陳美霞， 姚仕輝， 謝 坤

(華中科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院，武漢 430074)

圓板作為常見的結(jié)構(gòu)單元，在工程上有著廣泛的應(yīng)用。在很多情況下，圓板是與流體接觸的，如微量泵、蝶閥的圓盤、整體式核反應(yīng)堆的冷卻劑等。流體的存在會(huì)顯著降低圓板的固有頻率，從而改變結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)特性，因此對(duì)圓板和流體的流-固耦合問題進(jìn)行研究具有重要意義。

Kwak[1]研究了漂浮在無限流域上圓板的振動(dòng)特性，通過引入無量綱附加質(zhì)量因子(NAVMI)來評(píng)價(jià)流體對(duì)于圓板的作用，近似求解了圓板的固有頻率。后來，Kwak[2]應(yīng)用Hankel變換計(jì)算了嵌在剛性障板中圓板的水動(dòng)力特性，通過與文獻(xiàn)[1]進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)嵌在剛性障板中的圓板所受到的流體附加質(zhì)量作用比漂浮在自由液面上的圓板更大。Kwak等[3]求解了漂浮在深度有限的流體上圓板的振動(dòng)特性，并分析了深度改變對(duì)于圓板固有頻率的影響。Kwak等通過NAVMI法求解圓板的固有頻率時(shí)，忽略了流體對(duì)圓板振型的影響，因此計(jì)算結(jié)果有一定誤差。Amabili等[4]在考慮流體對(duì)結(jié)構(gòu)振型影響的基礎(chǔ)上，通過Rayleigh-Ritz法建立控制方程，更精確地求解了結(jié)構(gòu)的固有頻率，并與NAVMI法進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果表明，采用NAVMI法求解低階頻率時(shí)誤差較小。Bauer[5]研究了彈性薄膜封蓋或彈性薄板封蓋與容器內(nèi)流體的耦合振動(dòng)，結(jié)果表明，封蓋與流體耦合振動(dòng)的固有頻率會(huì)大于沒有封蓋時(shí)流體的晃動(dòng)頻率。Bauer等[6]在Bauer的研究基礎(chǔ)上，考慮了流體粘性的影響。Amabili[7]研究了漂浮在容器內(nèi)流體表面的圓板的振動(dòng)特性，分析了自由液面表面波對(duì)于圓板振動(dòng)的影響。在文獻(xiàn)[7]的基礎(chǔ)上，Yousefzadeh等[8]分析了漂浮在自由液面上的功能梯度圓板的振動(dòng)特性。Cheung等[9]研究了作為開口容器底部結(jié)構(gòu)的彈性圓板的水動(dòng)力特性，利用疊加原理將自由液面邊界條件分離出來，分析了流體自由表面波對(duì)圓板振動(dòng)的影響。Jeong等[10]研究了充滿可壓縮流體的封閉容器中圓形隔板的振動(dòng)特性，分析了流體壓縮性對(duì)于圓板振動(dòng)特性的影響。Askari等[11]對(duì)浸沒在開口容器中的圓板的振動(dòng)特性進(jìn)行分析，并考慮了液體晃動(dòng)的影響。Eftekhari[12]引入微分求積法(DQM)求解了圓板的流-固耦合振動(dòng)問題。Tariverdilo等[13]分別用Fourier-Bessel級(jí)數(shù)法和變分法分析了圓板的流-固耦合問題，并對(duì)比了不同方法的計(jì)算結(jié)果，但未涉及軸對(duì)稱模態(tài)的計(jì)算。Jeong[14]計(jì)算了完全相同的兩塊圓板與流體的耦合振動(dòng)，分別求解了耦合系統(tǒng)的同相和反相模態(tài)。在求解軸對(duì)稱模態(tài)時(shí)，Jeong對(duì)附加質(zhì)量矩陣的元素進(jìn)行了修正，但反相軸對(duì)稱模態(tài)結(jié)果的誤差仍相對(duì)較大。

基于文獻(xiàn)[13-14]，本文結(jié)合Fourier-Bessel級(jí)數(shù)展開法和Galerkin法建立控制方程，對(duì)與流體接觸的邊界彈性約束圓板的固有振動(dòng)特性進(jìn)行了研究。利用0階貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)，添加附加約束方程，對(duì)軸對(duì)稱模態(tài)進(jìn)行求解。在此基礎(chǔ)上分析了彈簧剛度和流體深度對(duì)于圓板自由振動(dòng)的影響。

1 理論分析

1.1 圓板位移的級(jí)數(shù)表達(dá)

如圖1所示，圓柱形容器內(nèi)充滿不可壓縮的無黏性流體，容器底面和柱面為剛性壁面，頂面覆有彈性圓板。流體密度為ρ0，深度為d；圓板半徑為a，板厚為h，圓板邊緣設(shè)有均勻分布的位移彈簧和轉(zhuǎn)角彈簧，彈簧的分布剛度分別為K和Kφ。

假設(shè)圓板滿足基爾霍夫薄板理論，則系統(tǒng)的動(dòng)力平衡方程可表示為

(1)

式中：w，D，ρ分別為板的撓度、彎曲剛度和密度，P為流體壓力，▽4為柱坐標(biāo)系下的雙調(diào)和算子，其表達(dá)式為

(2)

根據(jù)模態(tài)正交性理論，圓板位移可以展開為真空中振型的級(jí)數(shù)：

(3)

圖1 與流體接觸的邊界彈性約束圓板Fig.1 Elastically restrained circular plate in contact with fluid

式中：Wnm為圓板在真空中的振型，qnm為廣義坐標(biāo)，n和m分別為節(jié)徑數(shù)和節(jié)圓數(shù)。Wnm滿足式(1)對(duì)應(yīng)的齊次微分方程：

(4)

根據(jù)文獻(xiàn)[15]可知，圓板在真空中的振型為：

Wnm(r,θ)=[Jn(λnmr)+

CnmIn(λnmr)]cos(nθ)

(5)

式中：Jn和In分別為n階第一類貝塞爾函數(shù)和第一類修正貝塞爾函數(shù)。Cnm為與振型有關(guān)的系數(shù)，λnm為頻率系數(shù)，滿足

(6)

式中：ωnm表示真空中圓板的固有頻率。

當(dāng)圓板材料和尺寸一定時(shí)，振型系數(shù)Cnm和頻率系數(shù)λnm取決于彈簧剛度K和Kφ，系數(shù)的求解步驟見附錄A。由此可知，當(dāng)圓板邊界條件確定時(shí)，真空中的振型Wnm為已知函數(shù)，只要求解出廣義坐標(biāo)qnm，即可根據(jù)式(3)得到圓板在流體中的振型。

1.2 流體速度勢(shì)函數(shù)

假設(shè)流體作無旋運(yùn)動(dòng)，則可用速度勢(shì)函數(shù)Φ(r,θ,x,t)描述流體運(yùn)動(dòng)。結(jié)合1.1節(jié)中流體不可壓縮且無粘性的假設(shè)，Φ(r,θ,x,t)滿足拉普拉斯方程：

▽2Φ=0

(7)

將速度勢(shì)函數(shù)的時(shí)間項(xiàng)和空間項(xiàng)分離，可得[14]

Φ(r,θ,x,t)=iωφ(r,θ,x)eiωt

(8)

式中：φ為空間速度勢(shì)函數(shù)，且同樣滿足拉普拉斯方程。應(yīng)用分離變量法可得，對(duì)于某一個(gè)確定的節(jié)徑數(shù)n，φ的一般解為(參考附錄B)：

φ(r,θ,x)=(anx+bn)δn0cosnθ+

Fnscosh(βnsx)]cosnθ

(9)

式中：δn0是Kronecker delta函數(shù)，an、bn、Ens、Fns、βns為待求系數(shù)，且βns>0。

由于容器柱面和底面為剛性壁面，φ需要滿足如下邊界條件：

(10)

(11)

將式(9)代入(10)，可以得到關(guān)于βns的方程：

(12)

同理，將式(9)代入(11)，可得

a0=0

(13)

Ens=0

(14)

因此，式(9)可以簡(jiǎn)化為

φ(r,θ,x)=cosnθ[b0δn0+

(15)

1.3 流-固耦合面處的連續(xù)性條件

在流-固耦合面，需要滿足圓板和流體的速度連續(xù)性條件：

(16)

將式(3)、(8)和(15)代入式(16)可得

(17)

其中Rnm(r)=Jn(λnmr)+CnmIn(λnmr)為干圓板振型的徑向分量。根據(jù)貝塞爾方程本征函數(shù)的正交性[16]，在方程(17)左右兩邊乘以rJn(βnsr)，并在[0,a]積分可得

(18)

當(dāng)n=0時(shí)，常數(shù)函數(shù)也是貝塞爾方程的本征函數(shù)，且對(duì)于?β0s>0，常數(shù)函數(shù)與J0(β0sr)在[0,a]帶權(quán)r正交。在方程(17)兩邊同時(shí)乘以r并在[0,a]積分，可得n=0時(shí)還需要滿足的附加約束方程：

(19)

將式(18)代入(15)，速度勢(shì)函數(shù)φ可以進(jìn)一步表示為

φ(r,θ,x)=cosnθ[b0δn0+

(20)

其中

(21)

1.4 控制方程求解

假設(shè)圓板作小振幅振動(dòng)，應(yīng)用線性伯努利方程可得作用于圓板的流體壓力：

(22)

此時(shí)對(duì)于確定的n，平衡方程可以表示為

(23)

應(yīng)用Galerkin法，在方程(23)兩邊乘以Wnk(r,θ)并在圓板范圍積分，結(jié)合真空中振型的正交性[15]可得代數(shù)方程：

(24)

分別取m和s的截?cái)鄶?shù)為M和S，可以將式(24)寫成矩陣形式。當(dāng)n>0時(shí)，式(24)可表示為

[ρhPn-ω2(ρhZn+ρ0Gn)]qn=0

(25)

其中qn={qn0,qn1,…,qnM}T為系數(shù)向量，Pn,Zn,Gn為M+1階矩陣，各矩陣元素分別為

(26)

(27)

k,m=0,1,2,…,M

(28)

當(dāng)n=0時(shí)，除系數(shù)向量q0外b0也是未知量，為求得b0和q0，代數(shù)方程組(24)需要和附加約束方程(19)聯(lián)立求解，表示成矩陣形式分別為

[ρhP0-ω2(ρhZ0+ρ0G0)]q0-ρ0ω2c0b0=0

(29)

l0q0=0

(30)

式中：P0,Z0,G0和q0與n>0的情況有著相同的表達(dá)式。c0和l0分別為M+1維的列向量和行向量，其元素分別為

(31)

(32)

此時(shí)n=0時(shí)的控制方程可以表示為如下矩陣形式：

(33)

式(25)和(33)給出了矩陣形式的控制方程。要使方程存在非平凡解，必須讓系數(shù)矩陣的行列式為零，由此求解出的ω即為與流體接觸的圓板的固有頻率；求出對(duì)應(yīng)的非零解即可得廣義坐標(biāo)qnm，代入式(3)可得圓板在流體中的振型。

2 數(shù)值計(jì)算與結(jié)果分析

2.1 方法驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文解析方法的正確性，將基于本文解析方法的計(jì)算結(jié)果與基于有限元法的數(shù)值結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。計(jì)算時(shí)采用如下參數(shù)：圓板半徑a=0.2 m，板厚h=0.002 m，密度ρ=2 700 kg/m3，楊氏模量E=69 GPa，泊松比ν=0.3；流體密度ρ0=1 000 kg/m3，深度d=0.02 m；位移彈簧的分布剛度K=103N/m2，轉(zhuǎn)角彈簧的分布剛度Kφ=103N/rad。本文方法采用Matlab實(shí)現(xiàn)，截?cái)鄶?shù)M和S均取40。數(shù)值結(jié)果采用有限元軟件Ansys得到，其中圓板采用Shell63單元，流體采用Fluid30單元，網(wǎng)格尺寸取Δ=0.004 m。

對(duì)截?cái)鄶?shù)M和S的收斂性分析如表1所示。由表1可知，在保留兩位小數(shù)時(shí)，截?cái)鄶?shù)取40和50的計(jì)算結(jié)果是一致的，而截?cái)鄶?shù)取30時(shí)部分高階頻率尚未收斂，故取截?cái)鄶?shù)M=S=40是合理的。

表1選取不同截?cái)鄶?shù)M和S求得的圓板固有頻率

Tab.1Naturalfrequenciesofthecircularplateobtainedbyusingdifferenttruncationnumber

nm固有頻率/HzM=S=30M=S=40M=S=5001118.63118.63118.632646.26646.26646.2631 697.141 697.141 697.141011.6111.6011.601305.95305.94305.9421 085.351 085.351 085.3532 409.992 409.992 409.992058.1958.1958.191577.72577.72577.7221 618.651 618.651 618.6533 220.713 220.703 220.7030153.58153.58153.581932.13932.13932.1322 242.582 242.572 242.5734 126.834 126.824 126.82

為驗(yàn)證有限元網(wǎng)格的收斂性，分別對(duì)Δ1=0.008 m，Δ2=0.004 m，Δ3=0.002 m三種網(wǎng)格尺寸的有限元模型進(jìn)行分析，計(jì)算結(jié)果如表2所示。表中f1、f2、f3為不同模型的固有頻率，e1、e2為相對(duì)誤差，滿足e1=(f1-f2)/f2，e2=(f2-f3)/f3。由于有限元網(wǎng)格收斂較慢，在綜合考慮計(jì)算速度和精度的條件下，本文以相對(duì)誤差<1%作為有限元網(wǎng)格收斂的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，結(jié)合表2的結(jié)果，取網(wǎng)格尺寸Δ=Δ2=0.004 m是合理的。

表2采用不同網(wǎng)格尺寸的有限元模型得到的圓板固有頻率

Tab.2NaturalfrequenciesofthecircularplateobtainedbyFEMusingdifferentmeshsize

nmΔ1=0.008 mΔ2=0.004 mΔ3=0.002 mf1/Hze1/%f2/Hze2/%f3/Hz01119.230.37118.790.11118.662653.790.88648.100.26646.4131 728.601.441 704.090.421 696.911011.630.1511.610.0411.611308.280.57306.530.17306.0221 101.501.141 089.110.341 085.4532 463.001.722 421.270.512 408.992058.420.2958.250.0958.201583.250.72579.080.22577.8121 644.901.261 624.410.381 618.2833 293.901.803 235.520.553 217.8830154.720.55153.870.15153.631944.291.00934.960.30932.1822 288.701.612 252.420.482 241.7034 244.202.264 150.470.684 122.31注:e1=(f1-f2)/f2,e2=(f2-f3)/f3

分別采用本文方法和有限元法求得的圓板固有頻率結(jié)果如表3所示。從表中可知，對(duì)于n,m=0,1,2,3的模態(tài)，本文方法與有限元法計(jì)算結(jié)果相對(duì)誤差在1%

表3本文方法與有限元法求得的固有頻率結(jié)果對(duì)比

Tab.3ComparisonofthenaturalfrequenciesobtainedbypresentmethodandFEM

nm有限元法/Hz本文方法/Hz相對(duì)誤差/%01118.79118.63-0.132648.10646.26-0.2831 704.091 697.14-0.411011.6111.60-0.051306.53305.94-0.1921 089.111 085.35-0.3532 421.272 409.99-0.472058.2558.19-0.111579.08577.72-0.2421 624.411 618.65-0.3533 235.523 220.70-0.4630153.87153.58-0.191934.96932.13-0.3022 252.422 242.57-0.4434 150.474 126.82-0.57

以內(nèi)，驗(yàn)證了本文方法的正確性。此外，由表3還可以看出隨著節(jié)徑數(shù)n和節(jié)圓數(shù)m的增加，圓板的固有頻率變大。需要注意的是，本文假定流體不可壓縮，因此流體體積保持不變，故不存在n=m=0的模態(tài)。

2.2 圓板與流體的耦合振動(dòng)特性分析

2.2.1 彈簧剛度對(duì)圓板自由振動(dòng)特性的影響

(a) 自由(K=0, Kφ=0)

(c) 導(dǎo)向(K=0, Kφ=∞)

(d) 固支(K=∞, Kφ=∞)圖2 不同邊界條件下圓板的無量綱頻率Fig.2 Nondimentional frequencies of circular plates with different boundary conditions

流體不僅會(huì)降低圓板的固有頻率還會(huì)改變圓板的振型，圖3給出了圓板在真空中和流體中的歸一化振型的對(duì)比。由圖3看出，簡(jiǎn)支和固支圓板的振型受到流體的影響相對(duì)較大，自由邊界圓板的振型受到流體影響很小，導(dǎo)向邊界圓板在真空中和流體中的振型幾乎完全一致。

(a) n=0,m=2自由

(b) n=1,m=2自由

(c) n=0,m=2簡(jiǎn)支

(d) n=1,m=2簡(jiǎn)支

(e) n=0,m=2導(dǎo)向

(f) n=1,m=2導(dǎo)向

(g) n=0,m=2固支

(h) n=1,m=2固支圖3 圓板在真空中和流體中的歸一化振型Fig.3 Normalized mode shapes of the circular plate in vacuo and in fluid

在求解固有頻率時(shí)，若忽略流體對(duì)振型的影響，采用圓板在真空中的振型代替圓板在流體中的振型進(jìn)行求解，即假定w(r,θ)=Wnm(r,θ)，式(23)可簡(jiǎn)化為

(34)

當(dāng)n>0時(shí)，式(34)兩邊乘以Wnm在[0,a]積分可以直接求出固有頻率ω，相對(duì)于求解矩陣方程(25)的廣義特征值問題，將大為減少計(jì)算時(shí)間。

而對(duì)于n=0，式(19)簡(jiǎn)化為

(35)

此式無法成立，因此在求解軸對(duì)稱模態(tài)(n=0的模態(tài))時(shí)，這種簡(jiǎn)化方法是不適用的。

利用式(34)解出的圓板固有頻率如表4所示，表中括號(hào)中結(jié)果為通過求解式(25)的廣義特征值問題得到的固有頻率。由表4可知，對(duì)于自由和導(dǎo)向邊界圓板，忽略流體對(duì)振型的影響對(duì)圓板固有頻率的計(jì)算結(jié)果影響較小，誤差在5%以內(nèi)；而對(duì)于簡(jiǎn)支和固支圓板，則會(huì)產(chǎn)生較大的誤差。由圖3的結(jié)果可知，這是因?yàn)樽杂珊蛯?dǎo)向邊界圓板振型受到流體影響更小，采用近似方法計(jì)算時(shí)假定振型(真空中的振型)與真實(shí)振型(流體中的振型)很接近，因此誤差較小。從表4還可以看出，對(duì)于以上四種邊界條件，當(dāng)周向波數(shù)n增加時(shí)，近似解法的誤差會(huì)降低。由此可知，當(dāng)邊界條件為自由、導(dǎo)向或者當(dāng)所求模態(tài)周向波數(shù)n較大時(shí)，可以忽略流體對(duì)振型的影響。

表4 忽略流體對(duì)振型影響求得的圓板固有頻率Tab.4 Natural frequencies of the circular plate obtained by neglecting the fluid influences on mode shapes

2.2.2 流體深度對(duì)圓板自由振動(dòng)特性的影響

出現(xiàn)上述結(jié)果是由于底部剛性壁面會(huì)限制流體的垂向運(yùn)動(dòng)，且距離剛性底面越近，流體作垂向運(yùn)動(dòng)越困難。而圓板受到流體的附加質(zhì)量取決于流-固耦合層附近流體的運(yùn)動(dòng)情況，深度d越小，流-固耦合層附近的流體距離剛性底面越接近，運(yùn)動(dòng)越困難，流體隨圓板振動(dòng)時(shí)需要圓板提供更大的作用力，反過來說圓板受到流體的作用力也就越大，附加質(zhì)量也就越大。

(a) n=0

(b) n=1

(c) n=2

(d) n=3圖4 流體深度對(duì)無量綱頻率的影響Fig.4 The influence of fluid depth on nondimentional frequencies

3 總 結(jié)

(1) 本文采用Fourier-Bessel級(jí)數(shù)法和Galerkin法，研究了與流體接觸的邊界彈性約束圓板的自由振動(dòng)特性。針對(duì)軸對(duì)稱模態(tài)，利用0階貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)，添加附加約束方程進(jìn)行求解。本文方法與數(shù)值法結(jié)果吻合良好，驗(yàn)證了本文計(jì)算方法的正確性。

(2) 通過改變彈簧剛度研究了幾種常見邊界條件下圓板的流-固耦合振動(dòng)特性。結(jié)果表明，流體作用會(huì)降低圓板的固有頻率，且對(duì)低階模態(tài)影響更大，此結(jié)論對(duì)于不同邊界條件的圓板均成立。此外，流體還會(huì)影響圓板的振型，其中簡(jiǎn)支和固支邊界圓板的振型受流體影響較大，而自由及導(dǎo)向邊界圓板的振型受到流體影響較小，針對(duì)后兩種邊界條件，可以用圓板在真空中的振型代替圓板在流體中的振型簡(jiǎn)化計(jì)算，且這種簡(jiǎn)化具有較高的精度。

(3) 在較低的深度范圍內(nèi)，增大流體深度會(huì)顯著降低流體對(duì)于圓板的附加質(zhì)量作用；當(dāng)深度大于1.5倍圓板半徑時(shí)，流體深度的改變對(duì)于圓板自由振動(dòng)的影響可以忽略。

(36)

(37)

式中：Mr、Nr和Mrθ分別代表單位長(zhǎng)度的彎矩、剪力和扭矩，這三種分布內(nèi)力的表達(dá)式為：

(38)

(39)

(40)

式中：ν為圓板的泊松比。將式(38)～(40)和圓板位移表達(dá)式(3)代入式(36)和(37)可得：

h1(λnm)+Cnmh2(λnm)=0

(41)

y1(λnm)+Cnmy2(λnm)=0

(42)

式中：h1(λnm),h2(λnm),y1(λnm)和y2(λnm)為關(guān)于λnm的函數(shù)，其表達(dá)式為：

(43)

(44)

(45)

(46)

聯(lián)立式(41)和(42)并消去Cnm，可得真空中圓板的頻率方程：

h1(λnm)y2(λnm)-h2(λnm)y1(λnm)=0

(47)

由式(47)可解得頻率系數(shù)λnm, 將λnm代入式(41)即可得到振型系數(shù)Cnm：

(48)

附錄B流場(chǎng)拉普拉斯方程求解

對(duì)空間速度勢(shì)函數(shù)φ(r,θ,x)采用分離變量法：

φ(r,θ,x)=R(r)Θ(θ)X(x)

(49)

將式(49)代入拉普拉斯方程，并在方程兩邊同時(shí)除以R(r)×Θ(θ)X(x)，可得

(50)

由于r,θ,x為相互獨(dú)立的變量，式(50)成立的條件為方程兩邊等于常數(shù)：

(51)

其中μ為常數(shù)?？傻肵(x)滿足微分方程：

X″+μX=0

(52)

同時(shí)，由式(51)可得

(53)

其中λ為常數(shù)?？紤]到φ(r,θ,x)在周向以2π為周期，Θ(θ)滿足定解條件：

(54)

由方程(54)可求得常數(shù)λ和函數(shù)Θ(θ)分別為

(55)

在求解自由振動(dòng)特性時(shí)，不妨以振型對(duì)稱軸作為r軸，則A2=0，可得

Θ(θ)=A1cosnθ

(56)

將式(56)代入式(53)可知R(r)需要滿足微分方程：

r2R″+rR′-(μr2+n2)R=0

(57)

針對(duì)μ的取值，對(duì)以下幾種情況進(jìn)行分類討論：

1)μ<0，方程(52)的通解為

(58)

此時(shí)方程(57)為n階貝塞爾方程，通解為

(59)

φ(r,θ,x)=Jn(βnsr)cosnθ[Enssinh(βnsx)+

Fnscosh(βnsx)]

(60)

式中：βns>0。

2)μ>0，方程(57)為n階虛宗量貝塞爾方程，通解為

(61)

由R(0)為有限值知D2=0，同時(shí)考慮到柱面剛性壁面條件R′(a)=0得D1=0。因此在μ>0時(shí)，φ(r,θ,x)不存在非零解。

3)μ=0，方程(52)的通解為

X(x)=E1x+E2

(62)

此時(shí)方程(57)為歐拉型常微分方程，其通解為

(63)

由R(0)為有限值知F2=G2=0，同時(shí)考慮到R′(a)=0可得F1=0。因此式μ=0時(shí)，速度勢(shì)函數(shù)通解為

φ(r,θ,x)=cosnθ(anx+bn)δn0

(64)

綜上可知，對(duì)于確定的n，速度勢(shì)函數(shù)的一般解為

φ(r,θ,x)=cosnθ{(anx+bn)δn0+

(65)