函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

杜紅全

(甘肅省康縣教育局教研室，甘肅 隴南 746500)

函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

杜紅全

(甘肅省康縣教育局教研室，甘肅 隴南 746500)

單調(diào)性是函數(shù)之“魂”，是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，文章舉例說明它在比較大小、解不等式、解方程、求參數(shù)的值或取值范圍、求函數(shù)的最值或值域、求值、證明不等式等方面得一些應(yīng)用，希望起到拋磚引玉之功效.

函數(shù)；單調(diào)性；應(yīng)用

函數(shù)單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，也是平?？荚嚭透呖贾袛?shù)學(xué)的重點和熱點內(nèi)容之一.它在高中數(shù)學(xué)的各個分支中都有著極為重要的應(yīng)用，在解題過程中如果應(yīng)用得好，常能起到事半功倍的效果,下面舉例說明.

一、比較大小

例1設(shè)函數(shù)f(x)是(-∞,+∞)上的減函數(shù)，則( ).

A.f(a)

C.f(a2+a)

分析 由減函數(shù)的定義可知，只需比較各組函數(shù)值的自變量的大小.

點評 本題還可以用排除法解之.利用單調(diào)性比較大小時，必須將其轉(zhuǎn)化為同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)的兩個函數(shù)值，否則不能比較其大小.

二、解不等式

例2 已知f(x)在它的定義域[-17,+∞)上是增函數(shù)，且f(3)=0，解不等式f(x2-7x-5)<0.

分析 解本題只需要利用函數(shù)的單調(diào)性去掉函數(shù)關(guān)系符號“f”, 使抽象的不等式問題轉(zhuǎn)化為具體的不等式問題.

點評 利用單調(diào)性解不等式就是利用函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，推出兩個變量的大小，然后去解不等式；去掉函數(shù)關(guān)系符號″f″的主要依據(jù)是函數(shù)的單調(diào)性，同時要特別注意函數(shù)的定義域，否則可能產(chǎn)生增解.

三、解方程

例3 解方程(x2-x+1)5-x5+4x2-8x+4=0.

解析 由原方程變形為(x2-x+1)5+4(x2-x+1)=x5+4x.由于函數(shù)f(t)=t5+4t在R上單調(diào)遞增，又f(x2-x+1)=f(x)，所以x2-x+1=x，解得x=1.故原方程有唯一實數(shù)解x=1.

點評 解本題的關(guān)鍵是對原方程進行變形，與函數(shù)f(t)=t5+4t產(chǎn)生聯(lián)系，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性列出方程即可.

四、求參數(shù)的值或取值范圍

例4 若函數(shù)f(x)=|2x+a|的單調(diào)遞增區(qū)間是[3,+∞),則a=____.

點評 本題考查的是函數(shù)的單調(diào)性.做本題的關(guān)鍵是將原函數(shù)化為分段函數(shù)，然后根據(jù)單調(diào)遞增區(qū)間列出關(guān)于a的方程即可.本題還可通過畫出函數(shù)圖象來求解.

例5 已知函數(shù)f(x)=x2+2(1-a)x+2在(-∞,4]上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.

分析 二次函數(shù)是我們最熟悉的函數(shù)，只要遇到二次函數(shù)畫圖象，也可以不將圖象畫出，而在大腦中出現(xiàn)，這樣就給我們研究問題帶來了很大的方便.對于不熟悉的函數(shù)，可以利用單調(diào)函數(shù)的定義去研究與單調(diào)性有關(guān)的問題.

點評 二次函數(shù)問題要注意三點：一是開口方向；二是對稱軸；三是頂點坐標(biāo).

五、求函數(shù)的最值或值域

分析 當(dāng)所給的函數(shù)圖象不易作出時，可考慮利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，即先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求最值.

點評 函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b](a

六、求值

例7 設(shè)實數(shù)a,b滿足條件a3-3a2+5a=1，b3-3b2+5b=5，求a+b的值.

分析 待求代數(shù)式的值，可視為相應(yīng)函數(shù)的一個特殊值，再利用該函數(shù)的單調(diào)性，把函數(shù)值的相等轉(zhuǎn)化為自變量的相等，從而巧妙獲解.

解 由已知條件式的特征，構(gòu)造函數(shù)f(x)=x3-3x2+5x，則有f(a)=1,f(b)=5.而f(x)=(x-1)3+2(x-1)+3.令u=x-1，則g(u)=u3+2u是單調(diào)增函數(shù)，還是奇函數(shù),則有f(a)=g(a-1)+3=1,f(b)=g(b-1)+3=5,即g(a-1)=-2,g(b-1)=2,則g(a-1)=-g(b-1)=g(1-b).由g(u)=u3+2u是單調(diào)增函數(shù)可得a-1=1-b，因此有a+b=2.

點評 求解本題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)f(x)=x3-3x2+5x，利用函數(shù)的單調(diào)性和奇函數(shù)的性質(zhì)，列出關(guān)于a,b的方程，把a+b整體解出,屬于整體求值.

七、證明不等式

分析 通過構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為比較單調(diào)函數(shù)的兩個函數(shù)值問題.

點評 把證明的不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化為什么樣的函數(shù),這就要求從被證的不等式的形狀、特點去入手，產(chǎn)生聯(lián)想去尋找相應(yīng)的基本函數(shù)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性加以證明.

當(dāng)然，利用函數(shù)的單調(diào)性還可以判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性以及畫函數(shù)的圖象，在這里就不舉例說明了.

鏈接高考 1(2015江蘇，文理7)不等式2x2-x<4的解集為 .(答案：{x|-1

2(2016全國Ι卷，理8)若a>b>1，0

A.ac

C.alogbc

[1]杜紅全.別忘了讓平面向量與三角形談“心”[J].中學(xué)生數(shù)學(xué),2014(3).

[2]杜紅全.求三角函數(shù)值域的常用方法[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)，2014(5).

[責(zé)任編輯：楊惠民]

2017-05-01

杜紅全(1969.9-), 男，甘肅康縣人，中學(xué)高級教師，西北師范大學(xué)本科畢業(yè)，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育．

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1008-0333(2017)19-0002-02