軸對(duì)稱變厚度圓板反對(duì)稱彎曲的傳遞矩陣法

周欣竹，鄭建軍，范興朗，張 煒，葉 浩

(1.浙江工業(yè)大學(xué) 土木工程學(xué)院，浙江 杭州 310023；2.浙江省工程結(jié)構(gòu)與防災(zāi)減災(zāi)技術(shù)研究重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，浙江 杭州 310023)

在土木、水利和機(jī)械工程中，各種材料和各種形狀的板結(jié)構(gòu)得到廣泛的應(yīng)用[1-4]。變厚度圓板的應(yīng)用也不罕見，如汽輪機(jī)葉盤、板式離合器、往復(fù)機(jī)械中的活塞和電視塔基礎(chǔ)等[5-7]。由于變厚度圓板彎曲方程過于復(fù)雜，一般解析解僅限于簡(jiǎn)單荷載作用下的線性變厚度板[5]。對(duì)于復(fù)雜荷載作用下的一般變厚度圓板，大多采用數(shù)值方法。劉葉丹等[8]提出了變厚度圓板彎曲的初參數(shù)法，這種方法對(duì)板結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)具有一定的優(yōu)越性。李欣業(yè)等[9]提出了線性變厚度圓板的有限差分法。周欣竹等[10]基于特殊函數(shù)理論給出了Winkler地基上環(huán)板單元的傳遞矩陣，并用于一般變厚度環(huán)板的靜力分析。吳敏達(dá)等[11]考慮板的剪切變形，應(yīng)用攝動(dòng)法給出了指數(shù)變厚度圓板和環(huán)板的級(jí)數(shù)解。近年來，Vivio等[12]獲得了一類冪型變厚度圓板彎曲的解析解。這些研究都限于變厚度圓板或環(huán)板的軸對(duì)稱彎曲，而對(duì)于反對(duì)稱彎曲文獻(xiàn)中鮮有報(bào)道[5-7]。而在實(shí)際工程中，如果變厚度圓板垂直置于液體中，液體對(duì)圓板的壓力可以分解為軸對(duì)稱荷載和反對(duì)稱荷載。因此，研究軸對(duì)稱變厚度圓板的反對(duì)稱彎曲對(duì)于進(jìn)一步理解板的受力特性具有理論意義，而且對(duì)于圓板設(shè)計(jì)和厚度優(yōu)化也具有參考價(jià)值。

1 基本方程和等厚度圓環(huán)板彎曲的解析解

考慮如圖1所示的變厚度圓板，周邊簡(jiǎn)支或固支，將圓板劃分成N的單元，其中：第1個(gè)是圓板單元，其余N-1個(gè)是環(huán)板單元。圓板承受反對(duì)稱荷載為

P(r,θ)=p(r)cosθ

(1)

圖1 軸對(duì)稱變厚度圓板及其單元?jiǎng)澐?/p>

為了分析這些板單元，將它們按等厚度處理，很顯然，單元數(shù)N越大，這些板單元的組合越接近原來的軸對(duì)稱變厚度圓板。設(shè)第i個(gè)板單元的彎曲剛度為Di，所承受的荷載為

Pi(r,θ)=pi(r)cosθ

(2)

根據(jù)板殼理論，第i個(gè)板單元的撓度Wi(r,θ)滿足如下方程：

(3)

根據(jù)外荷載的形式，設(shè)撓度Wi(r,θ)為

Wi(r,θ)=wi(r)cosθ

(4)

相應(yīng)的徑向轉(zhuǎn)角Φr(r,θ)、徑向彎矩Mr(r,θ)和徑向剪力Vr(r,θ)分別為

Φir(r,θ)=φir(r)cosθ

(5)

Mir(r,θ)=mir(r)cosθ

(6)

Vir(r,θ)=vir(r)cosθ

(7)

式中：φir(r)，mir(r)，vir(r)分別表示為

(8)

(9)

(10)

式中μ為板材料的泊松比。

將式(4)代入式(3)并消去cosθ有

(11)

式(11)的解由兩部分組成：一部分是與式(11)相對(duì)應(yīng)齊次方程的解，另一部分是式(11)的特解。很顯然，相應(yīng)于式(11)的齊次方程解為

(12)

式中：ci(i=1,2,3,4)為待定系數(shù)；函數(shù)fi(r)(i=1,2,3,4)分別為

(13)

(14)

(15)

(16)

根據(jù)常微分方程理論，式(11)的特解可設(shè)為

(17)

式中：d1(r)，d2(r)，d3(r)，d4(r)分別為r的函數(shù)，滿足下列條件：

(18)

(19)

(20)

將式(17)代入式(11)并注意式(18～20)有

(21)

聯(lián)立求解方程式(18～21)可得

(22)

設(shè)第i個(gè)環(huán)板單元的內(nèi)半徑和外半徑分別為ri-1和ri，則d1(r)，d2(r)，d3(r)，d4(r)分別為

(23)

(24)

(25)

(26)

這樣，就得到等厚度環(huán)板反對(duì)稱彎曲撓度、徑向轉(zhuǎn)角、徑向彎矩和徑向剪力的解析解。對(duì)于等厚度圓板單元，由于板中心的撓度和彎矩有限，只需令c3=c4=0就可以得到撓度、徑向轉(zhuǎn)角、徑向彎矩和徑向剪力。

2 環(huán)板單元傳遞矩陣和變厚度圓板總體傳遞矩陣

(27)

Ci=[c1,c2,c3,c4,1]T

(28)

對(duì)于第i個(gè)環(huán)板單元，當(dāng)r=ri-1時(shí)，由式(12，14～17，24～26)有

Ai-1Ci=Qi-1

(29)

式中Ai-1為

(30)

求解方程組式(29)可得

(31)

(32)

同樣，當(dāng)r=ri時(shí)，由式(12，14～17，24～26)可得

Qi=BiCi

(33)

式中Bi為

(34)

由式(31，33)可得

Qi=TiQi-1

(35)

式中環(huán)板單元的傳遞矩陣Ti為

(36)

對(duì)于圓板單元，c3=c4=0。當(dāng)r=r1時(shí)，由式(12，14～17，24～26)可得Q1為

(37)

式中B1為

(38)

根據(jù)傳遞矩陣法原理，對(duì)于圖1所示的變厚度圓板有

(39)

式中總體傳遞矩陣T為

(40)

無論是周邊簡(jiǎn)支還是固支，利用兩個(gè)邊界條件求得系數(shù)c1和c2，將c1和c2代入式(37)求出Q1，再利用傳遞關(guān)系式(35)求得各節(jié)圓上的撓度、徑向轉(zhuǎn)角、徑向彎矩和徑向剪力。

3 數(shù)值驗(yàn)證和討論

考慮一軸對(duì)稱變厚度圓板，半徑為a，彈性模量為E，泊松比μ=0.3，板厚變化方程h(r)=h0[1-r/(2a)]，所承受的荷載P(r,θ)=p0(r/a)cosθ，板周邊簡(jiǎn)支和固支兩種情況，撓度W(r,θ)和軸向彎矩Mr(r,θ)分別寫成

(41)

Mr(r,θ)=M1(r)pa2cosθ

(42)

計(jì)算發(fā)現(xiàn)：當(dāng)將圓板劃分成100 個(gè)等厚度單元時(shí)，結(jié)果收斂令人滿意。令N=100，W1(r)和M1(r)的計(jì)算結(jié)果如圖2～5所示，其中TMM和FEM分別表示傳遞矩陣法和有限單元法。從圖2～5可以看出：傳遞矩陣法與有限元法吻合良好，對(duì)于簡(jiǎn)支圓板，W1(r)和M1(r)的最大相對(duì)誤差分別為0.068 5%和0.379%，對(duì)于固支圓板，W1(r)和M1(r)的最大相對(duì)誤差分別為1.09%和0.856%。因此，傳遞矩陣法的有效性得到數(shù)值驗(yàn)證。

圖2 簡(jiǎn)支圓板撓度

圖3 簡(jiǎn)支圓板徑向彎矩

圖4 固支圓板撓度

圖5 固支圓板徑向彎矩

下面討論板厚變化對(duì)撓度和徑向彎矩的影響。設(shè)半徑為a，彈性模量為E，泊松比μ=0.3，板厚變化方程h(r)=h0exp(αr)，承受的荷載P(r,θ)=p0(r/a)cosθ，令W1(r)和M1(r)的最大值分別為W1max和M1max，對(duì)于周邊固支圓板，產(chǎn)生負(fù)的徑向彎矩，如圖5所示，令M1(r)的最小值為M1min，計(jì)算結(jié)果如圖6～10所示。從圖6～10可以看出：板厚參數(shù)變化對(duì)板撓度影響較大，而對(duì)板徑向彎矩影響較小。當(dāng)α從-0.5增大到0.5時(shí)，簡(jiǎn)支板最大撓度和最大徑向彎矩分別減小83.8%和17.8%，固支板最大撓度和最大徑向彎矩分別減小85.8%和37.4%，而固支板的最小徑向彎矩增大32.4%。

圖6 簡(jiǎn)支圓板最大撓度

圖7 簡(jiǎn)支圓板最大徑向彎矩

圖8 固支圓板最大撓度

圖9 固支圓板最大徑向彎矩

圖10 固支圓板最小徑向彎矩

3 結(jié) 論

基于等厚度環(huán)板反對(duì)稱彎曲撓度、徑向轉(zhuǎn)角、徑向彎矩和徑向剪力的解析解，導(dǎo)出了環(huán)板單元的傳遞矩陣，提出了軸對(duì)稱變厚度圓板反對(duì)稱彎曲的傳遞矩陣法。該方法的主要優(yōu)點(diǎn)：可以通過增加單元數(shù)模擬復(fù)雜變厚度板，提高計(jì)算精度，而總體傳遞矩陣的階數(shù)始終保持5 階，節(jié)省計(jì)算機(jī)內(nèi)存。與有限單元法比較，證實(shí)了該傳遞矩陣法的有效性，討論了板厚度變化對(duì)圓板最大撓度、最大徑向彎矩和最小徑向彎矩的影響。

本文得到了浙江工業(yè)大學(xué)研究生核心課程項(xiàng)目(GZ17571060001)和本科核心課程建設(shè)項(xiàng)目(PX-48181685)的資助。