鄒 超，陳發(fā)祥，金澤宇，諶 勇

(1.江南造船集團有限責任公司，上海 201913；2.上海交通大學 機械與動力工程學院，上海 200240)

敷設(shè)覆蓋層圓板水下爆炸響應(yīng)理論計算方法研究

鄒 超1，陳發(fā)祥1，金澤宇2，諶 勇2

(1.江南造船集團有限責任公司，上海 201913；2.上海交通大學 機械與動力工程學院，上海 200240)

為研究敷設(shè)覆蓋層圓板水下爆炸響應(yīng)，提出一種理論計算方法。敷設(shè)覆蓋層對圓板水下爆炸響應(yīng)影響包括兩方面：一為對沖擊載荷的影響，二為在沖擊載荷作用下對響應(yīng)的影響。該理論計算方法運用波在多層介質(zhì)傳播理論得到濕表面壓力，并積分得到?jīng)_量，運用等效均一化理論得到覆蓋層與鋼板整體結(jié)構(gòu)的等效參數(shù)，根據(jù)圓板振動理論得到圓板真空振動方程，通過考慮水附加質(zhì)量的影響修正圓板振動頻率，最后根據(jù)初始條件得到圓板的響應(yīng)。將理論方法的結(jié)果與有限元結(jié)果通過實例進行對比，證明該理論計算方法可以很好地預(yù)測圓板振動的位移響應(yīng)。

振動與波；覆蓋層；圓板；水下爆炸；多層介質(zhì)傳播的波；等效參數(shù)；無量綱附加質(zhì)量因子

隨著現(xiàn)代武器的發(fā)展和對潛艇生命力要求的提高，對潛艇低輻射噪聲和高抗爆炸沖擊性能的研究越來越受到各國海軍的重視。目前通常在潛艇的艇體表面敷設(shè)一層多孔介質(zhì)覆蓋層以達到抗沖隔聲的目的。因此研究在水下爆炸沖擊波輸入情況下表面敷設(shè)覆蓋層對潛艇艇體表面結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響極為重要。

由于潛艇板、殼有加強筋的作用，將有覆蓋層的加強筋圍成的板簡化為固支有實心覆蓋層的圓板。沖擊載荷假設(shè)為遠場平面波，簡化模型如圖1所示。氣背襯相當于潛艇的耐壓殼，水背襯相當于潛艇的輕外殼。分析敷設(shè)覆蓋層圓板在沖擊載荷作用下的響應(yīng)，可以預(yù)測潛艇殼體的應(yīng)力和變形。

圖1 簡化模型

對于該簡化模型，理論計算方法主要分為兩部分，第一部分為敷設(shè)覆蓋層圓板對沖擊載荷的影響，第二部分為敷設(shè)覆蓋層圓板在沖擊載荷作用下的響應(yīng)。第一部分對沖擊載荷的預(yù)測，采用波在多層介質(zhì)中的傳播理論，計算出濕表面（流體固體交界面）壓力隨時間變化的曲線[1]。第二部分對響應(yīng)的預(yù)測，首先運用在第一部分中求得的壓力曲線，對時間積分，求出沖量，由于沖擊載荷作用時間非常短，在非常的短時間內(nèi)可以認為，圓板的初始位移為0，具有恒定的可以由沖量求得的初速度。然后運用等效理論，將敷設(shè)覆蓋層圓板等效為均勻圓板，求出等效剛度和等效泊松比[2–3]。再根據(jù)圓板振動理論建立圓板振動方程，考慮水附加質(zhì)量的影響修正圓板振動頻率[4–5]。最后根據(jù)給定的初始條件求出圓板的響應(yīng)。

金澤宇等對一維波在多層介質(zhì)中傳播的理論進行了研究，雖然其應(yīng)用范圍為小振幅聲波，但是在水下沖擊波為遠場并且沖擊波脈寬很小、當沖擊波基本結(jié)束而板位移很小的情況下也可以應(yīng)用該理論，該理論可以很好預(yù)測敷設(shè)覆蓋層對沖擊輸入載荷響應(yīng)的影響[1]。Gong和Lam分析了在水下爆炸沖擊載荷下復合梁的瞬態(tài)響應(yīng)[2]和懸浮結(jié)構(gòu)響應(yīng)的衰減[3]。在處理敷設(shè)覆蓋層的結(jié)構(gòu)時，采用最小勢能原理對復合結(jié)構(gòu)進行等效，得出的等效剛度、等效泊松比、等效結(jié)構(gòu)阻尼用于下步計算。Lamb假設(shè)圓板在水中振動振型與真空中振型相同，估算固支圓板在水中振動的1階、2階固有頻率，提出無量綱附加虛擬質(zhì)量因子，并計算了圓板的輻射聲功率衰減[4]。Amabili和 Kwak發(fā)展了lamb的理論[5]，他們在和lamb假設(shè)一樣的條件下，即假設(shè)水中各階振型與真空中振型相同，在簡支、自由和固支邊界條件下運用Hankel變換計算了各階頻率對應(yīng)的無量綱附加虛擬質(zhì)量因子，他們用于計算的振型函數(shù)比lamb更為精確，同時計算結(jié)果不局限于第1階、第2階固有頻率，并且計算了放棄lamb假設(shè)條件即精確假設(shè)水中振型條件下的結(jié)果，給出了在lamb假設(shè)條件下的計算誤差。其他模型包括板為方板[6]、環(huán)形板[7]，以及其他邊界條件[8]和水假設(shè)為牛頓流體條件下[9]的水下振動響應(yīng)前人已經(jīng)進行了研究，而板在水下振動的實驗結(jié)果[10]與理論分析吻合得很好，所以文中提出的固支邊界條件下圓形板的計算方法可以拓展到其他邊界條件下的其他幾何模型板。

運用理論計算方法，對敷設(shè)覆蓋層固支圓板在水下爆炸沖擊載荷作用下的響應(yīng)進行理論分析，該理論計算結(jié)果可以近似表示潛艇板、殼在水下爆炸沖擊作用下的響應(yīng)。

1 計算方法

本節(jié)將介紹敷設(shè)覆蓋層圓板對沖擊載荷的影響和敷設(shè)覆蓋層圓板在沖擊載荷下的響應(yīng)的計算方法。

1.1 敷設(shè)覆蓋層圓板對沖擊載荷的影響

根據(jù)一維波在多層介質(zhì)的傳播理論[1]，設(shè)r、s分別表示介質(zhì)間的反射、透射系數(shù)，r12表示壓力波從介質(zhì)1（水）到介質(zhì)2（覆蓋層）時的反射系數(shù)，s32表示壓力波從介質(zhì)3（鋼板）到介質(zhì)2（覆蓋層）的透射系數(shù)，其余類似命名同理，rIII為邊界條件。

當m≥1，n≠0時濕表面壓力在特征時間的增量

其中特征時間tm,n=m?ts2+n?ts3，ts2、ts3分別表示壓力波在覆蓋層和鋼板來回傳播一次的時間。fi(tm,n,t)表示壓力波從覆蓋層透射到鋼板i次的增量。

pin(t)表示入射波。

算出特征時間壓力的增量，每一時刻濕表面壓力即為該時刻及以前所有順序的時刻壓力增量的和

運用波在多層介質(zhì)中的傳播理論可以求解各層介質(zhì)任意交界面上的壓力，上面僅列出用于求解濕表面的計算方法，其余物理量可用類似方法求得。為求出輸入結(jié)構(gòu)的沖量，需要將濕表面壓力曲線對時間的積分減去背襯面壓力曲線對時間的積分。在氣背襯條件下，背襯面壓力為0，而水背襯條件下，背襯面壓力則不為0。圖2所示為覆蓋層阻抗變化對結(jié)構(gòu)輸入沖量的影響曲線。圖中曲線是在固定波在鋼板、覆蓋層傳播一次時間條件下改變覆蓋層阻抗得到的。圖中橫坐標n1/n2=R1R3/R22，R1、R2、R3分別為水、覆蓋層、鋼板的阻抗率。橫坐標的值越大表示覆蓋層的阻抗越小。

圖2 覆蓋層阻抗變化與輸入沖量關(guān)系曲線

由圖中可以看出在氣背襯條件下，隨著覆蓋層的阻抗減小，作用于結(jié)構(gòu)的總沖量減小，將覆蓋層為橡膠和覆蓋層為鋼兩種情況進行比較，有橡膠覆蓋層條件下作用于結(jié)構(gòu)的沖量約減小為原來的1/2。這與諶勇等根據(jù)實驗研究得出的敷設(shè)覆蓋層會降低作用到結(jié)構(gòu)的總沖量的結(jié)論一致[11]。在水背襯條件下，隨著覆蓋層阻抗的減小，作用于結(jié)構(gòu)的總沖量先減小后增加再減小，不過在增加的過程增幅很小，將有橡膠覆蓋層和覆蓋層為鋼兩種工況進行比較，有橡膠覆蓋層時，作用于結(jié)構(gòu)的沖量約減小為原來的1/3。將水背襯條件與氣背襯條件相比，水背襯條件下作用于結(jié)構(gòu)的總沖量遠小于氣背襯條件下作用于結(jié)構(gòu)的總沖量，這是由于水背襯條件下，壓力波透射到背襯水中，使得結(jié)構(gòu)得到的總沖量很小，大部分能量會通過背襯水繼續(xù)傳播。從這可以得出，輕外殼不承受沖擊波壓力，沖擊波壓力透射到背襯水中，從而作用在耐壓殼上。

1.2 敷設(shè)覆蓋層圓板在沖擊載荷下的響應(yīng)

為求得敷設(shè)覆蓋層圓板在沖擊載荷作用下的響應(yīng)，需要將覆蓋層鋼板等效為均勻圓板，求出等效剛度與等效泊松比，然后根據(jù)固支圓板振動方程求出圓板真空振動的各階頻率與振型，并假設(shè)附連水振動的各階振型與圓板真空振動各階振型相同，求出附加質(zhì)量對圓板振動的各階頻率的修正量，最后取前4階頻率的振型作為響應(yīng)函數(shù)，根據(jù)初始條件求出響應(yīng)的振幅，即為敷設(shè)覆蓋層圓板在沖擊載荷作用下的響應(yīng)。

1.2.1 等效剛度與等效泊松比

根據(jù)最小勢能原理得到的等效理論[2–3]，等效泊松比νst與等效剛度Est為

1.2.2 固支邊界條件下水中圓板的振動響應(yīng)

為求水中圓板的振動響應(yīng)，首先求出真空圓板的振動頻率與振型，并假設(shè)附連水振動的各階振型與圓板真空振動各階振型相同，求出附加質(zhì)量對圓板振動的各階頻率的修正，最后取前4階頻率的振型作為響應(yīng)函數(shù)，根據(jù)初始條件求出響應(yīng)的振幅。

由圓板振動理論，圓板真空振動方程為

其中m，n分別代表節(jié)徑和節(jié)圓的個數(shù)。Amn、Cmn為由邊界條件決定的模態(tài)振型常數(shù)。Jm、Im為第一類貝塞爾函數(shù)和修正貝塞爾函數(shù)。真空振動角頻率為

考慮固支圓板，邊界條件為

得到頻率方程

模態(tài)振型常數(shù)關(guān)系可以由求出的λmn得出。

水的影響相當于對結(jié)構(gòu)加上一個附加質(zhì)量，使平板的振動頻率降低。假設(shè)圓板在水中的模態(tài)振型與板在真空中模態(tài)振型相同，通過瑞利商估算板在水中振動頻率

其中fL為圓板在水中的振動頻率，fV為圓板在真空中振動的頻率，βmn為附加質(zhì)量因子。

Γmn為無量綱附加質(zhì)量因子，見表1。如果圓板兩面都是水，則Γmn乘以2。由此可以對真空頻率進行修正。

板的響應(yīng)為板各階模態(tài)振型與時間項乘積的疊加。估算時，可取有限項，此處取4項。由于載荷對稱，邊界對稱，所得的結(jié)果中節(jié)徑為0，即m=0。此時變化n可以求得各個特征頻率。

由于板響應(yīng)時間與沖擊波時間常數(shù)相比非常小，因此可以假設(shè)初始條件為

其中v0根據(jù)輸入波等效沖量得出。此時由式(13)中第一個初始條件可得

設(shè)fLn為圓板在水中第n階振動頻率，則板的振動方程為

考慮圓板敷設(shè)覆蓋層，需要求出敷設(shè)覆蓋層圓板的振動頻率。真空中圓板振動的頻率由式(20)可化為

其中c為波在介質(zhì)傳播的波速。若有兩層介質(zhì)，覆蓋層波速為c1，鋼板波速為c2，則平均波速（即波穿過兩層介質(zhì)的速度）可用以下式計算

由此可以求得敷設(shè)覆蓋層圓板真空振動頻率。

無量綱附加質(zhì)量因子Γmn在軸對稱情況可以由表1得到[5]（此處為氣背襯板，水背襯乘以2）。

表1 軸對稱條件（m=0）下無量綱附加質(zhì)量因子Γmn

則由式(16)可計算出βmn，代入式(15)可以得到敷設(shè)覆蓋層圓板水中振動頻率。

2 方法驗證與結(jié)果討論

為了驗證方法的正確性，通過Abaqus建立敷設(shè)覆蓋層圓板水下爆炸模型進行計算，并與估算方法的計算結(jié)果進行對比。介質(zhì)物理幾何參數(shù)如表2所示。

選取沖擊載荷峰值壓力p0為20 000 Pa，衰減常數(shù)θ為0.5 ms，以平面波加載圓板。不考慮空泡響應(yīng)和氣泡脈動的影響。

實例驗證中采用氣背襯邊界。Abaqus中的有限元模型是軸對稱的。覆蓋層和圓板半徑為1 m，水體半徑為10 m。覆蓋層和圓板為CAX4R單元，水體為ACAX4R單元。覆蓋層和鋼板半徑方向單元數(shù)目100個/m，覆蓋層和鋼板厚度方向單元數(shù)目為2 000個/m。考慮厚度方向波的傳播效應(yīng)，厚度方向網(wǎng)格較多。水體單元劃分為兩部分，貼近水的單元數(shù)目為100個/m，遠離水的采用bias劃法，單元在接近圓板的位置密集，遠離圓板位置稀疏。Abaqus中有限元網(wǎng)格劃分見圖3、圖4、圖5。

圖3 Abaqus有限元整體模型網(wǎng)格劃分

圖4 Abaqus有限元模型濕表面網(wǎng)格劃分

圖5 Abaqus有限元模型結(jié)構(gòu)網(wǎng)格劃分

運用估算方法計算得到敷設(shè)覆蓋層圓板在真空的前4階振動頻率，其與在水中計算得到的振動頻率以及與Abaqus模態(tài)計算結(jié)果對比如表3所示。

從表中可以看出在真空中敷設(shè)覆蓋層圓板的頻率估算誤差不大，而在水中敷設(shè)覆蓋層圓板估算的頻率中基頻誤差不大，而稍高頻率誤差較大，不過由于稍高頻率在響應(yīng)中所占比重不大，對結(jié)果影響不大。

表2 介質(zhì)的物理幾何參數(shù)

選取沖擊載荷峰值壓力p0為20 000 Pa，衰減常數(shù)θ為0.5 ms，圓板上加載表面平面波。理論計算方法求得濕表面瞬態(tài)壓力與Abaqus仿真結(jié)果對比如圖6所示。

圖6 濕表面瞬態(tài)壓力理論計算方法與有限元仿真方法所得結(jié)果對比

從圖中可以看出，估算方法計算所得濕表面瞬態(tài)壓力與Abaqus仿真結(jié)果吻合較好，有限元壓力曲線的上下波動是由于有限元網(wǎng)格不夠密集導致的數(shù)值誤差造成的，不過誤差不影響最終結(jié)果?？梢灶A(yù)計，計算結(jié)果與仿真結(jié)果對時間積分的結(jié)果幾乎相同，即初始輸入估計較為準確。

圖7所示為圓板位移響應(yīng)理論計算位移與有限元計算位移在圓板中心點處的對比。

圖7 圓板位移響應(yīng)算法所計算位移與有限元所計算位移對比

從圖中可以看出圓板位移響應(yīng)預(yù)測的峰值與有限元計算所得位移幾乎相同。由所取計算模態(tài)數(shù)量不足導致的響應(yīng)結(jié)果差異對結(jié)果影響不大，而沖擊響應(yīng)中關(guān)注的就是壓力峰值，所以結(jié)果預(yù)測可以達到預(yù)期的效果。

表3 敷設(shè)覆蓋層圓板真空和水中計算振動頻率與Abaqus計算結(jié)果對比

這里的計算考慮水下爆炸沖擊波的影響，而如果考慮氣泡脈動效應(yīng)本方法也適用，將氣泡脈動效應(yīng)簡化為壓力波的輸入，如果氣泡第一次脈動周期遠小于板第1階振動周期，則加載總時間也很短，可運用沖擊波在多層介質(zhì)傳播理論[1]計算出流固耦合面上的壓力時間曲線，即可以算出作用于結(jié)構(gòu)的總沖量，將其作用于結(jié)構(gòu)；如果氣泡第一脈動周期與板第1階振動周期相差不大，但是沖擊載荷較小，在結(jié)構(gòu)響應(yīng)不大條件下，運用沖擊波在多層介質(zhì)傳播理論[1]計算出流固耦合面上的壓力時間曲線后，將沖擊波階段和氣泡脈動階段壓力曲線分別積分得到?jīng)_量，在t=0和t=t0時分別給定初始條件，同樣可以計算結(jié)構(gòu)的響應(yīng)，這里設(shè)t0為氣泡脈動壓力作用結(jié)構(gòu)的時刻；如果氣泡第一脈動周期遠大于板第1階振動周期，即使沖擊載荷較大，由于結(jié)構(gòu)振動存在較大的衰減作用，求結(jié)構(gòu)最大響應(yīng)時可以忽略氣泡脈動的影響。對于由結(jié)構(gòu)運動產(chǎn)生的空泡效應(yīng)，可設(shè)從計算得到流固耦合面上壓力為負的時刻開始所有壓力為0，直到氣泡脈動影響到達為止。這樣近似忽略了空泡閉合產(chǎn)生的再加載效應(yīng)，使得近似結(jié)果比實際結(jié)果小。

3 結(jié)語

理論計算方法通過應(yīng)用一維波在多層介質(zhì)中傳播理論對輸入波進行估算，應(yīng)用等效理論對雙層結(jié)構(gòu)進行等效，板水中振動頻率計算中應(yīng)用附加質(zhì)量效應(yīng)對板在真空中振動頻率進行修正，對水下爆炸沖擊載荷作用下的敷設(shè)覆蓋層圓板的響應(yīng)進行估算，得到的近似結(jié)果可以很好地預(yù)測最大位移和最大應(yīng)力。

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AnAnalytical Method for Response Prediction of Coated Circular Plates to Underwater Explosion

ZOU Chao1,CHEN Fa-xiang1,JIN Ze-yu2,CHEN Yong2
(1.Jiangnan Shipyard(Group)Co.Ltd.,Shanghai 201913,China;2.School of Mechanical Engineering,Shanghai Jiaotong University,Shanghai 200240,China)

An analytical method is proposed to calculate the response of the coated circular plates subjected to underwater explosion.There are two effects of coating on the response of the coated circular plate.One is the effect on the impact load,and the other is the effect on the response under the impact load.The analytical method employs the method of wave propagating through multilayer mediums to calculate the pressure on the wetted surface and integrate the pressure to obtain the impulse.Then,the equivalent parameters of the system of the coating and the steel plate are obtained by the homogenization process.The dynamic equations of the circular plate are established in the vacuum condition.The frequency of the circular plate is corrected by considering the additive mass of water.Finally,the response of the system is obtained according to the initial conditions.Comparison between the results obtained by the analytical method and the finite element method indicates that the analytical method can provide a good approximation of the displacement response for the circular plate.

vibration and wave;coating;circular plate;underwater explosion;wave propagating in multilayer medium;effective parameters;non-dimensional additive virtual mass increment factor

O383+.1；O383+.3；U674.7

：A

：10.3969/j.issn.1006-1355.2017.04.014

1006-1355(2017)04-0069-05+104

2017-03-29

鄒超，男，重慶市北碚區(qū)人，高級工程師，研究方向為船舶動力學及抗沖性能研究。E-mail:storm5120@163.com