高中數(shù)學(xué)中三余弦定理的解析

◆李正陽

高中數(shù)學(xué)中三余弦定理的解析

◆李正陽

在高中所學(xué)的學(xué)科中，數(shù)學(xué)科目的學(xué)習(xí)能夠幫助學(xué)生對實(shí)際生活的的問題進(jìn)行解決。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)能夠培養(yǎng)學(xué)生的思維邏輯能力，讓高中生能在多方面對問題進(jìn)行思考。三余弦定理是高中數(shù)學(xué)中重要的組成部分。本文就高中數(shù)學(xué)中三余弦定理進(jìn)行了深入分析。

高中數(shù)學(xué)；三余弦定理；解題方式

一、三余弦定理的相關(guān)概念

如果平面之外的一條斜線和平面形成的角是θ1，平面中任意一條直線和這條斜線形成的銳角或者直角為θ，這條直線和這個(gè)斜線在平面中的射影形成的銳角或者視角為θ2，那么就能夠得出cosθ=cosθ1cosθ2，這種關(guān)系就是三余弦定理。還可以稱之為最小角定理或者是爪子定理，能夠使用在對平面斜線和平面直角形成的最小角的求解中。本文就以這個(gè)定理列舉幾道題型加以證明與解析。

二、運(yùn)用例題對三余弦定理進(jìn)行解析

（一）使用三余弦定理判斷兩角大小。如圖1所示，在平面γ外有一點(diǎn)P往平面引伸兩條斜線，其分別是PA和PB，作PH ⊥平面γ于點(diǎn)H，設(shè)A、H、B三個(gè)點(diǎn)不共線并且∠APB=α，∠AHB=β，將α和β兩個(gè)角小比較并且解析其中的理由。

圖1

解答：因?yàn)镻H ⊥平面γ，因此AH、PH即為AP和BP在γ上的射影。經(jīng)過三余弦定理能夠得知：cos∠PAB=cos∠PAH·cos∠BAH，cos∠PBA=cos∠PBH·cos∠ABH。經(jīng)過一系列的推斷之后能夠得到α＜β的結(jié)果。

在這個(gè)題的解答中就是使用三余弦定理對兩個(gè)角的大小進(jìn)行相較，其最主要的就是充分的使用題目中的相關(guān)條件，進(jìn)而使用幾何關(guān)系轉(zhuǎn)換成符合三余弦定理的角。使用余弦函數(shù)的有界性和單調(diào)性就能夠證明題中的結(jié)論。

（二）使用三余弦定理證明三角形類別。例題：如圖2所示 ，把正方形ABCD-A1B1C1D1中截掉一個(gè)角，要證明其截面三角形HEF是一個(gè)銳角三角形。

圖2

解答：設(shè)∠HED=θ1，∠DEF=θ2，那么就能夠得出cos∠HED=cosθ1=ED/HE＞0，cos∠DEF=cosθ2=DE/EF＞0，并且cos∠HEF=cosθ1cosθ2＞0，因此∠HEF即為銳角三角形，同樣也可以證明出∠EFH以及∠FHE也為銳角，因此三角形HEF就是銳角三角形。

在正方形中隨意截取一個(gè)角，用得到的三角形對其進(jìn)行判別。若是在其他的角度進(jìn)行解題就難以找出證明其為銳角三角形的根據(jù)，而使用題目中已知的相關(guān)條件，在其中找到符合三余弦定理的相關(guān)條件，使用其定理對三個(gè)內(nèi)角的余弦值進(jìn)行證明，得出其余弦值都為正值。進(jìn)而證明了其三個(gè)內(nèi)角都是銳角，讓題目的問題得到了解決。

（三）使用三余弦定理對圓錐曲線離心率進(jìn)行解答。例題，如圖3，已知橢圓經(jīng)過右邊焦點(diǎn)F2作出垂直于x軸的直線，并且交橢圓于AB兩個(gè)點(diǎn)，沿著X軸進(jìn)行折疊，讓二面角A-OF2-B是直二面角，且∠AOB=60°，解析這個(gè)橢圓的離心率。

圖3

解答：在折疊前后，AF2⊥OF2,BF2⊥OF2，并且要讓折疊之后的二面角A-OF2-B是直二面角，AF2B=90°，AF2⊥平面OF2B，作斜線OA和平面OF2B形成角OF2B=θ1，使用三余弦定理就能夠得到因此

在原橢圓中的∠AOF2=∠BOF2=45°，因此三角形AF2O即為等腰三角形，因此, 在A（c，y）在橢圓上，能夠得，之后就能夠得到由于，就能夠得到c=b2/a，之后就可以得到b2=ac。因?yàn)闄E圓中的相關(guān)公式：b2=a2—c2，所以c2+ac—a2=0。在這個(gè)方程式的兩邊同時(shí)除以a2，并且依據(jù)離心率的相關(guān)定義：e=c/a，能夠得到所以

把圓錐曲線存在的平面折疊成為空間直二面角，進(jìn)而構(gòu)建出符合三余弦定理的相關(guān)條件，尋找出相關(guān)角的關(guān)系。遵循圓錐曲線離心率的定理，使用圓錐曲線相關(guān)方程式，把三余弦定理中得到的結(jié)果代入其中之后進(jìn)行化解，這樣就能夠正確的解答問題。

三、結(jié)束語

綜上所述，在使用三余弦定理對對幾何證明題進(jìn)行解答的時(shí)候，其首先要抓住題目中已知的相關(guān)條件，看其是否能夠構(gòu)建出三余弦定理的條件。進(jìn)而在這個(gè)基礎(chǔ)上對題目中的問題進(jìn)行解答，從而發(fā)揮出了三余弦定理在題目解答中的作用，幫助我們更好的理解與學(xué)習(xí)幾何題多樣化的解答方式。

[1]郭惠英．三余弦定理的四大應(yīng)用[J]．?dāng)?shù)理化解題研究:高中版,2012(7):18-20．

（作者單位：湖南長沙市雅禮中學(xué)）