄用了書上的小組統(tǒng)計(jì)表，直接畫“正”字統(tǒng)計(jì)到班級(jí)統(tǒng)計(jì)表中，當(dāng)統(tǒng)計(jì)結(jié)果意外地不在書本的預(yù)設(shè)范圍時(shí)，更是敢于向書本權(quán)威挑戰(zhàn)，改變縱軸上一個(gè)單位長度所表示的人數(shù)，從而順利完成統(tǒng)計(jì)圖的制作?！斑@真是一次有意義的調(diào)查，這真是一次勇敢的挑戰(zhàn)！”我由衷地給這群可愛的學(xué)生們點(diǎn)贊：“你們不拘泥于教材提供的方法和圖表，敢于突破常規(guī)，真正做到了讓教材為我所用?！睂W(xué)生們也真情地回應(yīng)：“我的統(tǒng)計(jì)我做主，我的課堂我做主?！?/p>

“教材無非是個(gè)例子?！彼鼮閷W(xué)生提供了學(xué)習(xí)的內(nèi)容，但無法規(guī)定學(xué)生思考的邊界，對(duì)文本的質(zhì)疑，恰恰讓我們驚喜地聽到了思維“破壁”的聲音！

二、活動(dòng)體驗(yàn)，創(chuàng)設(shè)思維的“場”

“要讓學(xué)生在學(xué)習(xí)活動(dòng)中體驗(yàn)和理解數(shù)學(xué)?！睌?shù)學(xué)理解，尤其是數(shù)學(xué)概念的理解，只有為學(xué)生提供充分的活動(dòng)體驗(yàn)材料，才能讓學(xué)生在認(rèn)知結(jié)構(gòu)與思維結(jié)構(gòu)之間架起一座無形的橋梁，達(dá)到知情合一的學(xué)習(xí)。

如《三角形的認(rèn)識(shí)》一課，一位教師為了幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)“什么是三角形”，組織了一系列活動(dòng)。

活動(dòng)（一）：畫三角形，初步發(fā)現(xiàn)三角形的特征。

師：試著自己畫一個(gè)三角形。（學(xué)生操作后實(shí)物投影展示交流）

生1：先畫一條線，再畫一條線，然后畫第三條線。（邊說邊在自己所畫的三角形上比畫）

師：你畫了幾次？（3次）這三條都是直直的——（線段）。

生2：我是先確定三個(gè)點(diǎn)，依次把三個(gè)點(diǎn)連起來畫出了一個(gè)三角形。

生3：我是先畫了一條線段，再在線段外定了一個(gè)點(diǎn)，將這個(gè)點(diǎn)依次和線段的兩個(gè)端點(diǎn)連起來。

師：同學(xué)們真棒，用這么多不同的方法畫出了三角形，雖然畫法不同，但哪些方面是一樣的？（引導(dǎo)認(rèn)識(shí)：都有三個(gè)點(diǎn)、三條線段、三個(gè)角）

呈現(xiàn)學(xué)生中出現(xiàn)的錯(cuò)例：一個(gè)一邊畫出頭的三角形、一個(gè)兩邊沒接住的三角形。師：這兩個(gè)是三角形嗎？為什么？（引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到：三條線段要“首尾相接”）

活動(dòng)（二）：判斷凸顯三角形特征，建立概念。

師：下面一組圖形，哪些是三角形？哪些不是？為什么？

學(xué)生觀察、判斷并說明理由（略）。

師：那現(xiàn)在你們能說說到底什么是三角形了嗎？

在學(xué)生進(jìn)行了充分的表達(dá)后指出：三條線段首尾相接圍成的圖形叫三角形。

引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)三角形的邊、頂點(diǎn)和角。

活動(dòng)（三）：再畫三角形，研究三個(gè)頂點(diǎn)的位置關(guān)系，豐滿概念。

出示問題：右邊的方格紙上有4個(gè)點(diǎn)，從這4個(gè)點(diǎn)中任選3個(gè)作為頂點(diǎn)，都能畫一個(gè)三角形嗎？你有什么發(fā)現(xiàn)？

（展示學(xué)生所畫的不同的三角形）師：這些所畫出的三角形，在選擇頂點(diǎn)的時(shí)候有什么共同的地方？

生：都選到了點(diǎn)A。

師：這是巧合還是必須選到點(diǎn)A？

生：必須選到點(diǎn)A，因?yàn)辄c(diǎn)A跟點(diǎn)B、C、D不在一條直線上。

師：任取一個(gè)我們畫出的三角形，想象一下點(diǎn)A還可以在哪里也能圍成三角形？

交流發(fā)現(xiàn)：只要三個(gè)頂點(diǎn)不在同一條直線上就能圍成一個(gè)三角形。

三角形概念的建立應(yīng)是一個(gè)逐步抽象概括的過程，在這一環(huán)節(jié)，教師組織了豐富的活動(dòng)。先讓學(xué)生試畫三角形，通過交流認(rèn)識(shí)不同畫法中的共性，即三角形都有三條邊、三個(gè)頂點(diǎn)和三個(gè)角，使學(xué)生獲得對(duì)三角形特征的初步感悟。接著通過判斷，使學(xué)生進(jìn)一步明晰三角形的表象，并讓學(xué)生用自己的語言來說說什么是三角形，以兒童的視角來解釋、抽象三角形，逐步完善概念。然后再畫三角形，讓學(xué)生在再次操作的基礎(chǔ)上，展開想象，發(fā)現(xiàn)：只要三個(gè)頂點(diǎn)不在同一條直線上就能圍成一個(gè)三角形，使學(xué)生對(duì)三角形的認(rèn)識(shí)趨于深刻。

通過經(jīng)歷這樣充分的操作、觀察、發(fā)現(xiàn)、思考、交流活動(dòng)，使學(xué)生始終沉浸在“什么是三角形”的思維場中，學(xué)生的思維不再是被架空的，而是可觸摸的、豐滿的。

三、經(jīng)驗(yàn)積累，促進(jìn)思維的“變”

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)經(jīng)驗(yàn)不斷積累、修正和完善的過程。基于某一數(shù)學(xué)模型的創(chuàng)生和發(fā)展過程，為學(xué)生選擇和提供類似的、系列化的學(xué)習(xí)材料，為學(xué)生培植經(jīng)驗(yàn)生長的土壤，“讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界”。

教學(xué)“乘法分配律”時(shí)，一位教師改變了書本例題，利用幾何直觀展開教學(xué)：

師：熊出沒農(nóng)場有一個(gè)長方形果園，原來長80米，寬20米，擴(kuò)大規(guī)模后，長增加了30米?，F(xiàn)在這個(gè)果園的面積有多大？（如下左圖）

引導(dǎo)學(xué)生用不同的方法求兩個(gè)果園的面積和，并形成等式。

師：如果由你自己決定長增加的米數(shù)，你決定增加幾米？準(zhǔn)備用哪兩種方法解決這個(gè)問題？能像上面一樣寫出一個(gè)等式嗎？（如上右圖）

學(xué)生自主探索，教師選擇部分學(xué)生得出的等式交流板書。

師：比一比，等號(hào)左邊的算式和右邊的算式有什么相同和不同的地方？（引導(dǎo)學(xué)生初步感知乘法分配律模型，略）

師：熊出沒農(nóng)場中還有幾塊菜地（如下圖），如果讓你從這四塊長方形菜地中任選兩塊拼成一塊大的長方形菜地，你會(huì)怎么選？你還能通過算出它們的面積和，得到黑板上這樣的等式嗎？

學(xué)生活動(dòng)，交流呈現(xiàn)兩種拼法及相應(yīng)的等式。

師：為什么有的菜地拼在一起可以寫出一個(gè)等式，而有的不行呢？（將交流指向乘法分配律的本質(zhì)，有一個(gè)數(shù)相同，理解乘法分配律模型，略）

師：這是菜地圖的一種拼法，如果用字母a、b、c來表示這兩個(gè)長方形的長和寬（如圖）。此時(shí)又可以寫出怎樣的等式？

板書：（a+b）×c=a×c+b×c。

師：這個(gè)規(guī)律在數(shù)學(xué)上叫作“乘法分配律”。

師：這里的a、b、c還能表示哪些數(shù)？

……

本例中，教師首先引導(dǎo)學(xué)生計(jì)算“現(xiàn)在這個(gè)果園的面積有多大”，讓學(xué)生親歷等式形成的過程。接著，將“增加30米”變?yōu)椴淮_定量“（）米”，讓學(xué)生自由編寫等式，這一變夯實(shí)了學(xué)生得到等式的經(jīng)驗(yàn)，并初步感悟等式兩邊算式的聯(lián)系及特征。然后，出示4種不同規(guī)格的長方形（其中三塊兩兩之間或者長相等或者寬相等，一塊長與寬都不相等），這一變變?cè)诹藢W(xué)生思維的關(guān)鍵處，對(duì)學(xué)生從本質(zhì)上認(rèn)識(shí)乘法分配律（即乘法分配律中必須有相同乘數(shù)）起到了關(guān)鍵作用。最后，將具體數(shù)據(jù)抽象成字母，在“式”與“形”與“數(shù)”的結(jié)合中，推而廣之，使學(xué)生從更一般的層面上認(rèn)識(shí)乘法分配律，完成模型的建構(gòu)。

為使學(xué)生有效建構(gòu)乘法分配律這一數(shù)學(xué)模型，教師精心安排了一系列學(xué)習(xí)材料，通過相似素材的局部變化，促使經(jīng)驗(yàn)不斷生長，捕捉和預(yù)設(shè)思維的變化點(diǎn)，順利實(shí)現(xiàn)思維的提升。

四、方法重塑，交織思維的“網(wǎng)”

數(shù)學(xué)知識(shí)之間有很多重要的聯(lián)系，有的往往又隱藏于看似簡單的知識(shí)背后，有時(shí)是一道習(xí)題，有時(shí)是一個(gè)已經(jīng)明了的知識(shí)鏈。深度挖掘這些簡單知識(shí)背后的關(guān)聯(lián)處，只要一個(gè)得當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)材料便能承載思維之重。

“平面圖形的面積關(guān)系”的復(fù)習(xí)課中，浙江省特級(jí)教師張翼文老師就引領(lǐng)學(xué)生展開了一次新的探索。

活動(dòng)材料及要求：請(qǐng)?jiān)诟褡訄D中畫出高為4cm，面積為20cm2的梯形（每個(gè)小正方形的邊長是1cm）。

學(xué)生活動(dòng)，明確：上下底之和為10cm，高4cm不變。

展示學(xué)生畫出的不同梯形，如：上底4cm下底6cm，上底3cm下底7cm，上底2cm下底8cm，上底1cm下底9cm。（順次板貼如上四種梯形）

師：只有這四種嗎？

生1：還可以是上底1.1cm，下底8.9cm。

生2：上下底可以是整數(shù)，還可以是小數(shù)、分?jǐn)?shù)。

引導(dǎo)繼續(xù)舉例，并板貼：上底0.9cm下底9.1cm，上底0.8cm下底9.2cm……上底0.2cm下底9.8cm，上底0.1cm下底9.9cm（高4cm）的梯形。

師：這樣的梯形還有嗎？有多少個(gè)？只要滿足什么條件？

生：這樣的梯形有無數(shù)個(gè)，只要保持上、下底的和為10cm。

師：請(qǐng)你靜靜地看過去（指板書中梯形的呈現(xiàn)順序），有什么發(fā)現(xiàn)？

交流兩個(gè)維度的觀察：看數(shù)據(jù)，上底越來越小，下底越來越大；看圖形，越來越像三角形。

想象：A和B越來越靠近，當(dāng)A和B重合時(shí)，就變成了——三角形。

推理：S=（a+b）h÷2→b=0時(shí)→S=ah÷2，所以，梯形的面積計(jì)算公式對(duì)三角形同樣適用。

再想象：如果上底變大，下底變小，當(dāng)上底和下底相等時(shí)，就變成了——平行四邊形。

再推理：S=（a+b）h÷2→a=b時(shí)→S=2ah÷2=ah，所以，梯形的面積計(jì)算公式對(duì)平行四邊形同樣適用（長方形是特殊的平行四邊形，也適用）。

追問：a和b怎樣時(shí)，就是梯形？（a和b不相等時(shí)）

復(fù)習(xí)并不是對(duì)已學(xué)知識(shí)的簡單呈現(xiàn)和疊加，而應(yīng)是在原有知識(shí)基礎(chǔ)上的延伸和發(fā)展。教師通過一個(gè)畫圖活動(dòng)，在學(xué)生自主活動(dòng)、展示交流的基礎(chǔ)上，有序呈現(xiàn)等積等高、上下底逐漸變化的梯形。然后引導(dǎo)交流、想象、推理，巧用直觀，扣準(zhǔn)變化趨勢，引導(dǎo)學(xué)生深度思考這三個(gè)面積計(jì)算公式之間的內(nèi)在聯(lián)系。如果說新知學(xué)習(xí)時(shí)長方形——平行四邊形——三角形、梯形的推導(dǎo)經(jīng)歷是知識(shí)的分（發(fā)展）的過程，那么這次復(fù)習(xí)則是把這些公式再次統(tǒng)整的合（融合）的過程。兩次學(xué)習(xí)歷程，看似是兩條不同的思維通道，實(shí)則它們之間密不可分，相互交織，已然在學(xué)生頭腦中交織成了一張更大的思維網(wǎng)。

由一道常見的畫圖題引領(lǐng)學(xué)生想開去，回眸梯形、三角形、平行四邊形的面積計(jì)算公式，讓思維的觸角延伸再延伸，這一學(xué)習(xí)材料雖然簡單卻極其厚重！?